当前位置:首页 >> 数学 >>

22-3.2一元二次不等式及其解法(2)


新授课:3.2

一元二次不等式及其解法(2)

一、【教学目标】
重点: 熟练掌握一元二次不等式的解法. 难点:理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系. 知识点:一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 能力点:培养一题多解的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能力. 教育点:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,

勇于创新精神,同时体会从不同侧面观察同一 事物思想. 自主探究点:如何运用所学知识理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系. 训练(应用)点: 培养数形结合的能力. 考试点:一元二次不等式的解法. 易错点:根据不等式求参数的取值范围. 易混点: a ? 0时,ax ? bx ? c ? 0 的解法.
2

拓展点:一元二次不等式在实际生活中的应用.

二、【引入新课】
问题 1 一元二次不等式的解法步骤:

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象

ax2 ? bx ? c ? 0 的根 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集

x1.2 ?

?b ? ? 2a

x1=x2= x1 ? x2 ? ?

b 2a

?
R

{x | x ? x1或x ? x2}

{x | x ? ?
?

b } 2a

{x | x1 ? x ? x2}

?

思考:对于二次项系数是负数(即 a<0)的不等式,如何求解? 可以先把二次项系数化成正数,再求解.? 问题 2 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 【设计意图】 通过已学问题的回忆巩固,提出新问题,引发学生探究知识兴趣.

三、【探究新知】
某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系:

s?

1 1 2 x? x 20 180

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到 0.01km/h)

解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意, 我们得到

1 1 2 x? x ? 39.5 20 180
2

移项整理得: x ? 9 x ? 7110 ? 0 显然
2

? ? 0,

方程 x ? 9 x ? 7110 ? 0 有两个实数根, 即 x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 . 所以不等式的解集为

?x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94?

在这个实际问题中, x ? 0 ,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 思考:本题中体现出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数具有的相同点与不同点? 相同点: (1)表达它们的都是式子:函数式、方程式、不等式 ; (2)它们都含有类似的代数式: ax ? bx ? c .
2

不同点: (1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式 ; (2)二次函数中,代数式 ax ? bx ? c 等于因变量 y ;
2

一元二次方程中,代数式 ax ? bx ? c 等于零;
2

一元二次不等式中,代数式 ax ? bx ? c 大于或小于零;
2

(3)图像: 二次函数的图像是一条曲线:抛物线 ; 一元二次方程的解是点:二个点或一个点或无点 ; 一元二次不等式的解集是线段或射线 . 【教学方式】 教师可以引导学生如何把实际问题转化为数学问题, 学生以小组为单位, 进行合作讨论, 写出过程.结合多媒体投影仪展示学生成果,并进行点评. [设计意图]结合实际问题体会三个“二次”之间的相同与不同,培养学生发散思维能力.

四、【理解新知】
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系: (1)一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识 .
2 (2)令二次函数 y ? ax ? bx ? c 的 y ? 0 ,则原式变为一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

令一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的不等号变为等号,则原式变为一元二次方程
2

ax2 ? bx ? c ? 0 .

(3)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,抛物线与 x 轴的两交点的横坐标 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,即为一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 的两根.
(抛物线与 x 轴有一个交点,即方程有二个相同的根;没有交点,即方程无解.) [设计意图]通过相同点与不同点归纳总结一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.

五、【运用新知】
应用 1 一元二次不等式与一元二次方程的关系
2

例 1:已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集是 {x | 3 ? x ? 4} ,求实数 a , b 的值. 分析:一般地,解一元二次不等式时,什么时候会出现 x 介于两者之间?只有当图像与 x 轴有 2 个交点时, 才会出现 x 介于两者之间, 且这两者就是一元二次不等式所对应的方程的根. 故方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两
2

个根为 3,4. 解:法一:(代入法) 方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两个根为 3,4,把 3,4 代入方程 ax ? bx ? 1 ? 0 ,可得:
2 2

1 ? a?? ? ?9a ? 3b ? 1 ? 0 ? 12 ,解得 ? . ? 7 ?16a ? 4b ? 1 ? 0 ?b ? ? 12 ?
法二:(利用根与系数的关系) 方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两个根为 3,4,所以,
2

? ?? ? b 2 ? 4a(?1) ? 0 1 ? a?? ? ? ? ? b 12 ,解得 ? ?? ? 3 ? 4 ?b ? 7 ? a ? ? ?1 12 ? ? 3 ? 4 ? ?a
【设计意图】给出某个不等式的解集求参数的取值,训练学生的逆向思维能力,同时考察根与系数的 关系(韦达定理) ,检验教学效果. 变 式 训 练 1 : 已 知 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | x ?
2

1 1 或x ? } , 求 关 于 x 的 不 等 式 3 2

cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集.

5 ? ? b 1 1 ? ? ? b ? ? a ? ? ? a 3 2 ? 6 解:由题意知, a ? 0 ,且 ? ,解得 ? , 1 c 1 1 ?c ? a ? ? ? ? ? 6 ?a 3 2 ?
所以

1 2 5 ax ? ax ? a ? 0 , 6 6



x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,

? ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , ? ? 3 ? x ? ?2 ,

? 解集为{x | ?3 ? x ? ?2} .
应用 2 一元二次不等式与二次函数的关系 例 2:设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值范围.

解:令 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ? 8,由A ? B ,及二次函数图象的性质知:
?1 ? 2 ? a ? 8 ? 0 ? f (1) ? 0 ,即 ? , ? ?9 ? 6 ? a ? 8 ? 0 ? f (3) ? 0
解之得 a ? 5 . 因此 a 的取值范围是 a ? 5 变式训练 2:设 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ??1,3? 都成立,求 a 的范围.
2

解:令 f ( x) ? x2 ? 2 x ? a ? 8 , 由二次函数图象的性质知: 若f ( x) ? 0 对于一切 x ??1,3? 都成立 则 f (3) ? 32 ? 2 ? 3 ? a ? 8 ? a ? 5 ? 0 ,即 a ? 5 . 变式训练 3:若方程 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围.
2

解:令 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ? 8 ,由二次函数图象的性质知:
?1 ? 2 ? a ? 8 ? 0 ? f (1) ? 0 ,即 ? , ? ?9 ? 6 ? a ? 8 ? 0 ? f (3) ? 0
解之得 a ? 5 . 因此 a 的取值范围是 a ? 5 . [设计意图]通过三种形式的问题, 进一步体会一元二次不等式与二次函数的关系, 并在做题过程中领 悟数形结合这一重要的数学思想.. 例 3:若二次函数 y ? ax ? bx ? c ( x ?R)的部分对应值如下表:
2

x
y
2

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

求不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集. 解:由已知表格,得: f (0) ? ?6 ,且方程 f ( x) ? 0 的两根分别为-2 和 3.

? ?c ? ?6, ? a ? 1, ? ? ? b 即 ? ? ? ?2 ? 3, 解得 ?b ? ?1, ?c ? ?6. ? a ? ?c ? ? 2 ? 3. ? ?a
所以不等式即为 x ? x ? 6 ? 0 .即 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ,解得 x ? ?2或x ? 3 .
2 2 所以不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 x x ? ?2或x ? 3 .

?

?

< 法 二 > 由 题 意 可 知 : 已 知 表 格 即 为 所 求 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 所 对 应 的 二 次 函 数
2

2 y ? ax ? bx ? (c x ?R)的部分对应值表.观察表格可得:当 x ? ?2或x ? 3 时, y ? 0 .所以, 不等式

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x x ? ?2或x ? 3? .
【设计意图】 列表法是表示函数的一种基本方法,通过本题培养学生读表的能力,增强学生将二次不等 式与二次函数联系看待的意识.

六、【课堂小结】
1.知识:熟练掌握一元二次不等式的解法; 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系. 2.思想方法:数形结合. 【设计意图】引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结,帮助学生梳理知识结构,同时让学 生理解三个“二次”的关系,这样既可以使学生完成知识建构,又可以培养其能力.

七、【布置作业】
1.必做题: (1)课本 P 80 习题 3.2 A 组 第 3,5 题 (2)若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | ?
2

1 ? x ? 2} ,求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集. 3

(答案: ? x ?3 ? x ?

? ?

1? ?) 2?

2.选做题: 若关于 x 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为空集. (1)求 m 的取值范围.(答案: m ? ?

1 ) 8 1 ) 8

(2)若解集非空,求 m 的取值范围.(答案: m ? ?

(3)若解集为一切实数,求 m 的取值范围.(答案:无解)

八、【教后反思】
1.本教案的亮点是在原教案的基础上增加了例 3,通过表格求含参不等式的解集. 在此提供了两

种解法,法一是通过函数值表求出参数,代入不等式中解出一元二次不等式;法二是通过一元二次不等 式及其对应函数的关系,观察函数值表,直接读出不等式的解集. 2.原教案中有个别不等式的符号(变式 1 中)和作业题号(习题 3.2)输入错误,已修改过来;另附 上作业题答案,仅供参考. 3.本节课课时容量较大,例 2 及其变式训练可选择性使用.若能再让学生在例 3 之后练习一道 带图形的数形结合的解不等式题目就更完美了.

九、【板书设计】
3.2 一元二次不等式及其解法(2) 应用一:例 1

1. 一元二次不等式的解法 步骤

变式训练 2:

变式训练 3: 变式训练 1: 2. 一元二次方程、 一元二次 不等式与二次函数的关 系 应用二:例 2 3.小结 例 3:


相关文章:
22-3.2一元二次不等式及其解法(2)
22-3.2一元二次不等式及其解法(2)_数学_高中教育_教育专区。新授课:3.2 一元二次不等式及其解法(2) 一、【教学目标】重点: 熟练掌握一元二次不等式的...
教案:3.2一元二次不等式及其解法(2)
教案:3.2一元二次不等式及其解法(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修 5 3.2 一元二次不等式及其解法(教案)(第 2 课时) 【教学目标】 1.巩固一元...
3.3一元二次不等式及其解法教案
3.3一元二次不等式及其解法教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。构建“有...学生思 考,交流 (1)2 x ? 4 ? 0 思考过 2 程,并回 (2) x ? 2 ...
人教A版数学必修五《3.2一元二次不等式及其及解法(3)》教案设计22
人教A版数学必修五《3.2一元二次不等式及其解法(3)》教案设计22_数学_高中教育_教育专区。3.2 一元二次不等式及其解法(三) 一、教学目标 (1)掌握利用...
§2.3.1一元二次不等式的解法
§2.3.1一元二次不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。授课日期 课题 2015 年 月 日第 周 时数 2 课型 新授课 §2.3.1 一元二次不等式 知识目标: ...
一元二次不等式及其解法
本周学习目标: 1.掌握一元二次不等式的基本解法; 2.了解一元二次不等式与相应函数,方程的联系,体会数形结合的数学思想; 3.初步掌握高次(分式)不等式、无理...
教案:3.2一元二次不等式及其解法(1)
教案:3.2一元二次不等式及其解法(1)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修 5 3.2 一元二次不等式及其解法(教案)(第 1 课时) 【教学目标】 1.理解一元...
高中数学必修5教学设计:3.2《一元二次不等式及其解法》(必修5)
高中数学必修5教学设计:3.2《一元二次不等式及其解法》(必修5)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修5教学设计 3.2 一元二次不等式及其解法(3 课时)(一)...
一元二次不等式及其解法
3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 一...2 不等式,称为___ 不等式. (2)使某个一元二次不等式成立 x 值叫做...
更多相关标签:
一元二次不等式的解法 | 一元一次不等式的解法 | 一元二次不等式解法 | 一元一次不等式解法 | 二元一次不等式组解法 | 一元一次不等式组解法 | 三元一次不等式组解法 | 一元高次不等式解法 |