8.2-1 向量的数量积

8.2-1 向量的数量积

目标与要求 准备与导入

〔教学目标〕 教学目标： 1.掌握向量的数量积的概念以及它的坐标表示法。

2.能运用向量的数量积的有关知识求向量的模以及
求向量的夹角，并解决某些与垂直、平行有关的简单的 几何问题。

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〔探究与深化一〕

(1-1)

1、向量的夹角

定义：对于两个非零向 ? ? 作 OA ? a , OB ? b , 那么射线 ? ? 向量 a 与向量 b 的夹角。

? ? 量 a 、 b , 如果以 o 为起点， OA 、 OB 的夹角 ? 叫做

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〔探究与深化一〕

说出下列两个向量 和 的夹角的大小是多少？ a b
a
b (1) a
60O

a ╮40O b ( 2)

a ┐ b ( 3) a
60O

a b b (4)

(5)

b

(6)

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〔探究与深化一〕

向量夹角
? 的取值范围
? ? ? ?? ? 0 , a 与 b 方向相同。 ? ? ? ?? ? ? , a 与 b 方向相反。 ? ? ? ? ?? ? , a 与 b 垂直。 2 ?

0?? ??

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〔探究与深化二〕
我们已经学过向量的哪些运算? 向量的加法、向量的减法、实数与向量的积 运算的结果还是向量 思考：两个向量的数量积（不是乘法） 是个什么运算，运算出来是个什么东东？

(4-1)

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〔探究与深化二〕
? 物理做功复习：如果一 个质点在力 f 的作用下其方向与物体 ? ? 移动的方向成 ? 角，产生的位移为 s , 那么力 f 所做的功为？

? ? W ? f s cos ?

指出： 这次矢量与矢量的运算结果是 标量，这种运算已经不是我们学过的向 量的运算。

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〔探究与深化三〕

向量的数量积的定义
　　一般地，如果两个 ( 0 ? ? ? ? )，那么我们把 ? 向量 b 的数量积。

? ? 非零向量 a 、 b 的夹角为 ? a b cos ? 叫做向量 a 与

?

记作 a ? b , 即 a ? b ? a b cos ?
注： ? ? ?2 (1 ) a ? a ? a ( 2 ) 如果向量 ? ? a 和 b 中有一个是零向量， 零。

　规定它们的数量积为
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〔探究与深化三〕

例 1如图，已知

? ABC 是边长为 6的正三角形，

求 AB ? AC 和 AB ? BC 。

A

解 ： 因为 AB 、 的夹角为 AC AB ? AC ? AB AC cos 60
?

60 ，所以

?

B C

　　　　 ? 6 ? 6 ?

1 2

? 18
?

因为 AB 、 的夹角为 120 ，所以 BC AB ? BC ? AB BC cos 120 　　　　 ? 6 ? 6 ? ( ? 1 2
?

) ? ? 18

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〔探究与深化四〕
向量 b在向量 a方向上的投影

　　在数量积的定义 叫做向量 的值。

a ? b ? a b cos ? 中，我们把 , 即有向线段

b cos ? OB 1

b 在向量 a的方向上的投影

B

B

B

b
o
a
B1

b
A o
a

b
A o
a

A

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〔探究与深化四〕
a ? b的几何意义：
　　两个向量 与另一个向量 a、的数量积是其中的一个 b b 在向量 a的方向上的投影 向量 a的模 a b cos ? 的乘积。

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〔探究与深化五〕

数量积的运算律
对于 ? ? R ，有
2

（1） ? a ? a a

? 0 , 当且仅当

a ? a ? 0时 , a ? 0 .

（ 2） ? b ? b ? a . a ( 3 )( ? a ) ? b ? a ? ( ? b ) ? ? ( a ? b ). ( 4 ) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

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〔探究与深化五〕
例 2 　已知 a ? 2 , b ? 3 , 且 a 与 b的夹角为 　　求 3 a ? 2 b .
2

?
3

，

解：　 a ? 2 b 3

? (3 a ? 2 b ) ? (3 a ? 2 b )

　　　　　　 ? 3 a ? ( 3 a ? 2 b ) ? 2 b ? ( 3 a ? 2 b ) 　　　　　　 ? 9 a ? a ? 6 a ? b ? 6 b ? a ? 4 b ? b
2 2 2 2

　　　　　　 ? 9 a 　　　　　　 ? 9 ? 2 　　　　　　 ? 36

? 12 a ? b ? 4 b
2

? 9a

? 12 a ? b ? 4 b ? 4?3
2

? 12 ? 2 ? 3 ? cos

?
3

　　　所以　　 3 a ? 2 b ? 6

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〔回顾与小结〕

(1-1)

1、向量的夹角 2、向量的数量积的定义 3、数量积的运算律
4. 投影

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拓展：已知 　　求实数

a ? 2 , b ? 4 , k a ? b与 k a ? b垂直， k 的值。

解 :? k a ? b与 k a ? b垂直， ? ( k a ? b ) ? ( k a ? b ) ? 0， ?k a ?b
2 2 2 2 2

? 0 ,? k a
2 2

? b

? 0

? a ? 2 , b ? 4 ,? 4 k ? 16 ? 0 ,? k ? ? 2 . ? 当 k ? ? 2 时， k a ? b与 k a ? b垂直 .
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判断下列各题是否正确 (1)若a=0,则对任意向量b,有a· 0------ (√) b=
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· c,则b=c ------------------b=a·
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(× ) ( ×) (× ) (√ ) (× )

〔练习与评价一〕

1 　已知 a ? 3 , b ? 4 , a 与 b的夹角为 60 。 (1 ) 求 a ? b与 ( a ? b ) ? ( a ? 2 b )； ( 2 ) 求向量 b 在向量 a的方向上的投影。

?

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练习册 P34 P36

8.2向量的数量积 A组1-6； B组1,3,4.

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要想知道数量积的坐标表示吗？
且听下回分解哦！

再见

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