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2015年高考理数二轮复习讲练测 专题02 函数与导数(讲)(原卷版)]


考向一 函数的图象和性质 1.讲高考
(1) 考纲要求

(2)

命题规律

函数是高考数学考查的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程, 包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型,每年都有函 数试题,而且常考常新.以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的

新趋势.在大题 中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题.纵观近几年的高考题,函数问 题的考查,往往是小题注重基础知识基本方法,突出重点知识重点考查,大题则注重在知识 的交汇点命题,与不等式、导数、解析几何等相结合,综合考查函数方程思想及数学应用意 识,考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用; 例 1【2014 高考北京版理第 2 题】下列函数中,在区间 (0, ??) 为增函数的是( A. y ? )

x ?1

B. y ? ( x ? 1)

2

C. y ? 2

?x

D. y ? log 0.5 ( x ? 1)

例 2【2014 高考福建卷第 4 题】若函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列 函数图像正确的是( )

例 3. 【2014 辽宁高考理第 12 题】已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y ) |? k ,则 k 的最小值为(

A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

2.讲基础
1.函数 (1)映射:集合 A ( A 中任意 x ) 对应法则f 集合 B ( B 中有唯一 y 与 A 中的 x 对应). (2)函数:非空集合 A ?? ? 非空数集 B 的映射,其要素为定义域 A 、对应法则 f ,函数 的值域 C (C ? B ) .

①求函数定义域的主要依据: (Ⅰ)分式的分母不为零; (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零; (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零; (Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; (Ⅴ)正切函数 y=tanx 中,x 的取值范围是 x∈R,且 x≠kπ π +2,k∈Z.

(3)函数的周期性 设函数 y=f(x),x∈D,如果存在非零常数 T,使得对任意 x∈D,都有 f(x+T)=f(x),则函 数 f(x)为周期函数,T 为 y=f(x)的一个周期. (4)最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M (或 f(x)≥M);

②存在 x0 ? I ,使 f ? x0 ?=M ,那么称 M 是函数 y=f(x)的最大值(或最小值). 3.函数图象 (1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对函数图象的掌握有 三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题.

(2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换:
③对称变换: h>0,右移|h|个单位 y=f(x) ――→ y=f(x-h), h<0,左移|h|个单位 关于x轴对称 5.有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决:一是根与系数的关系与判别式,二是 y=f(x) ――→ y=-f(x), k>0,上移|k|个单位 y=f(x) ――→ y=f(x)+k. 结合函数值的符号 (轴对称 或大小 、对称轴、判别式用数形结合法处理. k <0,下移 |k|) 个单位 关于 y y=f(x) ――→ y=f(-x),
6.和函数与方程思想密切关联的知识点

关于直线x=a对称 y=f(x) ――→ y=f(2a-x), 关于原点对称 y=f(x) ――→ y=-f(-x). 4. 对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换

①函数 y=f(x),当 y>0 时转化为不等式 f(x)>0. ②数列是自变量为正整数的函数. ③直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题. ④立体几何中有关计算问题,有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解.

3.讲典例
【例 1】 【2014 高考江苏第 19 题】已知函数 f ( x) ? e x ? e? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x ) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e? x ? m ?1 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 (3) 已知正数 a 满足: 存在 x0 ? (1, ??) , 使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立,试比较 e
a ?1

与a

e ?1

的大小,并证明你的结论. 【趁热打铁】 【江苏省南通第一中学 2015 届高三上学期期中,理 18】已知奇函数 f ?x ? 的定义

?1? 域为 ?? 1,1? ,当 x ? ?? 1,0? 时, f ?x ? ? ?? ? . ? 2?
(1) 求函数 f ?x ? 在 ?0,1? 上的值域; (2) 若 x ? ?0,1? ,y=

x

1 f 4

2

?x ? ? ? f ?x ? ? 1 的最小值为 ? 2 ,求实数 ? 的值.
2

【例 2】 【浙江省嘉兴市第一中学 2015 届高三上学期期中, 理 22】 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x . (1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求所有的实数 a ,使得对任意 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图象 的下方; (3)若存在 a ? [?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a ) 有三个不相等的实数根,求实数 t 的 取值范围. 【趁热打铁】 【重庆市第一中学 2015 届高三上学期第二次月考,理 18】已知函数

f ? x ?=ax2 ? bx-a-ab ? a ? 0? ,当 x ? (?1,3) 时,f(x)>0;当 x ? (??, ?1) (3, ??) 时,
f(x)<0. (1)求 f(x)在 (?1, 2) 内的值域; (2)若方程 f ( x) ? c 在 [0,3] 有两个不等实根,求 c 的取值范围.

4.讲方法
(1)求解函数的定义域一般应遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数;②f(x)是分式时,定义域是使分母不为零的一切实数; ③f(x)为偶次根式时,定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大 于零,且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底数需大于 0 且不等于 1;⑤零指数幂的 底数不能为零;⑥若 f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数,则其定义域一般是各基 本初等函数的定义域的交集; ⑦对于求复合函数定义域的问题,一般步骤是:若已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数

f[g(x)]的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出;⑧对于含字母参数的函数求其定义域,根据
具体情况需对字母参数进行分类讨论;⑨由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义 外,还要符合问题的实际意义.

(2)高考中常将指数函数、 对数函数与二次函数或幂函数(例 如分式函数、含偶次方根的函数 )等结合起来考查,这时一般应 ( 3)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法.分段函
数求值或解不等式时,一定要依据条件分清利用哪一段求解,对于具有周期性的函数要用好 从外到内逐层剥离解决.

1 ,从总体上看是分式,故先由分母不 2-log3x (4)形如 f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则.
其周期性.

例如,y=

为5)新定义题型要准确理解把握新定义的含义,发掘出其隐含条件. 0 得到 2-log3x≠0,再由偶次方根下非负得到 2-log3x>0, (
( 即6)恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用. log3x<2 ,最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到 ( 7x )分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别讨论. 0< <9. (8)函数奇偶性判定方法: 紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行 分析转化,特别注意“奇函数若在 x=0 处有定义,则一定有 f(0)=0,偶函数一定有 f(|x|) =f(x)”在解题中的应用. 规律方法 (9)判断函数的单调性的一般思路:对于选择、填空题,若能画出图象,一般用数形结合法; 而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数单调性的 判断问题;对于解析式较复杂的,用导数法或定义法.函数的单调性经常联系函数图象的升、 降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵 坐标.

(10)作图、识图、用图技巧 (a)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等) 和对称性进行. (b)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析 式与图象的对应关系. (c)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式 的求解常与图象结合研究. (11)讨论方程的解的范围或个数,讨论函数的零点(特别是含参数的指数、对数、根式、三角 函数式等),可构造函数,利用函数图象交点的讨论来求解,图象交点的个数就是方程解的个 数,正确作出函数的图象是解决此类问题的关键,要注意图形的准确全面. (12)熟练掌握基本初等函数的图象和性质,善于利用函数的性质来作图象,要合理运用三种 图象变换的技巧. (13)在研究函数性质时,注意结合图象;在解有些方程和不等式等问题时,借助图象能起到 十分快捷的效果,但要注意:求交点个数或解的个数问题时,作图要十分准确,否则容易错 解.解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个) 函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可 以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.规律方法 (14)函数的知识常与导数、三角函数、数列、不等式、概率等知识结合命题,是重要的知识 交汇点,解答此类问题时一定要先判明是以函数为主还是以其他知识为主,结合条件找准解 题切入点. 要注意转化与化归和分类讨论思想在这些题目中的应用.

5.讲易错
1.画函数的图象或研究函数的性质时,一定要注意定义域的限制. 2.判断函数 y=f(x)的奇偶性时,注意观察函数的定义域是否关于原点对称,同时注意“函 数的定义域关于原点对称”与“奇函数的图象关于原点对称”的内涵是不同的. 3.应注意区别“f(x)在区间 M 上单调递增(减)”与“f(x)的单调递增(减)区间为 M” . 4.函数的图象一般可以由两种方法得到:(1)描点法;(2)利用基本函数图象的平移、对称、 翻折、伸缩等变换.用描点法画图象时,可结合函数的性质,比如奇偶性、周期性、单调性 等.

5.会“画图”,还要会“识图”,能根据函数的图象研究函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、周期性等性质. 6.注意对抽象函数 y=f(x)的对称性与周期性的识别,如 f(a+x)=f(a-x)和 f(x+a)=f(x -a)在形式上相近,有时难以区分,可以对比学习. 【题目】(2014·东北三省四市联考)函数 f ? x ?=lg ( x+ 1)+lg ( x- 1) 的奇偶性是( A.奇函数 B.偶函数 )

C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 [错解] 选 B. ∵ f ? x ?=lg ( x+ 1)+lg ( x- 1)=lg ( x - 1) .
2

∴ f (-x)=lg[(-x) - 1]=lg( x - 1)=f ? x ?, ? f ? x ? 为偶函数.
2 2

[警示] 研究函数必须遵循“定义域优先”的原则,先考虑定义域,实施数学式子变形,应 注意变量取值范围的变化.

考向二 导数及其几何意义 1.讲高考
(1)考纲要求 (a)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义. (b)导数的运算 ①能根据导数定义,求函数 y ? c,y ? x,y ? x ,y ?
2

1 的导数. x

②能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. (2)命题规律 高考对导数的考查,主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用; 从考查形式上看,基本上是以一道小题和一道大题形式出现,其中导数的几何意义考查,试 题难度较低,有选择题、填空题,有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、 直线的方程、三角函数等相结合. 例 1【2014 全国 2 高考理第 8 题】设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则

a= (
A. 0

) B. 1 C. 2 D. 3

例 2【2014 高考重庆理科第 20 题】已知函数 数

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) 的导函

f '( x) 为偶函数,且曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .

(Ⅰ)确定 a , b 的值; (Ⅱ)若 c ? 3 ,判断 (Ⅲ)若

f ( x) 的单调性;

f ( x) 有极值,求 c 的取值范围.

2.讲基础
(1)导数的定义: f '( x) ? lim
?x ?0

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim . ? x ? 0 ?x ?x

(2)导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f '( x0 ) 就是曲线在点 ( x0 ,f( x0 )) 处的 切线的斜率,即 k ? f '( x) . (3)基本初等函数的导数公式 函数 ①f(x)=C(C 为常数) ② f ? x?=x (n ? N*)
n

导数 f′(x)= 0

f ' ? x?=nxn?1 (n ? N*) f ? ? x?=cos x f ? ? x?=-sinx f ' ? x?=ax lna f ' ? x?=ex
1 x lna 1 f ' ? x ?= x f ' ? x ?=

③f(x)=sin x ④f(x)=cos x ⑤ f ? x?=a (a>0,且a ? 1)
x

⑥ f ? x?=e

x

⑦ f ? x?=loga x(a> 0,且a ? 1) ⑧f(x)=ln x (4)导数的四则运算法则 ① [ f (x) ? g(x)]'=f '(x) ? g '(x)

② [ f (x) ? g(x)]'=f '(x) g (x) ? f (x)g '(x)

③[

f (x) f '(x) g(x) ? f (x)g '(x) ]'= (g(x) ? 0) g(x) g 2 (x)

④(理)设 y ? f (u), u ? ? (x), 则 y?x=y?u ? u 'x .

3.讲典例
【例 1【 】2014 高考全国 1 第 21 题】 设函数 f ( x) ? ae ln x ?
x

be x ?1 , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) x

处的切线方程为 y ? e( x ? 1) ? 2. (I)求 a, b; (II)证明: f ( x) ? 1. 【趁热打铁】 【四川省资阳市 2015 届高三第一次诊断性测试,文 18】已知函数

f ?x? ? x 2 ? ax ? b e x 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 1 ,其中 e 是自然对数的底数.
(Ⅰ) 求实数 a、b 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在区间 [ ?2,3] 上的值域. 【例 2】 【江苏省南通第一中学 2014—2015 学年度上学期期中, 理 21】 已知函数 f (x) =ln(2x-e), 点 P(e,f(e))为函数的图像上一点. (1)求导函数 f ?( x ) 的解析式; (2)求 f(x)=ln(2x-e)在点 P(e,f(e))处的切线的方程. 【趁热打铁】 【改编自曾都、枣阳、襄阳、宜城一中 2015 届高三上学期期中,理 20】设函数

?

?

f ( x) ?

1 1 , L 为曲线 C : y ? f ( x) 在点 (?1, ) 处的切线. 12 5x ? 16 x ? 23
2

(Ⅰ)求 L 的方程;

1 1 (Ⅱ)当 x ? ? 时,证明:除切点 (?1, ) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方; 5 12

4.讲方法
(1)求曲线切线方程的步骤是: (i)求曲线 y=f(x)的切线方程的类型及方法 (a)已知切点 P ( x0,y0 ) ,求 y=f(x)过点 P 的切线方程: 求出切线的斜率 f ? ? x0 ? ,由点斜式写出方程;

(b)已知切线的斜率为 k,求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P ( x0,y0 ) ,通过方程 k=f ? ? x0 ? 解得 x0 ,再由点斜式写出方程; (c)已知切线上一点(非切点),求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P ( x0,y0 ) , 利用导数求得切线斜率 f ? ? x0 ? , 再由斜率公式求得切线斜率, 列方程(组) 解得 x0 ,再由点斜式或两点式写出方程. (ii)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定 切线的斜率,再由 k=f ? ? x0 ? 求出切点坐标 ( x0,y0 ) ,最后写出切线方程.

5.讲易错
(1)明确函数导数的几何意义,即曲线 y=f(x)在 ( x0,f ? x0 ?) 处切线的斜率是 f ? ? x0 ? . (2)熟练掌握导数公式及导数的四则运算,特别是涉及正弦与余弦函数、幂函数与指数函数、 对数函数的导数公式,要注意加以区分. (3)注意曲线与直线相切并不一定只有一个公共点.不能随意将直线和圆锥曲线相切时仅有一 个公共点迁移过来.求过某点的曲线的切线方程与求在某点处的切线方程应注意区分.

1 3 4 4) 的切线方程; x ? ,求曲线过点 P(2, 3 3 1 4 4) 在曲线 y ? x3 ? 上,且 y? ? x 2 , [错解] 因为 P(2, 3 3
【题目】已知曲线 y ?

4) 处的切线的斜率 k= y? |x ? 2 =4; ∴在点 P(2, 4) 处的切线方程为 y ? 4 ? 4 ? x ? 2? , 即 4 x ? y ? 4 ? 0. ∴曲线在点 P(2, 4) 的切线方程”与“该曲线在点 P(2, 4) 处的切线方程”是有区别 [警示] 该曲线过点 P(2, 4) 的切线中,点 P(2, 4) 不一定是切点;在点 P(2, 4) 处的切线,点 P(2, 4) 是切 的:过点 P(2,
点.

考向三 导数的综合应用 1.讲高考
(1)考纲要求 (a)导数的综合应用是高考的重点必考内容,利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及 解决生活中的优化问题,已成为近几年高考的命题热点.

(b) 利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积为主,考查较少. (2)命题规律 导数的应用涉及的知识点多,综合性强,要么直接求极值或最值,要么利用极值或最值求参 数的取值范围, 常与函数的单调性, 函数的零点, 不等式及实际问题, 形成知识的交汇问题. 选 择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值,一般属于低档题目;解答题侧 重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用,一般难度较大,属于中高档 题.预测 2015 年的高考,不但出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题,还必有考 查导数的综合应用大题. 例 1【2014 江西高考理第 8 题】若 f ( x ) ? x ? 2
2

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

1



A. ?1

B. ?

1 3

C.

1 3

D.1

3 2 例2 【2014 全国 1 高考理第 11 题】 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,

且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是( A. ? 2, ??? B. ?1, ?? ?

) C. ? ??, ?2? D. ? ??, ?1?

例 3【2014 高考北京理第 18 题】已知函数 f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, (1)求证: f ( x) ? 0 ;

?
2

].

sin x ? ? b 对 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 2 ax 例 4【2014 高考大纲理第 22 题】函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? ? a ? 1? . x?a
(2)若 a ? (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)设 a1 ? 1, an?1 ? ln(an ? 1) ,证明:

2 3 ? an ? . n+2 n?2

2.讲基础
(1)函数的单调性与导数的关系. 一般地,在某个区间(a,b)内: ①如果 f ?(x)>0 ,函数 f(x)在这个区间内单调递增. ②如果 f ?(x)<0 ,函数 f(x)在这个区间内单调递减. ③如果 f ?(x)=0 ,函数 f(x)在这个区间内是常数函数.

(2)函数的极值与导数的关系. 一般地,对于函数 y=f(x), ①若在点 x=a 处有 f′(a)=0,且在点 x=a 附近的左侧 f ?(x)<0 ,右侧 f ?(x)>0 ,则称 x= a 为 f(x)的极小值点; f ( a ) 叫函数 f(x)的极小值. ②若在点 x=b 处有 f′(b)=0,且在点 x=b 附近的左侧 f ?(x)>0 ,右侧 f ?(x)<0 ,则称 x= b 为 f(x)的极大值点, f (b) 叫函数 f(x)的极大值. (3)求函数 y=f(x)在[a, b]上的最大值与最小值的步骤: ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. (4)(理)利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:①画出图形;②确定被积函数;③求出 交点坐标, 确定积分的上、 下限; ④运用微积分基本定理计算定积分, 求出平面图形的面积. 特 别注意平面图形的面积为正值,定积分值可能是负值. 被积函数为 y=f(x),由曲线 y=f(x)与直线 x=a,x=b(a<b)和 y=0 所围成的曲边梯形的面 积为 S.
b ①当 f(x)>0 时,S=? ? f(x)dx; ?
?a

3.讲典例 b ②当 f(x)<0 时,S=-? ? f(x)dx; ?
?a

【例 1】 【2014 高考福建理第 20 题】已知函数 f ?x ? ? e ? ax( a 为常数)的图象与 y 轴交于
x

点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处的切线斜率为-1.
c (I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值;
? ?c ? ? ?a

③当 x∈[ a,c] 时,f(x)>0;当 x∈[ c,b] 时,f(x)<0,则 S=

b f(x)dx-? ? f(x)dx. ?

(II)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

【趁热打铁】 【2014 高考全国 2 第 21 题】已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x . (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值;

(Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)
.

【例 2】 【2014 高考江西理第 18 题】已知函数 (1)当 时,求 的极值;

(2)若

1 在区间 (0, ) 上单调递增,求 b 的取值范围. 3

【趁热打铁】 【2014 高考山东卷第 20 题】设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, 2 x x

e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数).
(Ⅰ)当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

e ? 2.71828 例3 【2014 高考四川第 21 题】 已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? bx ? 1, 其中 a, b ? R ,
为自然对数的底数. (Ⅰ)设 g ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅱ)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围 【趁热打铁】 【2014 高考天津第 20 题】已知函数 f (x) = x - aex ? a ? R? , x ? R .已知函数

y = f (x) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 .
(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明

x2 随着 a 的减小而增大; x1

(Ⅲ)证明 x1 + x2 随着 a 的减小而增大. 例 4【2014 高考浙江理第 22 题】已知函数 f ?x? ? x ? 3 x ? a (a ? R).
3

(1)若 f ?x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值和最小值分别记为 M (a), m(a) ,求 M (a) ? m(a) ; (2)设 b ? R, 若 ? f ?x ? ? b? ? 4 对 x ? ?? 1,1?恒成立,求 3a ? b 的取值范围.
2

【趁热打铁】 【四川省成都市新都一中 2015 届高三 10 月考,文 21】已知函数 f(x)满足 2f(x +2)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx+ax ( a < ? 值为―4. (Ⅰ) 求 x∈(0,2)时,f(x)的解析式;
1 ),当 x∈(―4,―2)时,f(x)的最大 2

(Ⅱ) 是否存在实数 b 使得不等式

x?b > x 对于 x ? (0,1)∪(1, 2) 恒成立?若存在,求出实 f ( x) ? x

数 b 的取值集合;若不存在,请说明理由.

4.讲方法
(1)利用导数研究函数的单调性的一般思路: (i)确定函数的定义域. (ii)求导数 f′(x). (iii)①若求单调区间或证明单调性,只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f′(x) >0 或 f′(x)<0.②若已知 f (x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 在单调 区间上恒成立问题求解. (2)若已知函数的单调性求参数的值或取值范围,只需转化为不等式 f ′(x)≥0 或 f ′(x) ≤0 在单调区间内恒成立的问题求解,解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些 相关的逆向问题,都离不开分类讨论思想. (3)利用导数研究函数最值的一般步骤 (i)求定义域;(ii)求导数 f ′(x);(iii)求极值,先解方程 f ′(x)=0,验证 f ′(x)在根 左右两侧值的符号确定单调性,若在 x=x0 左侧 f ′(x)>0,右侧 f ′(x)<0,则 f ? x0 ? 为极 大值,反之 f ? x0 ? 为极小值,若在 x=x0 两侧 f(x)的值不变号,则 x=x0 不是 f(x)的极值点; (4)求最值,比较各极值点与区间[a,b]的端点值 f(a)、f(b)的大小,其中最大的一个为最大 值,最小的一个为最小值. (4)已知 f(x)在某区间上的极值或极值的存在情况,则转化为方程 f ′(x)=0 的根的大小或 存在情况. (5)解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”转化为数学语言,抽 象为数学问题,选择合适的求解方法.而最值问题的应用题,写出目标函数利用导数求最值 是首选的方法,若在函数的定义域内函数只有一个极值点,该极值点即为函数的最值点. 具体地,利用导数解决优化问题的步骤: ①审题,设未知数;②结合题意列出函数关系式;③确定函数的定义域;④在定义域内求极 值、最值;⑤下结论. (6)在研究函数的性质与图象,方程与不等式的解,不等式的证明等问题中,根据解题的需 要可以构造新的函数 g(x),通过研究 g(x)的性质(如单调性、极值等)来解决原问题是常用的

方法.如在讨论 f ′(x)的符号时,若 f ′(x)的一部分为 h(x),f ′(x)的符号由 h(x)所决 定,则可转化为研究 h(x)的极(最)值来解决,证明 f(x)>g(x)时,可构造函数 h(x)=f(x)-

g(x),转化为 h(x)的最小值问题等等.
(7)应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题,是多元问题中的常见题型,常见的 解题思路有以下两种: (i)分离变量,构造函数,将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域),然后 求解. (ii)换元,将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程,进而构造函数加以解决.

5.讲易错
(1)明确函数的极值表示函数 y=f(x)在一点附近的情况,即极值是在局部对函数值的比较, 函数在区间上的极大值(或极小值)可有若干个,而且有时某个极小值会大于它的某个极大 值.导数为零的点,不一定是极值点. (2)在一般情况下,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但 如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. (3)能根据函数的图象确定函数的单调区间和函数的极值或最值,反之,能根据函数的单调性 与极值等画出函数的草图. 【题目】函数 f ? x ?=ax -3x 在 (?1,1) 上为单调减函数,则 a 的取值范围是________.
3

[错解]{1}

? f '(1) ? 0 ,? a ? 1 . f ' ? x ?=3ax2-3 ,由已知得 ? ? f '(?1) ? 0
[警示] 若 f(x)的单调减区间为[m, n], 则在 x=m(x=n)两侧函数值异号, f ′(m)=0(f ′ (n)=0);若 f(x)在区间[m,n]上单调递减,则 f ′(x)≤0 在[m,n]上恒成立.

1 处有极值为 10 ,则 a+ b =________. 【题目】已知 f ? x ?=x +ax +bx+a 在 x=
3 2 2

[错解]

?7 或 0 .

? f (1) ? 10 ? 2a ? b ? 3 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ?a ? ?3 或? ,所 ,? ? 2 ,? f ' ? x ?=3x2+2ax+b ,由已知 ? ? f '(1) ? 0 ?a ? a ? b ? 1 ? 10 ?b ? ?11 ? b ? 3
以 a+ b 等于 ?7 或 0 . [警示] 对于给出函数极大(小)值的条件,一定既要考虑 f ? ? x0 ?=0 ,又要考虑在 x ? x0 两

侧的导数值符号不同,否则容易产生增根.


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