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2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 利用图形计算器解决需要分类的数形结合问题


2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 利用图形计算器 解决需要分类的数形结合问题 《普通高中数学课程标准(实验)》明确提出,要“尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台, 加强数学教学与信息技术的结合,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 ”图形计算器虽然使 用还不够广泛,但它在代数运算、编程、数据统计、动态几何等方面都有较强大的功能,并且便于携带, 可以随时随地使用,因此其优势比较明显。 在查看资料的过程中遇到了这样一个问题: “ 分别就 a =2,a = 5 1 和 a = 画出函数 y = ax,y = logax 的图象,并求方程 ax = logax 解的个数. ” 4 2 一、我们的主观意识常常会引导我们犯错 在解决需要进行分类讨论的数形结合问题时,我们常常以主观意识即通过以下步骤通过绘制图像进行 判断: 使用“计算·矩阵”功能模块,将一个大于 1 的数(这里设置为 3)赋值给参数 A。 使用“图形”功能模块,绘制函数 Y1=Ax 及函数 Y2=logAX。 1 由此图可知,当 a > 1 时,方程 ax = logax 无解; 用同样的方法,作出 0 < a < 1 时 y = ax 与 y = logax 的图象(我们一般会选择易于计算的 0.5) 。 2 因它们只有一个公共点,所以我们通常会得出当 0 < a < 1 时,方程 ax = logax 有且只有一解的结论。 通过我们惯用的思想方法来解决这一问题得到的结论看起来是准确无误的,但是这种通过主观意识的 判断而得来的结论就真的正确么?下面的操作会让我们颠覆这种看法。 二、如果再多进行一步,结果将会让人吃惊 在这里,我们将 0.1 这个在(0,1)区间中的实数赋值给参数 A,这时再使用“图形”功能模块绘制 图像 3 显然, 在改变参数后, 我们发现这两个函数的图像出现了一个交点, 此时, 点击键盘上的 F5, 选择 “交 点”功能即可得到交点坐标。 如果我们就这样想要得出新的结论的话,先不要着急,当我们把(1,+∞)上的无理数 2 赋值给参数 A 时,我们会发现之前得出的结论又一次被推翻。 4 使用之前的方法在做出图像后求出交点坐标,这一次, 这两个函数的图像出现了两个交点 如果这样就想要提出新的结论, 还是为时过早, 如果我们将 0.03 这个 (0,1) 上的有理数赋值给参数 A, 就会得到这样的图像。 5 这时,我们会发现这两个函数的图像出现了三个交点。 为了保险起见,我们使用“动态图”功能模块来验证(由于这款计算器不支持步长为 0.01 的情况,我 们只能验证步长为 0.1) 。 6 当曲线 y = ax 与 y = logax 相切时,曲线 y = ax 与 y = logax 有且只有一个公共点。 由此可知,当 a > 1 时,方程 ax = logax 的解可能有 2 个、1 个或 0 个; 当 0 < a < 1 时,方程 ax = logax 的解可能有 3 个或 1 个, 通过以上操作,我们可以在 a 的取值不同的情况下,方程 ax = logax 解的个数有下列多种不同情况:0 个、1 个、2 个、3 个。 三、在现象中理解这个问题的理论依据 通过刚才的操作,我们通过函数图象得出了方程 ax = logax (a>0,且 a≠1)解的个数。 如果在没有图形计算器的场合我们又该如何解决这个问题呢? 7 对于方程 ax = logax Ⅰ.在 a > 1 时 先求 y = a

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