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高中数学完整讲义——三角函数4.三角函数综合题


高中数学讲义

板块四.三角函数的综合

题型一:与三角恒等变换的综合题
π? ? 【例1】 函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是 4? ?



2 ? x ? 【例2】 设函数 f ? x ? ? cos ? x ? π ? ?

2cos 2 ,x ? R . 3 ? 2 ? ⑴求 f ? x ? 的值域;

⑵记 △ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a , b , c ,若 f ? B ? ? 1 , b ? 1 , c ? 3 ,求
a 的值.
π? ? π? ? 【例3】 已知函数 f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ? ? π 3π ? ⑴当 m ? 0 时,求 f ? x ? 在区间 ? , ? 上的取值范围; ?8 4 ?

3 ⑵当 tan ? ? 2 时, f ? x ? ? ,求 m 的值. 5

【例4】 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 1( x ? R)

⑴求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ? 0 , ? 上的最大值和最小值; 2? ?
6 ?π π? ⑵若 f ( x0 ) ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?
【例5】 已知函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ??? ? 0 , | ? |? π ? 的图象如图所示.

?

π?

⑴ 求 ? , ? 的值; ⑵ 设 g ( x) ? f ( x) f ? x ? ? ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4
? ? ? π?

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1

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y 1

O

π 4

π 2

x

-1

?? ? 【例6】 已知函数 f ? x ? ? 3a sin2 x ? 2a sin x ? cos x ? 3 3a cos2 x ? b ? 0 ? x ? ? 的值域为[ ? 3 , 2 ], 2? ?

求 a、b 的值.
1 3 sin x ? cos x ? 1 , x ? R . 【例7】 已知函数 y ? cos 2 x ? 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;

(2)该函数的图象可由 y ? sin x ? x ? R ? 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
π π ,其部分图象如 ?? ? ) 2 2

【例8】 已知函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? , x ? R (其中 A ? 0 , ? ? 0 , ?

图所示.
y 1

-

π 4

O

π 4

x

-1

⑴求 f ? x ? 的解析式; ⑵求函数 g ( x) ? f ? x ? ? ? f ? x ? ? 在区间 ? 0 , ? 上的最大值及相应的 x 值. 2? 4? ? 4? ? ?
?π ? ?π ? 【例9】 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ? , 0 ? , ? , 1? . 6 ? ? ?3 ? ⑴求实数 a 、 b 的值; π? ? ⑵若 x ? ?0 , ? ,求函数 f ( x) 的最大值及此时 x 的值. 2? ? ?π ? 1 【例10】 设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x sin ? ? x ? ? . 2 ? ? 2 ? π? ? π? ? π?

⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵当 x ? ?0 ,
? ? π? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2? ?

2

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π? ? 【例11】 已知函数 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x 3? ?

⑴求函数 f ( x) 的最小正周期及图象的对称轴方程; ⑵设函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x) ,求 g ( x) 的值域.

x x x x 【例12】 已知函数 f ( x) ? 2a sin cos ? sin 2 ? cos2 (a ? R) 2 2 2 2

⑴当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最小正周期及图象的对称轴方程式; ⑵当 a ? 2 时,在 f ( x) ? 0 的条件下,求
cos 2 x 的值. 1 ? sin 2 x

题型二:与二次函数的综合题
【例13】 已知 x ≤

π ,求函数 y ? cos2 x ? sin x 的最小值 4

【例14】 求函数 y ? 2 ? 2sin x ? cos2 x 的最大值和最小值。

【例15】 设二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c (b , c ? R) ,已知不论 ? , ? 为何实数,恒有 f (sin ? ) ? 0 ,
f (2 ? cos ? ) ? 0 , (1)求证: b ? c ? ?1 ; (2)求证 c ? 3 。

【例16】 已知函数 y ? cos2 x ? sin x ? 3 , x ? [ , ] ,求函数的最大值。 6 2 【例17】 当方程 4sin 2 x ? 4sin x ? k 2 ? k ? 2 ? 0 有解时,求 k 的取值范围. 【例18】 求函数 y ? ?2sin 2 x ? 2sin x ? 1的值域.

?

?

【例19】 求函数 y ? 2 ? 2a cos x ? sin 2 x 的最大值与最小值.

5 3 π 【例20】 求函数 y ? sin 2 x ? a cos x ? a ? (0 ≤ x ≤ ) 的最大值 8 2 2

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【例21】 函数 f ( x) ? 1 ? 2a cos x ? 2sin 2 x ? 2a 的最小值为 g (a) , a ? R .

⑴求 g (a)

⑵若 g (a) ?

1 ,求 a 及此时 f ( x) 的最大值 2

【例22】 若函数 f ( x) ? cos2 x ? a sin x ? b 的最大值为 0 ,最小值为 ?4 ,且 a ? 0 ,求 a , b 的值

【例23】 若 sin 2 x ? cos x ? a ? 0 有实数根,试确定实数 a 的取值范围.

π? ? 【例24】 为使方程 cos2 x ? sin x ? a ? 0 在 ? 0 , ? 内有解,则 a 的取值范围是( 2? ?

)
5 4

A. ?1 ≤ a ≤ 1

B. ?1 ? a ≤ 1

C. ?1 ≤ a ? 0

D. a ≤ ?

【例25】 已知函数 y ? sin 2 x ? a sin x ? 1 的最小值为 1,求 a 的值.

【例26】 已知函数 f ( x) ? 2cos 2x ? sin 2 x ? 4cos x .

(Ⅰ )求 f ? ? 的值; ?3? (Ⅱ )求 f ( x) 的最大值和最小值.

?π?

题型三:与不等式的综合题
【例27】 已知定义在 (?? , 4] 上的减函数 f ( x) ,使得 f (m ? sin x) ≤ f ( 1 ? 2m ?

7 ? cos2 x) ,对一切 4

实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围 .

【例28】 已知 b , c 是实数,函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 对任意 ? , ? ? R 有:

① f (sin ? ) ≥ 0 ② f (2 ? cos ? ) ≤ 0 ⑴求 f (1) 的值; ⑵证明: c ≥ 3 ; ⑶设 f (sin ? ) 的最大值为 10 ,求 f ( x) .

4

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11 π 【例29】 已知 lg[ ? 9cos( x ? )]≤1 ,求函数 y ? cot 2 x ? 2cot x ? 5 的值域. 2 6

【例30】 关于 x 的不等式 a 2 ? 2a ? sin 2 x ? 2a cos x ≥ 2 的解集是全体实数,求实数 a 的取值范围

【例31】 已知关于实数 x 的不等式 | x ?

解集分别为 M , N ,且 M

(tan ? ? 1)2 (tan ? ? 1)2 , x2 ? 3(tan ? ? 1) x ? 2(3tan ? ? 1) ? 0 的 |? 2 2 N ? ? ,则这样的 ? 存在吗?若存在,求出 ? 的取值范围。

题型四:与数形结合的综合题
【例32】 求方程 lg x ? sin x ? 0 的解的个数;

【例33】 求方程 100sin x ? x 的解的个数.

【例34】 函数 y ? x 2 ? x 与 y ? cos(10πx) 的图象交点有 【例35】 方程 sin 2 x ?

个. .

1 在 [?2π , 2π] 内解的个数为 2

【例36】 如图,方程 sin 2 x ? sin x 在区间 (0 , 2π) 内解的个数是(

)

A. 1
y

B. 2
sin2x

C. 3

D. 4

2?

O

?
sinx

x

题型五:与其它函数综合题
2 ? ?sin(? x ), ?1 ? x ? 0 【例37】 函数 f ( x) ? ? x ?1 ,若 f (1) ? f (a) ? 2 ,则 a 的所有可能值为( ? ?e , x ≥ 0



A.1

B. 1 , ?

2 2

C. ?

2 2

D. 1 ,

2 2

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【例38】 求函数 y ? cos x ? sin x ? 【例39】 求下列函数的定义域: (1) f ( x) ?
1 的定义域。 2

3 ? tan x ;

(2) f ( x) ? tan(sin x) ; (3) f ( x) ?
2cos x ? 1 . lg(tan x ? 1)

? π π? 【例40】 求函数 y ? log2 (1 ? sin x) ? log 2 (1 ? sin x) , x ? ? ? , ? 的值域. ? 6 4?

【例41】 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x? ? π ?? ? ? lg ? cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ? ? lg ? 2 cos ? x ? ? ? ? lg ?1 ? sin 2 x ? . 2? 4 ?? ? ? ?

【例42】 求函数 y ?

3 ? sin 2 x ( x ? kπ , k ? Z) 的值域. sin 2 x

【例43】 y ?

(1 ? sin x)(3 ? sin x) 的最值及对应的 x 的集合 2 ? sin x

【例44】 求函数 y ?

3 的最大(小)值及取得最大(小)值时 x 的值. (2 ? cos x)(5 ? cos x)

题型六:与向量的综合题
【例45】 在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BC ? 10 ,则 AB ? AC ? ( A. ?



3 2

B. ?

2 3

C.

2 3

D.

3 2

b, c 为 ?ABC 的三个内角 A , B, C 的对边,向量 m ? ( 3 , 【例46】 已知 a , ? 1) ,

n ? (cos A , sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B ?



6

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【例47】 已知向量 m ? ? sin B , 1 ? cos B ? ,且与向量 n ? ? 2 , 0? 的夹角为

? ,其中 A, B, C 是 △ ABC 的 3

内角. (I)求角 B 的大小;

(II)求 sin A ? sin C 的取值范围

? 3? 【例48】 已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 A(3 , 0) 、 B (0 , 3) 、 C (cos ? ,sin ? ) , ? ? ( , ), 2 2
(I)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; (II)若 AC ? BC ? ?1 ,求
2sin 2 ? ? sin 2? 的值 1 ? tan ?

【例49】 设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2cos x , 1) , n ? (cos x ,

3 sin 2 x) , x ? R

(1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 f ( x) ? 2 , b ? 1 ,△ ABC 的 面积为
3 b?c ,求 的值。 2 sin B ? sin C

【例50】 已知向量 n ? ? cos? , sin ? ?

和n ?

?

2 ? sin ? , cos ? , ? ??? , 2? ? .

?

(1)求 | m ? n | 的最大值;(2)当 | m ? n | =

8 2 ?? ? ? 时,求 cos ? ? ? 的值 5 ?2 8?

【例51】 已知△ ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 , 且 AB ? BC ? 6 , AB 与 BC 的夹角为 ?

王新敞
奎屯

新疆

(I) 求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? sin 2 ? ? 2sin ? ? cos? ? 3cos2 ? 的最小值
王新敞
奎屯 新疆

【例52】 已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .

(I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?
?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

【例53】 已知 ? 、 ? ? (0 ,

?
2

) , a ? (sin ? , 1 ? cos? ) , b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ? b ?

3 ? cos ? 2

(1)求向量 a 与 b 的夹角 ? ;

(2)求 ? 、 ? 的值.

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【例54】 已知锐角△ ABC 中,三个内角为 A、B、C,两向量 p ? (2 ? 2sin A , cos A ? sin A) ,

q ? (sin A ? cos A , 1 ? sin A) ,若 p 与 q 是共线向量.

(1)求 A 的大小; (2)求函数 y ? 2sin 2 B ? cos
C ? 3B 取最大值时,B 的大小 2

cos A) , n ? 【例55】 已知向量 m ? (sin A ,

?

3, ? 1 , m ? n ? 1 ,且 A 为锐角.

?

⑴求角 A 的大小;⑵求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.
cos A) , n ? (1, ? 2) 且 m ? n ? 0 【例56】 已知向量 m ? (sin A ,

⑴求 tan A 的值; ⑵求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R) 的值域.

题型七:三角函数杂题
【例57】 设 f ? x ? 满足 2 f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4sin x cos x(?

?
4

?x?

?
4

) ,求 f ( x) 的表达式.

【例58】 圆 x 2 ? y 2 ? k 2 至少覆盖函数 f ( x) ? 3 sin

πx 的一个最大值点与一个最小值点,求实数 k 的 k

取值范围.
【例59】 如图, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P0

?

2 ,? 2 , 角速度为 1,

?

那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为
y P

O P0

x

d 2 O ? t

d 2 2 O 3? 4 t

A.

B.

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d 2 2 O ? 4 t
d 2 O ? 4 t

C.

D.

【例60】 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位

圆交于 A , B 两点.已知 A , B 的横坐标分别为 ⑴求 tan(? ? ? ) 的值; ⑵求 2? ? ? 的值.

5 7 2 , . 5 10

y A

?
O

?

B x

【例61】 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营

救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船. ⑴求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; ⑵设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与 CA 成 ? 角, 求 f ? x ? ? sin 2 ? sin x ? cos2 ? cos x ? x ? R ? 的值域.


A

20

B

10 C

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π? ? 【例62】 已知函数 f ? x ? ? sin 2x , g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ,直线 x ? t ? t ? R ? 与函数 f ? x ? 、 g ? x ? 的图象 6? ?

分别交于 M 、 N 两点, π ? π? ⑴当 t ? 时,求 | MN | 的值;⑵求 | MN | 在 t ? ?0 , ? 时的最大值. 4 ? 2?

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