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广东省阳江市阳东广雅中学2015-2016学年高二数学5月月考试题 理


阳东广雅中学 2015~2016 学年第二学期高二年级 5 月月考试题 理科数学
考试时量:120 分钟 满分:150 分

本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封 线内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 第一部分 选择题 一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.若复数 z ? (3 ? i)?(2 ? i) , 则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) )

D.第四象限

2. 用反证法证明命题“自然数 a,b,c,中恰有一个偶数”时,需假设( A. a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 D. a,b,c 至少有两个偶数 3.曲线 y ? x ? x ? 4 在点 (1, 4) 处的切线的倾斜角为(
3 2

) D.120°

A.30°
3

B.45° ).

C.60°

4. 函数 y ? x ? 3x 的单调递减区间是( A. (??,?1) B. ( ?1,1)

C. (1, ? ?)

D. (??,?1) 和 (1, ? ?)

5.已知 6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有 ( ) A. 240 种 B. 360 种 C. 480 种 D. 720 种

6. 某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那 么不同的选派方案种数为( ) A. 24 B. 14 C. 8 D. 6 3 7.直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A. 2 2
3

B. 4 2

C. 2

D. 4 )

8. 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( A. 1,-1 B. 1,-17 C. 3,-17 D. 3,1

1

9.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁不能 排在一起,则 不同的排法共有( A. 12 种 ) B. 20 种 C.24 种 D. 48 种 )

10.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??,? 3 ] ? [ 3,??) B. [? 3, 3] C. (??,? 3 ) ? ( 3,??)

D. ( ? 3 , 3 )

11.已知函数 f ?x ? 为定义在 ?? ?,?? ? 上的可导函数,且 f ?x ? ? f ?( x) 对于 x ? R 恒成立,且 e 自 然对数的底数,则( )

) < e 2013 f (0) A. f (1) > e ? f (0) 、 f (2013 ) > e 2013 f (0) C. f (1) > e ? f (0) 、 f (2013
x

) > e 2013 f (0) B. f (1) < e ? f (0) 、 f (2013 ) < e 2013 f (0) D. f (1) < e ? f (0) 、 f (2013


12.设函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2015? ) ,则函数 f ( x) 的各极大值之和为( A.

e 2? (1 ? e2015? ) 1 ? e 2?

B.

e 2? (1 ? e2015? ) 1 ? e?

C.

1 ? e 2015? 1 ? e 2?

D.

e? (1 ? e 2016? ) 1 ? e 2?

第二部分 非选择题 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、在平面上,若两个正三角形的边长之比为 1 : 2 ,则它们的面积之比为 1 : 4 ;类似地,在空间 内,若两个正四面体的棱长之比为 1 : 2 ,则它们的体积之比为 ;

14.若幂函数 f ( x ) 的图象经过点 A( , ) ,则曲线 y ? f ( x) 在 A 点处的切线方程是 15. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 导 函 数 y ? f ?( x ) 的 图 象 如 右 , 则

1 1 4 2

y ? f ( x) 有

个极大值点 .

16. 函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,若对于定义域内任意 x1 ,

x 2 ( x1 ? x2 ) ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) 恒成立,则称 f ( x) 为恒均变函数.给出下列函数: x1 ? x2 2
2

① f ( x)=2 x ? 3 ;② f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ;③ f ( x )= 变函数的序号是

1 x ;④ f ( x)=e ;⑤ f ( x)= ln x .其中为恒均 x

.(写出所有 满足条件的函数的序号) ..

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 求曲线 y ? x ( x ? 0) 在点 A( 2,4) 的切线与该曲线以及 x 轴所围成的图形的 面积.
2

2

(1 ? i) 2 ? 3(1 ? i) 18.(本小题满分 12 分)已知复数 z ? (i 是虚数单位). 2?i
(Ⅰ)求复数 z 的模|z|; (Ⅱ)若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i(a,b ? R) ,求 a , b 的值.

19.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=x -3ax +3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值(列出表格).
3 2

20.(本小题满分 12 分)已知 S n ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 3 4 2n ? 1 2n ,

Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N * ) n ?1 n ? 2 n ? 3 2n (Ⅰ)求 S1 , S2 及 T1 , T2 ;
(Ⅱ)猜想 S n 与 Tn 的大小关系,并用数学归纳法证明.

3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x . 2 2 3 x 的图象的下方. 3

e] 上的最大、最小值; (1)求函数 f ( x ) 在区间 [1,

? ?) 上,函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) ? (2)求证: 在区间 (1,

22.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ? R . x

(Ⅱ)若 g ( x) 在 其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 h( x)

? x 2 ? mx ? 4 ,当 a ? 2 时,若 ?x1 ? (0,1) , ?x2 ?[1,2] ,总 有

g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

4

参考答案 第一部分 选择题 一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.若复数 A.第一象限 , 则 在复平面内对应的点位于( D ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2. 用反证法证明命题“自然数 a,b,c,中恰有一个偶数”时,需假设(C A. a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 D. a,b,c 至少有两个偶数 3.曲线 A.30° 4.函数 A. 在点 B.45° 的单调递减区间是( B. C. ). D. 和 处的切线的倾斜角为 ( B C.60° )

D.120°

5.已知 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有 () A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那 么不同的选派方案种数为( B ) A. 24 B. 14 C. 8 D. 6 7.直线 A. 8. 函数 A. 1,-1 不同的排法共有(C) A. 12 种 B. 20 种 C. 24 种 在 B. D. 48 种 与 曲线 B. 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D C. D. )

在闭区间[-3,0 ]上的最大值、最小值分别是( C ) B. 1,-17 C. 3,-17 D. 3,1

9.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁不能排在一起,则

10.已知函数 A. 【答案】B 【解析】 试题分析:

上是单调函数,则实数 的取值范围是( B` ) C. D.

,由题意, ;



上恒成立,

5

考点:1.导数与单调性;2.恒成立问题; 11.已知函数 为定义在 然对数的底数,则( C ) A. C. > > 、 、 < > 上的可导函数,且 B. D. < < ,则函数 、 、 对于 > < 的各极大值之和为( D ) 恒成立,且 自

12.设函数

A.

B.

C.

D.

一、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、在平面上,若两个正三角形的边长之比为 内,若两个正四面体的棱长之比为 ,则它们的面积之比为 ; ;类似地,在空间

,则它们的体积之比为

14.若幂函数

的图象经过点

,则曲线

在 A 点处的切线方程是

15.已知函数 1 16 . 函 数

的导函数

的图象如右,则



个极大值点.

的导函数为

,若对于定义域内任意



,有

恒成立,则称

为恒均变函数.给出下列函数:①

;② 函数的序号是 【答案】①②

;③ ;④ ;⑤ . (写出所有 满足条件的函数的序号) ..

.其中为恒均变

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 求曲线 的面积. 解:求导: ,则曲线在点 在点 的切线与该曲线以及 . 轴所围成的图形

处的切线斜率为:

由点斜式知切线方 程为: 切线与 轴的交点为

-----------------------------5 分 ,故所求图形面积为: ------10 分

1 8. (本小题满分 12 分)已知复数

(i 是虚数单位).
6

(Ⅰ)求复数 z 的模|z|; (Ⅱ)若 解:(1)(本小问 6 分)

,求

的值.

??????????3 分

? ?????????????????????6 分 (2)(本小问 6 分) ? ?????????8 分

?????????12 分 19.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=x -3ax +3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值(列出表格).
3 2

解:(1)(本小问 5 分) 由已知得, ????????????????2 分

????????????????5 分 (2)(本小问 7 分)

??????????8 分 当 x 变化时,f′( x )与 f(x )的变化情况如表

x f′(x) f(x)
可知,当 当

(-∞, -1) + ↗

-1 0 极大值

(-1,3) - ↘

3 0 极小值

(3,+ ∞) + ↗

时,函数 f(x)有极大值,且 时,函数 f(x)有极小值,且 。

; ????????????12 分

7

20.(本小题满分 12 分)已知 ,

(Ⅰ)求 (Ⅱ)猜想

及 与

; 的大小关系,并用数学归纳法证明.

解: ............4 分

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求函数 在区间 上的最大、最小值;



(2)求证: 在区间

上,函数

的图象在函数

的图象的下方.

8

(1)解:由已知 所以函数 在区间





时,



上单调递增,

所以函数

在区间

上的最大、最小值分别为





所以函数

在区间

上的最大值为

,最小值为

;..........6 分

(2)证明 :设 因为 ,所以 , 所以函数

,则 在区间 上单调递减,



又 所以在区间

,所以在区间 上函数

上, 的图象在函数 ,

,即



图象的下方 ...........12 分 ,其中 .

22.(本小题满分12分) 已知函数 (Ⅰ)讨论 (Ⅱ)若 的单调性;

在 其定义域内为增函数,求正实数 的取值范围;

(Ⅲ)设函数 成立,求实数

,当

时,若



,总 有

的取值范围.

(Ⅱ)

;(Ⅲ)

的取值范围是 ,且 在

. , 上单调递增; ;由 ,得 ;故 在 上单调递

详解:(Ⅰ) ① 当 ② 当 减,在 时, 时,由

的定义域为 , ,得

上单调递增.

(Ⅱ)



的定义域为

9

因为 所以 ,

在其定义域内为增函数,



,当且仅当

时取等号,所以

(Ⅲ)当

时,



由 当 所以在 而“ 于 在

得 时, 上, ,

或 ;当 时,

,总有 在

成立”等价于“ 上的最大值为



上的最大值不小

上的最大值”而

注意不能用构造函数的方法 ,因为定义域不同.

所以有 ,所以实数 的取值范围是 .

10


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