8.2-1 向量的数量积
目标与要求 准备与导入
〔教学目标〕 教学目标: 1.掌握向量的数量积的概念以及它的坐标表示法。
2.能运用向量的数量积的有关知识求向量的模以及
求向量的夹角,并解决某些与垂直、平行有关的简单的 几何问题。
目标与要求 准备与导入
〔探究与深化一〕
(1-1)
1、向量的夹角
定义:对于两个非零向 ? ? 作 OA ? a , OB ? b , 那么射线 ? ? 向量 a 与向量 b 的夹角。
? ? 量 a 、 b , 如果以 o 为起点, OA 、 OB 的夹角 ? 叫做
目标与要求 准备与导入
〔探究与深化一〕
说出下列两个向量 和 的夹角的大小是多少? a b
a
b (1) a
60O
a ╮40O b ( 2)
a ┐ b ( 3) a
60O
a b b (4)
(5)
b
(6)
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〔探究与深化一〕
向量夹角
? 的取值范围
? ? ? ?? ? 0 , a 与 b 方向相同。 ? ? ? ?? ? ? , a 与 b 方向相反。 ? ? ? ? ?? ? , a 与 b 垂直。 2 ?
0?? ??
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〔探究与深化二〕
我们已经学过向量的哪些运算? 向量的加法、向量的减法、实数与向量的积 运算的结果还是向量 思考:两个向量的数量积(不是乘法) 是个什么运算,运算出来是个什么东东?
(4-1)
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〔探究与深化二〕
? 物理做功复习:如果一 个质点在力 f 的作用下其方向与物体 ? ? 移动的方向成 ? 角,产生的位移为 s , 那么力 f 所做的功为?
? ? W ? f s cos ?
指出: 这次矢量与矢量的运算结果是 标量,这种运算已经不是我们学过的向 量的运算。
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〔探究与深化三〕
向量的数量积的定义
一般地,如果两个 ( 0 ? ? ? ? ),那么我们把 ? 向量 b 的数量积。
? ? 非零向量 a 、 b 的夹角为 ? a b cos ? 叫做向量 a 与
?
记作 a ? b , 即 a ? b ? a b cos ?
注: ? ? ?2 (1 ) a ? a ? a ( 2 ) 如果向量 ? ? a 和 b 中有一个是零向量, 零。
规定它们的数量积为
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〔探究与深化三〕
例 1如图,已知
? ABC 是边长为 6的正三角形,
求 AB ? AC 和 AB ? BC 。
A
解 : 因为 AB 、 的夹角为 AC AB ? AC ? AB AC cos 60
?
60 ,所以
?
B C
? 6 ? 6 ?
1 2
? 18
?
因为 AB 、 的夹角为 120 ,所以 BC AB ? BC ? AB BC cos 120 ? 6 ? 6 ? ( ? 1 2
?
) ? ? 18
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〔探究与深化四〕
向量 b在向量 a方向上的投影
在数量积的定义 叫做向量 的值。
a ? b ? a b cos ? 中,我们把 , 即有向线段
b cos ? OB 1
b 在向量 a的方向上的投影
B
B
B
b
o
a
B1
b
A o
a
b
A o
a
A
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〔探究与深化四〕
a ? b的几何意义:
两个向量 与另一个向量 a、的数量积是其中的一个 b b 在向量 a的方向上的投影 向量 a的模 a b cos ? 的乘积。
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〔探究与深化五〕
数量积的运算律
对于 ? ? R ,有
2
(1) ? a ? a a
? 0 , 当且仅当
a ? a ? 0时 , a ? 0 .
( 2) ? b ? b ? a . a ( 3 )( ? a ) ? b ? a ? ( ? b ) ? ? ( a ? b ). ( 4 ) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c
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〔探究与深化五〕
例 2 已知 a ? 2 , b ? 3 , 且 a 与 b的夹角为 求 3 a ? 2 b .
2
?
3
,
解: a ? 2 b 3
? (3 a ? 2 b ) ? (3 a ? 2 b )
? 3 a ? ( 3 a ? 2 b ) ? 2 b ? ( 3 a ? 2 b ) ? 9 a ? a ? 6 a ? b ? 6 b ? a ? 4 b ? b
2 2 2 2
? 9 a ? 9 ? 2 ? 36
? 12 a ? b ? 4 b
2
? 9a
? 12 a ? b ? 4 b ? 4?3
2
? 12 ? 2 ? 3 ? cos
?
3
所以 3 a ? 2 b ? 6
目标与要求 准备与导入
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〔回顾与小结〕
(1-1)
1、向量的夹角 2、向量的数量积的定义 3、数量积的运算律
4. 投影
目标与要求 准备与导入
拓展:已知 求实数
a ? 2 , b ? 4 , k a ? b与 k a ? b垂直, k 的值。
解 :? k a ? b与 k a ? b垂直, ? ( k a ? b ) ? ( k a ? b ) ? 0, ?k a ?b
2 2 2 2 2
? 0 ,? k a
2 2
? b
? 0
? a ? 2 , b ? 4 ,? 4 k ? 16 ? 0 ,? k ? ? 2 . ? 当 k ? ? 2 时, k a ? b与 k a ? b垂直 .
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判断下列各题是否正确 (1)若a=0,则对任意向量b,有a· 0------ (√) b=
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· c,则b=c ------------------b=a·
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(× ) ( ×) (× ) (√ ) (× )
〔练习与评价一〕
1 已知 a ? 3 , b ? 4 , a 与 b的夹角为 60 。 (1 ) 求 a ? b与 ( a ? b ) ? ( a ? 2 b ); ( 2 ) 求向量 b 在向量 a的方向上的投影。
?
目标与要求 准备与导入
练习册 P34 P36
8.2向量的数量积 A组1-6; B组1,3,4.
目标与要求 准备与导入
要想知道数量积的坐标表示吗?
且听下回分解哦!
再见
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