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数学选修2-2第一章测试题及答案


第一章测试题
一、选择题 1. 已知函数 f(x)=ax2+c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为 A.1 B. 2 C.-1 ( D.6 ( D. 0 ) )

2. 函数 y=(2x+1)3 在 x=0 处的导数是 A.0 B.1 C.3 3.函数 y ? cos 2 x在点( A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2

y ? ? ? 0

?
4

,0) 处的切线方程是
B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0





4.设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜率为( A. ?



1 5

B. 0

C.

1 5

D. 5

5. 给出以下命题:⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵

?

2? 0

sin x dx ? 4 ;⑶f(x)

的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;其中正确命题的个数为
C. 3 D. 0 ( )





A. 1

B. 2
3

6.函数 y ? 1 ? 3x ? x



C.

A.极小值-1,极大值 1 极小值-1,极大值 3
2

B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2 (
1 2

7.若函数 f(x)=x3-3b x +3b 在(0,1)内有极小值,则 A.0<b<2 B.b<2 C.b>0 D.0<b<



8、由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为( A.



32 9

B. 2 ? ln 3

C. 4 ? ln 3

D. 4 ? ln 3 )

9. 已知自由下落物体的速度为 V=gt,则物体从 t=0 到 t0 所走过的路程为( A.

1 2 gt0 2

B. gt0 2

C.

1 2 gt0 3

D.

1 2 gt0 4
( )

10.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 A、0 B、-4 C、-2 D、2

f ? x ? ? x2 ? 2x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于

第 1 页 共 6 页

11.已知函数 y ? (x ?1) f ?( x) 的图象如图所示,其中 f ?( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数,则 y ? f ( x) 的大致图象是(

y

-1
)
O

1

x

12.设 0< a <b,且 f (x)= A.f ( a )< f (

1? 1? x ,则下列大小关系式成立的是 ( x
B. f (

).

a?b )<f ( ab ) 2 a?b C. f ( ab )< f ( )<f ( a ) 2

a?b )<f (b)< f ( ab ) 2 a?b D. f (b)< f ( )<f ( ab ) 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?10, (0 ? x ? 2) F ( x ) ? ? 13.一物体在力 ?3x ? 4, ( x ? 2)

(单位: N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x ? 0 处运动到 焦。

x ? 4 (单位:m)处,则力 F ( x) 做的功为
14.已知 f(x)= 3 x · sinx,则 f’(1)=__________

15.

?

3

?3

9 ? x dx =
2

,

?

?

2 0

( x ? sin x )dx =



16、已知曲线 线方程是 三、解答题 17. (10 分)

y ? x3 ? 3x2 ? 6 x ? 10 上一点 P ,则过曲线上 P 点的所有切线方程中,斜率最小的切


求 函数y ? 2 cos x ? 的图象与x轴及直线x ? 0、x ? ? 所围成的图形的面积。
2

1 2

第 2 页 共 6 页

18. (12 分)已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线上, 求这种矩形中面积最大者的边长.

19. (12 分)平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? (

1 3 , ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t 使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试确定函数 k ? f (t ) 的单调区间。

20、 (12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得
3 2

极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) , 如图所示.求: (1) x0 的值; (2) a, b, c 的值. (3)若曲线

y ? f ( x) (0 ? x ? 2) 与 y ? m 有两个不同的交点,求实数 m 的取值范围。

第 3 页 共 6 页

21 、 ( 12 分 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx ? c 图 像 上 的 点 P (1, m) 处 的 切 线 方 程 为

y ? ?3x ? 1 .
(1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式; (2)函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围。

22. (12 分)设 a ≥ 0 ,

f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) .

? ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0,

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln

2

x ? 2a ln x ? 1 .

第 4 页 共 6 页

2-2 第一章测试题 答案 一、选择题 1—5 ADDBB 二、填空题 13. 46 14. 6—12 CDCAB 11—12 BD

1 sin1+cos1 3

15. 9? , 2

?2
8

?1

16.

3x ? y ? 11 ? 0

三、非选择题 17.

3?

?
6

18.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y) ,且 x >0,y >0, 则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y) , 在 x 轴上的两个顶点为(-x,0) 、 (x,0) ,其中 0< x <2. 2 设矩形的面积为 S,则 S =2 x(4-x ) ,0< x <2. 由 S′(x)=8-6 x2=0,得 x =

2 3 ,易知 3

x =

2 3 是 S 在(0,2)上的极值点,即是最大值点, 3
4 8 3和 . 3 3

所以这种矩形中面积最大者的边长为

19.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) 得 a b ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

[a ? (t 2 ? 3)b ] (?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta b ? k (t 2 ? 3)a b ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? 1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) (t≠0) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) ? t 2 ? ? 0, 得t ? ?1, 或t ? 1; t 2 ? ? 0, 得 ? 1 ? t ? 1 且 t≠0 4 4 4 4

所以增区间为 (??, ?1), (1, ??) ;减区间为 (?1, 0), (0,1) 。 20、 (1) x0 = 1 21.解: f
'

(2) a ? 2, b ? ?9, c ? 12 (3) [4,5)

? x? ? ?3x2 ? 2ax ? b ,
'

因为函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率为-3,所以 f ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 , 又 f ?1? ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 。 (1)函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' ? ?2? ? ?12 ? 4a ? b ? 0 , 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 ,所以 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 4x ? 3 .
3 2

第 5 页 共 6 页

(2)因为函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,所以导函数 f 恒大于或等于零, 则?

'

? x ? ? ?3x2 ? bx ? b 在区间 ??2,0? 上的值

? ? f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 2b ? b ? 0, 得 b ? 4 ,所以实数 b 的取值范围为 ? 4, ?? ? f ' 0 ? b ? 0, ? ? ? ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x 2 x?2 ,x ? 0 , 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 ,于是 F ?( x) ? 1 ? ? x x
22.(Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 列表如下:

x
F ?( x)
F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

?

?

2) 内 是 减 函 数 , 在 (2, ? ∞) 内 是 增 函 数 , 所 以 , 在 x ? 2 处 取 得 极 小 值 故 知 F ( x) 在 (0, F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .

? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) 内单调增加. 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0,
所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

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