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戴维南定理


王莉老师《电路分析》 《 讲义 王莉老师 电路分析》

Lecture of vice Professor Wang Li

戴维南定理和诺顿定理
戴维南定理(Thevenin’s theorem)是一个极其有用的

定理,它是分析复杂网络响应的一个有力工具。不管网络如 何复杂,只要网络是线性的,戴维南定理提供

了同一形式的 等值电路。 先了解一下二端网络/也叫一端口网络的概念。 (一个网 络具有两个引出端与外电路相联,不管其内部结构多么复 杂,这样的网络叫一端口网络) 。 含源单口 (一端口) 网络──内部含有电源的单口网络。 单口网络一般只分析端口特性。这样一来,在分析单口 网络时,除了两个连接端钮外,网络的其余部分就可以置于 一个黑盒子之中。 含源单口网络的电路符号:
I

a
U

N
b 图中 N──网络 方框──黑盒子

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单口松驰网络──含源单口网络中的全部独立电源置零,受 单口松驰网络 控电源保留, (动态元件为零状态) ,这样的网络称为单口松 驰网络。 电路符号:
I

a
U

N0
b

一、戴维南定理
(一)定理 定理: 定理 一含源线性单口一端网络 N,对外电路来说,可以用一 个电压源和电阻的串联组合来等效置换,此电压源的电压等 于端口的开路电压,电阻等于该单口网络对应的单口松驰网 络的输入电阻。 (电阻等于该单口网络的全部独立电源置零 后的输入电阻) 。 上述电压源和电阻串联组成的电压源模型,称为戴维南 戴维南 等效电路。该电阻称为戴维南等效电阻 戴维南等效电阻。 等效电路 戴维南等效电阻 a
I

a
U
任意负载

US Req

N

任意负载

b a

b

a

N0 N
b
Uoc=Us

b
Req

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求戴维南等效电路,对负载性质没有限定。用戴维南等 效电路置换单口网络后,对外电路的求解没有任何影响,即 外电路中的电流和电压仍然等于置换前的值。 (二)戴维南定理的证明: 戴维南定理的证明 1. 设一含源二端网络 N 与任意负载相接,负载端电压 为 U,端电流为 I。
I

a
U IS

N

b 2. 任意负载用电流源替代,取电流源的电流为 I S = I 。 方向与 I 相同。替代后,整个电路中的电流、电压保持 不变。 下面用叠加定理分析端电压 U 与端电流 I。 3. 设网络 N 内的独立电源一起激励, 受控源保留, 电流 源 IS 置零,即 ab 端开路。这时端口电压、电流加上标(1) , 有
I(1)=0 a

N
b

U(1)=Uoc

4. IS 单独激励,网络 N 内的独立电源均置零,受控电源 保留,这时,含源二端网络 N 转化成单口松驰网络 N0,图 中端口电流、电压加上标(2) ,

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I(2)=IS a U(2) IS

N0
Req

b



U ( 2 ) = ? Req I S = ? Req I

I ( 2) = I S = I
应用叠加定理,得

?U = U (1) + U ( 2) = U oc ? Req I ? ? ? I = I (1) + I ( 2 ) = I ?

(1)

可以看到, 在戴维南等效电路中, 关于 ab 端的特性方程 与(1)式相同。由此,戴维南定理得证。

(三)戴维南定理的应用
应用戴维南定理,关键需要求出端口的开路电压以及戴 维南等效电阻。 1. 求开路电压 求开路电压:用前一章所学知识,或结合叠加原理。 2. 求戴维南等效电阻 ① 串并联法 令独立电源为 0,根据网络结构,用串并联法求 Req。 ② 外加电源法 令网络中独立电源为 0,外加一电压源/电流源,用欧姆 定律求 Req。

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外加电压源法
a I US b

Req =

US I

N0

外加电流源法

Req =

U IS

a

N0

IS U b

③ 开短路法
a

U Req = OC I SC

N
b

ISC

(四)应用戴维南定理要注意的几个问题
1. 戴维南定理只适用于含源线性 线性二端网络。 线性 因为戴维南定理是建立在叠加概念之上的,而叠加概念 只能用于线性网络。 2. 应用戴维南定理时, 具有耦合的支路必须包含在网络 N 之内。 3. 计算网络 N 的开路电压时,必须画出相应的电路, 并标出开路电压的参考极性。 4. 计算网络 N 的输出电阻时,也必须画出相应的电路。

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5. 在画戴维南等效电路时,等效电压源的极性,应与开 路电压相一致。 6. 戴维南等效电路等效的含义指的是,网络 N 用等效 电路替代后,在连接端口 ab 上,以及在 ab 端口以外的电路 中,电流、电压都没有改变。但在戴维南等效电路与被替代 网络 N 中的内部情况,一般并不相同。 例1
U S1 = 1V ,R2 = 2? ,R3 = 3? ,R4 = 4? ,R5 = 5? ,

U 55 = 5V , I S 6 = 6 A ,R1 可变,试问:R1 = ?时 I 1 = ?1A 。
R1 R2

I1 US1

US5
R5

IS6
R3 R4

解:采用戴维南定理分析 (1)开路电压 U oC

将支路 1 从图中移去后,电路如图所示。 a
UOC US5 I5
R5 R2

b
IS6
R4

用网孔法:

R3

IS6

( R2 + R3 + R5 ) I 5 ? R3 I S 6 = U S 5
(2 + 3 + 5) I 5 ? 3 × 6 = 5

I 5 = 2. 3 A

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在外围电路中应用 KVL 得 开路电压
U oC = U S 5 ? R5 I 5 ? R4 I S 6 = 5 ? 5 × 2.3 ? 4 × 6 = ?30.5V

(2)求戴维南等效电阻 将上图中的独立源置零后的电路如图所示:
Req = R5 //( R2 + R3 ) + R4
5 × (2 + 3) = +4 5 + (2 + 3)

a

Req

R2

b
R4

= 6.5?

R5

R3

(3)电路化简为
UOC

a R1

U + U S1 I 1 = oC ∵ R1 + Req

Req b

US1

∴ R1 = 例2

U oC + U S1 ? 30.5 + 1 ? Req = ? 6.5 = 23? I1 ?1

已知: R1 = 1? , R2 = 2? , R3 = 3? , rm = 1? ,

U S1 = 1V 。
试计算电流 I3(用戴维南定理)
US1
R1 R2 rmI3

I3
R3

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解: (1)求开路电压 U oC 。 注意:应用戴维南定理时,具有耦合的支路必须包含在 二端网络 N 之内。
US1 I3(1) a
rmI3(1)

(I3 被处理在 N 之内) ∵
I 3 = 0 ,∴

UOC
R1 R2

r I

(1) m 3

=0

U oC =

R2 2 2 U S1 = ×1 = V 1+ 2 3 R1 + R2
I1(2) US1 I2(2) I3(2) a
rmI3(2)

b

(2)求等效电阻 Req,用开、短路法

ISC

I

( 2) 1

U 1 = S 1 = = 1A R1 1

R1

R2

I
I

(2) 3
( 2) 2

=I

(2) 1

?I

(2) 2

=1? I

( 2) 2

b

(1 ) (2 )

( ( rm I 3( 2 ) 1 × I 3 2) 1 × I 3 2) = = = = 0.5 I 3( 2 ) R2 R2 2

(2)代入(1)得
I 3( 2 ) = 2 A 3

( 2) ∴ 短路电流 I SC = I 3 =

2 A 3

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Req =

U oC I SC

2 = 3 = 1? 2 3
UOC

a

(3)电路化简为

I3
R3

2 U oC 1 I3 = = 3 = A Req + R3 1 + 3 6
例3

Req b

已知: R1 = 1? , R3 = 3? , R4 = 4? , R5 = 5? ,

U S1 = 1V , I S 2 = 2 A , U S 3 = 3V , U S 4 = 4V , U S 5 = 5V 。
试求电流 I 3 。
a R3 I3 US4 IS2 b d
R4

US3

c US5
R5

US1
R1

解:本例只要计算电流 I 3 ,采用戴维南定理求解是适宜 的。 1)ab 左端网络的等效参数
a US1 UabOC
R1

U aboc = U S 1 ? R1 I S 2
= 1 ? 1 × 2 = ?1V
Req1 = R1 = 1?

IS2 b

2)cd 右端网络的等效参数

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U cdoc = U S 4 ? R4
= 4 ? 4×

US4 + US5 R4 + R5
UcdOC

c US4
R4

4+5 = 0V 4+5

US5
R5

Req =

R4 × R5 R4 + R5
d
R3

4 × 5 20 = = = 2.22? 4+5 9
3)电路化简为
UabOC
Req1

a

US3 I3

c UcdOC
Req2

b

d

U + U S 3 ? U cdoc ?1+ 3 i3 = acoc = = 0.321A ∴ Req1 + R3 + Req 2 1 + 2.22 + 3
例 1.求戴维南等效电路
6?

I

18V 3I
6?

12 ?

解:1)求开路电压
18V 3I
12 ?

I

I =0 3I = 0

UO

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U OC =

12 × 18 = 12 (V) 12 + 6

2)求等效电阻 a) 用外加电压源法
6?

I2 I1
12 ?

I

US

3I

I1 =

US 12

I 2 = I ? 3I ? I1 = ?2I ? I1
U S = 6 I 2 = 6(?2I ? I1 ) = 6(?2I ?
3 US U 2 I =? =? S 12 8 U Req = ? S = ?8 ( ? ) I
b) 用外加电流源法
6?

US U ) = ?12I ? S 12 2

I IS
12 ?

I IS
6//12 ? 12 ?

U

U

3I

3I

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I = IS
U= 6 × 12 ( I S ? 3I S ) = 4(?2 I S ) = ?8I S 6 + 12
U IS = ?8
(?)
6?

Req = ?

c) 用开短路法

I2

I

18V 3I

12 ?

ISC

I = ? I SC I 2 = ? I + 3I = 2I = ?2I SC

18 = 6 I 2 = ?12I SC ,∴ I SC = ?
Req = ? U OC 12 = = ?8 (?) I SC ? 3 2

18 3 =? 12 2

3)画戴维南等效电路

12V

-8 ?

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Lecture of vice Professor Wang Li 10 ?

例 2.求戴维南等效电路,r=2

a

10V

5?

rI1

I1

解:1)求开路电压

10 ?

b a

I1 =

10 = 2A 5
10V 5?

U OC = rI1 = 2 × 2 = 4(V )
2)求等效电阻

rI1

UOC

I1 b

用外加电流源法

10 ?

I1 = 0 U = 2I1 = 0 U Req = = 0 IS
5?

a IS

2I1

U

I1 b

3)戴维南等效电路:

a

4V

b


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