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广东省佛山市顺德区均安中学2014高二数学 导数的几何意义导学案 新人教A版


广东省佛山市顺德区均安中学 2014 高二数学 导数的几何意义导学 案 新人教 A 版
一.预习目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何 意义解题。 二.预习内容 1.曲线的切线及切线的斜率 (1)如图 3.1-2,当 P n ( xn , f ( xn ))(n ? 1,

2,3, 4) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,

PT 称 即 ?x ? 0 时 , 割 线 PP n 趋 近 于 确 定 的 位 置 , 这 个 确 定 位 置 的 直 线
为 (2)割线 PP n 的斜率是 kn ? .

f ( xn ) ? f ( x0 ) P 时, ,当点 P n 沿着曲线无限接近点 xn ? x0 _________= kn 无限趋近于切线 PT 的斜率 k ,即 k =

2.导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) = . 说明: (1)当 ?x ? 0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 三.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑: 课内探究学案 (一) 、合作探究 1.导数的几何意 义 (1) 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数的几何意义是什么?__________________________ (2)将上述意义用数学式表达出来。_________________________________________ (3)根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线 方程? 2.导函数 (1)由函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处求导数的过程可以看到,当 x ? x0 时, f ?( x0 ) 是一个确定 的数,那么,当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们叫它为 f ( x) 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (二) 。例题精析
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例 1 求曲线 y ? f ( x) ? x 2 ? 1 在 点 P(1,2) 处的切线方程. 变式 训练 1:求 函数 y ? 3x 2 在点 (1,3) 处的切线方程.

例 2 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 , 根据图像,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况. 解: 我们用曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 处的切线, 刻画曲线 h(t ) 在上述三个时刻附近的变 化情况. (1)当 t ? t0 时,曲线 h(t ) 在 t 0 处的切线 l0 的斜率 所以,在 t ? t0 附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当 t ? t1 时,曲线 h(t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 所以,在 t ? t1 附近曲线下降, 即函数 h( x) ? ?4.9 x2 ? 6.5x ? 10 在 t ? t1 附近单调递减. (3)当 t ? t2 时,曲线 h(t ) 在 t 2 处的切线 l2 的斜率 所以,在 t ? t2 附近曲线下降, 即函数 h( x) ? ?4.9 x2 ? 6.5x ? 10 在 t ? t2 附近单调递减. 从图 3.1-3 可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度,这说 明曲线在 t1 附近比在 , , ,

t 2 附近下降的缓慢.
三 。 反思总结 1.曲线的切线定义: 2.导数的几何意义: 3.求曲线在一点处的切线的一般步骤: 四。当堂检测 1.求曲线 y ? f ( x) ? x 2 在点 (1,1) 处的切线.

2.求曲线 y=3x +1 在点 (4, 2) 处的切线.

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