当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第五章 单元测试卷)


第五章

单元测试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中 只有一项符合题目要求) 1.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 → → → 2AC+CB=0,则OC等于( → → A.2OA-OB 2→ 1→ C.3OA-3OB 答案 A ) → → B.-OA+2OB 1→

2→ D.-3OA+3OB

→ → → → → → → → → → 解析 OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA),∴OC=2OA → -OB.故选 A. 1 2.复数 z= 的共轭复数是( 1-i 1 1 A.2+2i C.1-i 答案 B ) 1 1 B.2-2i D.1+i

1+i 1 1 1 1 1 解析 z= = =2+2i, z =2-2i,故选 B. 1-i ?1-i??1+i? ?1+2i?2 1 3.已知复数 z= ,则|z|+ z 等于( 3-4i A.0 C.-1 答案 A B.1 D.2 )

?1+2i?2 ?4i-3??3+4i? -16-9 1 解析 z= = = =- 1 , 所以 25 25 |z|+ z =1 3-4i -1=0.故选 A. 4. 设向量 a, b 均为单位向量, 且|a+b|=1, 则 a 与 b 夹角为( π A.3 2π C. 3 答案 C π B.2 3π D. 4 )

解析 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,△ABC 为边长为 1 的 → → 2π 等边三角形,记AB=a,AD=b,则 a 与 b 的夹角为 3 ,故选 C. 5.已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满足(c+b)⊥a,(c- a)∥b,则 c 等于( A.(2,1) 3 1 C.(2,2) 答案 解析 A 设 c = (x , y ) , 由 (c + b ) ⊥ a , (c - a ) ∥ b 可 得 ) B.(1,0) D.(0,-1)

? ? ?x+1-y-2=0, ?x=2, ? 解得? 因此 c=(2,1). ? ? ?y+1=2?x-1?, ?y=1,

→ → → → → 6. 已知 A, B, C 是圆 O: x2+y2=1 上三点, OA+OB=OC, 则AB· OA =( ) 3 A. 2 3 C.2 答案 D 3 B.- 2 3 D.-2

→ → 解析 由题意知, OACB 为菱形, 且∠OAC=60° , AB= 3, ∴AB· OA 3 = 3×1×cos150° =-2. 7.已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9x+3y 的最小 值为( ) B.6 D.3 2 B

A.2 3 C.12 答案

解析 ∵a⊥b,∴a· b=4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2.∴9x+3y≥2 32x+y=2 32=6. → → → → → 8.如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3BD,|AD|=1,则AC· AD =( )

A. 3 3 C. 2

B.2 3 3 D. 3

答案 解析

A → → → → → → → → AC = AB + BC = AB + 3 BD = AB + 3 ( AD - AB ) = (1 -

→ → → → → → → 3)AB+ 3AD,∴AC· AD=(1- 3)AB· AD+ 3· AD2= 3. 9. 已知向量 a, b 满足|a|=2|b|≠0, 且关于 x 的函数 f(x)=2x3+3|a|x2 +6a· bx+5 在实数集 R 上单调递增,则向量 a,b 的夹角的取值范围是 ( ) π A.[0,6] π C.(0,3] 答案 B π B.[0,3] π D.[3,π]

解析 f′(x)=6x2+6|a|x+6a· b, 由 Δ=36|a|2-4×6×6|a|· |b|cos〈a,b〉≤0, 且|a|=2|b|≠0. 1 得 cos〈a,b〉≥2,故选 B. → → → → → 10.若 O 为平面内任一点且(OB+OC-2OA)· (AB-AC)=0,则△ ABC 是( )

A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 解析 0, C → → → → → → → → → 由(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0 得(AB+AC)· (AB-AC)=

→ → → → ∴AB2-AC2=0,即|AB|=|AC|, ∴AB=AC. → 1→ → → 11.已知△ABD 是等边三角形,且AB+2AD=AC,|CD|= 3,那 么四边形 ABCD 的面积为( 3 A. 2 C.3 3 答案 解析 B ) 3 B.2 3 9 D.2 3

如图所示, → → → 1→ → CD=AD-AC=2AD-AB, → → → → 1→ → 1→ ∴CD2=(2AD-AB)2?3=4AD2+AB2-AD· AB, → → ∵|AD|=|AB|, → → 5→ ∴4|AD|2-|AD|· |AB|cos60° =3, → 解之得|AD|=2.

→ → → 1→ → 1→ 又BC=AC-AB=2AD,∴|BC|=2|AD|=1. → → → ∴|BC|2+|CD|2=|BD|2.∴BC⊥CD. 1 1 3 ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD=2×22×sin60° +2×1× 3=2 3,故 选 B. 12.平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以 推广到 n(n≥3)维向量,n 维向量可用(x1,x2,x3,x4,…,xn)表示.设 a=(a1,a2,a3,a4,…,an),b=(b1,b2,b3,b4,…,bn),规定向量
n

a 与 b 夹角 θ 的余弦为 cosθ=

∑a b i =1 i i .已知 n n ?∑ a2??∑b2? i=1 i i=1 i

n 维向量 a,b,当 a

=(1,1,1,1,…,1),b=(-1,-1,1,1,1,…,1)时,cosθ 等于( n-1 A. n n-2 C. n 答案 解析 D n-3 B. n n-4 D. n

)

?aibi=(n-2)-2=n-4.
i= 1 n

n

2 ?a2 i =n, ?bi =n.∴cosθ= i=1 i=1

n

n-4 n-4 = n . n· n

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在 题中横线上) → → 13. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、 B 两点, 且|OA+OB

→ → |=|OA-OB|,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为________. 答案 ± 2

解析 如图,

→ → → → → → → 作平行四边形 OADB,则OA+OB=OD,OA-OB=BA,∴|OD| → =|BA|. → → → 又|OA|=|OB|,∴四边形 OADB 为正方形,易知|OA|为直线在 y 轴 上的截距大小,a=2.验证 a=-2 时,成立. 14.(2011· 浙江理)若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 1 α,β 为邻边的平行四边形的面积为2,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围 是________. 答案 π 5π [6, 6 ]

1 解析 对于以向量 α,β 为邻边的平行四边形的面积 S=2|α||β|· sin 1 1 1 〈α,β〉×2=|β|sin〈α,β〉=2,因此 sin〈α,β〉= ∈[2,1],因 2|β| π 5π 此 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是[6, 6 ].

15.(2011· 江西理)已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. π 答案 3 解析 由|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,得 a· b=2,cos〈a,b〉 = a· b 2 1 = =2,所以〈a,b〉=60° . |a||b| 2×2 16.△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,重心为 G, → → 3 → 若 aGA+bGB+ 3 cGC=0,则∠A=________. π 答案 6 → → → → → → 解析 由 G 为△ABC 的重心知GA+GB+GC=0, GC=-GA-GB. → → → → 3 3 → 因此由题意有 aGA+bGB+ 3 c(-GA-GB)=(a- 3 c)GA+(b- 3 → 3 c)GB=0. → → 3 3 又GA、GB不共线,因此有 a- 3 c=b- 3 c=0, b2+c2-a2 b2+c2-a2 3 3 即 a=b= 3 c,cosA= 2bc = =2. 3 2 × 3 c2 π 又 0<A<π,所以 A=6. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知向量 a=(sinθ, 3),b=(1,cosθ),θ π π ∈(-2,2).

(1)求 a⊥b,求 θ; (2)求|a+b|的最大值. 答案 解析 π (1)-3 (2)3 (1)因为 a⊥b,所以 sinθ+ 3cosθ=0.

得 tanθ=- 3. π π π 又 θ∈(-2,2),所以 θ=-3. π (2)因为|a+b|2=(sinθ+1)2+(cosθ+ 3)2=5+4sin(θ+3). π 所以当 θ=6时,|a+b|2 的最大值为 5+4=9. 故|a+b|的最大值为 3. 18.(本小题满分 12 分)如图,A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点, 3 4 点 B、P 在单位圆上,且 B(-5,5),∠AOB=α,∠AOP=θ(0<θ<π), → → → OQ=OA+OP,四边形 OAQP 的面积为 S.

(1)求 cosα+sinα 的值; → → (2)求OA· OQ+S 的最大值及此时 θ 的值. 答案 1 π (1)5 (2)最大值为 2+1,此时 θ 的值 θ=4

解析

3 4 (1)∵B(-5,5),∠AOB=α,

3 4 1 ∴cosα=-5,sinα=5,cosα+sinα=5. (2)由已知得:A(1,0),P(cosθ,sinθ), → → → ∴OQ=(1+cosθ,sinθ),OA· OQ=1+cosθ. 又 S=sinθ, → → π ∴OA· OQ+S=sinθ+cosθ+1= 2sin(θ+4)+1(0<θ<π). → → π 则OA· OQ+S 的最大值为 2+1,此时 θ 的值 θ=4. 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, A A A A b,c.已知向量 m=(2cos 2 ,sin 2 ),n=(cos 2 ,-2sin 2 ),m· n=-1. (1)求 cosA 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. 答案 解析 1 (1)-2 (2)2 A A A A (1)∵m=(2cos 2 ,sin 2 ),n=(cos 2 ,-2sin 2 ),m· n=-1,

A A 1 ∴2cos2 2 -2sin2 2 =-1,∴cosA=-2. 1 2π (2)由(1)知 cosA=-2,且 0<A<π,∴A= 3 . ∵a=2 3,b=2, a b 2 3 2 由正弦定理得sinA=sinB,即 2π=sinB, sin 3 1 π ∴sinB=2.∵0<B<π,B<A,∴B=6.

π ∴C=π-A-B=6,∴C=B.∴c=b=2. 20.(本小题满分 12 分)设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分 → → → → 别为 a、b、c,且满足(2a+c)· BC· BA+c· CA· CB=0. (1)求角 B 的大小; → → (2)若 b=2 3.试求AB· CB的最小值. 答案 解析 2 (1)3π (2)-2 → → → → (1)因为(2a+c)BC· BA+cCA· CB=0,

所以(2a+c)accosB+cabcosC=0, 即(2a+c)cosB+bcosC=0, 则(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 所以 2sinAcosB+sin(C+B)=0, 1 2π 即 cosB=-2,所以 B= 3 . 2π (2)因为 b2=a2+c2-2accos 3 , 所以 12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4, 当且仅当 a=c 时取等号,此时 ac 最大值为 4, → → 2π 1 所以AB· CB=accos 3 =-2ac≥-2, → → 即AB· CB的最小值为-2. 21.(本小题满分 12 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R. 1 (1)若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb,3(a+b)三向量的终点在 一直线上?

(2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60° ,t 为何值时,|a-tb|的值最小? 解 1 (1)设 a-tb=m[a-3(a+b)],m∈R,

2 m 化简得(3m-1)a=( 3 -t)b, 2 ? ?3m-1=0 ∵a 与 b 不共线,∴? m ? ? 3 -t=0 3 ? ?m=2, ?? 1 ? t = ? 2.

1 1 ∴t=2时,a,tb,3(a+b)的终点在一直线上. (2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60° =(1+t2-t)|a|2. 1 3 ∴当 t=2时,|a-tb|有最小值 2 |a|. -1 1 22.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(sinx,sinx),b=(2,cos2x). π (1)若 x∈(0,2],试判断 a 与 b 能否平行? π (2)若 x∈(0,3],求函数 f(x)=a· b 的最小值. 解析 -1 1 π (1)若 a 与 b 平行,则有sinx· cos2x=sinx· 2,因为 x∈(0,2],

sinx≠0,所以得 cos2x=-2,这与|cos2x|<1 相矛盾,故 a 与 b 不能平 行.
2 2 cos2x 2-cos2x 1+2sin x (2) 由于 f(x) = a· b = sinx - sinx = sinx = sinx = 2sinx +

1 π 3 1 ,又因为 x ∈ (0 , ] , 所以 sin x ∈ (0 , ] , 于是 2sin x + sinx 3 2 sinx ≥2 1 1 2 2sinx· = 2 2 ,当 2sin x = ,即 sin x = sinx sinx 2 时取等号.故函数

f(x)的最小值等于 2 2.

高考资源网

w w w.ks5u.com

高 考 资源 网


相关文章:
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第十一章 单元测试卷)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第十一章 单元测试卷)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第十一章 单元测试卷...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第七章 单元测试卷)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第七章 单元测试卷)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第七章 单元测试卷)第...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第十章 单元测试卷)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第十章 单元测试卷)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:第十章 单元测试卷)第...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:选修系列4 综合测试卷)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:选修系列4 综合测试卷)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:选修系列4 综合测试...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:8-5 课时作业)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:8-5 课时作业)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:8-5 课时作业)课时...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:10-5 课时作业)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:10-5 课时作业)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:10-5 课时作业)课时...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:11-5 课时作业)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:11-5 课时作业)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:11-5 课时作业)课时...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:7-1 课时作业)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:7-1 课时作业)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:7-1 课时作业)课时...
2013届高考数学(理)一轮复习单元测试第6章数列
2012年高考全国卷(新课标版... 2013届高考数学(理...2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第六章数列...( ) A.58 B.88 C.143 D.176 ) 2. (2012 ...
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:11-6 课时作业)
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:11-6 课时作业)_高中教育_教育专区。2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:11-6 课时作业)课时...
更多相关标签: