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平行线


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平行线及其判定(基础)知识讲解
【要点梳理】 要点一、平行线的定义及画法 1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线 a 与 b 平行,记作 a∥b. 要点诠释: (1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺 一不可; (2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它

们所在的直线平行,两条线段不相交并不 意味着它们就平行. (3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地,重合的直线视为一 条直线,不属于上述任何一种位置关系. 2.平行线的画法:

用直尺和三角板作平行线的步骤: ①落:用三角板的一条直角边与已知直线重合. ②靠:用直尺紧靠三角板另一条直角边. ③推:沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点. ④画:沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点二、平行公理及推论 1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 2.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 要点诠释: (1)平行公理特别强调“经过直线外一点” ,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质. (2)公理中“有”说明存在; “只有”说明唯一. (3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点三、直线平行的判定

判定方法 1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言: ∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行) 判定方法 2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言: ∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)

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判定方法 3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言: ∵ ∠4+∠2=180° ∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行) 要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形. 【典型例题】 类型一、平行线的定义及表示 1.下列叙述正确的是 ( ) A.两条直线不相交就平行 B.在同一平面内,不相交的两条线叫做平行线 C.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 D.在同一平面内,不相交的两条线段叫做平行线 【答案】C 举一反三: 【变式】在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有 ( ) A.平行或垂直 【答案】B 类型二、平行公理及推论 2.下列说法中正确的有 ( ) ①一条直线的平行线只有一条; ②过一点与已知直线平行的直线只有一条; ③因为 a∥b, c∥d,所以 a∥d;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. A.1 个 B2个 C.3 个 D.4 个 【答案】 A 举一反三: 【变式】直线 a∥b,b∥c,则直线 a 与 c 的位置关系是 【答案】平行 类型三、两直线平行的判定 . B.平行或相交 C.垂直或相交 D.平行、垂直或相交

3. (江苏)如图所示,直线 a、b 被直线 c 所截,现给出下列四个条件:

①∠1=∠5; ②∠1=∠7; ③∠2+∠3=180°; ④∠4=∠7,其中能判断 a∥b 的条 件的序号是 ( ). A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 【答案】A 举一反三:

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【变式 1】如图,下列条件中,不能判断直线 l1 ∥ l2 的是( A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5

).

D.∠2+∠4=1800

【答案】B 【变式 2】已知,如图,BE 平分 ?ABC,CF 平分 ?BCD,?1=?2,求证:AB//CD.

【答案】∵ ?1=?2∴ 2?1=2?2 ,即∠ABC=∠BCD∴ AB//CD (内错角相等,两直线平行) 4.如图所示,由(1)∠1=∠3,(2)∠BAD=∠DCB,可以判定哪两条直线平行.

【答案与解析】 解:(1)由∠1=∠3, 可判定 AD∥BC(内错角相等,两直线平行) ; (2)由∠BAD=∠DCB,∠1=∠3 得: ∠2=∠BAD-∠1=∠DCB-∠3=∠4(等式性质) ,即∠2=∠4 可以判定 AB∥CD(内错角相等,两直线平行) .

综上,由(1) (2)可判定:AD∥BC,AB∥CD. 5.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什 么? 【答案与解析】 解:这两条直线平行.理由如下: 如图: b⊥a, c⊥a∴ ∠1=∠2=90°∴ ∵

b∥c

(同位角相等,两直

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线平行) . 举一反三: 【变式】已知,如图,EF?EG,GM?EG,?1=?2,AB 与 CD 平行吗?请说明理由.

【答案】 解:AB∥CD.理由如下:如图: ∵ EF?EG,GM?EG (已知), ∴ ∠FEQ=∠MGE=90°(垂直的定义). 又∵ ∠1=∠2(已知), ∴ ∠FEQ -∠1=∠MGE -∠2 (等式性质), 即∠3=∠4. ∴ AB∥CD (同位角相等,两直线平行).

平行线及其判定巩固练习
【巩固练习】
一、选择题 1.下列关于作图的语句正确的是 ( ). A.画直线 AB=10 厘米. B.画射线 OB=10 厘米. C.已知 A,B,C 三点,过这三点画一条直线. D.过直线 AB 外一点画一条直线和直线 AB 平行. 2.下列判断正确的个数是 ( ). ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ②两条不相交的直线叫做平行线; ③在同 一平面内不相交的两条射线是平行线. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.若直线 a∥b,b∥c,则 a∥c 的依据是 ( ). A.平行的性质 B.等量代换 C.平行于同一直线的两条直线平行. D.以上都不对 4.下列说法中不正确的是 ( ). A.同位角相等,两直线平行. B.内错角相等,两直线平行. C.同旁内角相等,两直线平行. D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行. 5.如图所示,给出了过直线 l 外一点 P 作已知直线 l 的平行线的方法,其依据是 ( ).

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A.同位角相等,两直线平行. B.内错角相等,两直线平行. C.同旁内角互补,两直线平行. D.以上都不对. 6.如图所示,直线 a、b 被直线 c 所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠5;②∠1=∠7; ③∠2+∠1=180°;④∠1=∠3.其中能判定 a∥b 的序号是( ).

A.①② B.①③ C.①④ 二、填空题 7.两条射线或线段平行,是指

D.③④ .

8.如图所示,直线 a,b 被 c 所截,∠1=30°,∠2:∠3=1:5,则直线 a 与 b 的位置关系 是________.

9.如图,直线 a 和 b 被直线 c 所截,∠1=110°,当∠2=________时,有直线 a∥b 成立.

10.如图,已知若∠1+∠2=180°,则∠3+∠4=

,AB

CD.

11. 小军在一张纸上画一条直线, 再画这条直线的平行线, 然后依次画前一条直线的平行线, 当他画到第十条直线时,第十条直线与第一条直线的位置关系是________. 12. 已知直线 a、 都过点 M, b 且直线 a∥l, b∥l, 那么直线 a、 是同一条直线, b 根据是________. 三、解答题 13.读下列语句,用直尺和三角尺画出图形. (1)点 P 是直线 AB 外的一点,直线 CD 经过点 P,且 CD 与 AB 平行; (2)直线 AB 与 CD 相交于点 O,点 P 是 AB、CD 外的一点,直线 EF 经过点 P,且 EF ∥AB,与直线 CD 相交于点 E.

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14. (黄石)已知如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE 分别是∠ABC、∠ADC 的角平分线,∠1 =∠2,那么 CD 与 AB 平行吗?写出推理过程.

15.如图所示,∠1=60°,∠2=60°,∠3=100°,要使 AB∥EF,∠4 应为多少度,说 明理由.

【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】D 2.【答案】A 【解析】①该点若在已知直线上,画不出与已知直线平行的直线;②平行线的定义必须强 调在同一平面内,如图①中的 AB 与 CC′不相交,但也不平行.③如图②中,射线 AB 与 射线 CD 既不相交,也不平行.

3.【答案】C 4. 【答案】C 5. 【答案】A 6. 【答案】A 二、填空题 7. 【答案】射线或线段所在的直线平行; 8.【答案】平行;9.【答案】70°;10.【答案】180°,∥ ; 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 三、解答题

11.【答案】平行;12.

13.【解析】解: 14.【解析】 解:CD∥AB.理由如下: ∵ BF、DE 分别是∠ABC、∠ADC 的角平分线, ∴ ∠3= ABC. ∵ ∠ABC=∠ADC, ∴ ∠3=∠2. 又∵ ∥AB(内错角相等,两直线平行).

1 1 ∠ADC,∠2= ∠ 2 2
∠3=∠1. ∴ CD

∠1=∠2, ∴

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