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2014届高考数学一轮复习名师首选:第2章6《函数的奇偶性与周期性》


学案 6

函数的奇偶性与周期性

导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3. 会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题. 自主梳理 1.函数奇偶性的定义 设函数 y=f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A,都有__________,则称 f(x)为奇 函数;如果对于任意的 x∈A 都有

__________,则称 f(x)为偶函数. 2.奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=____; f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)-f(-x)=____. (2)f(x) 是偶函数 ? f(x) 的图象关于 ____ 轴对称; f(x) 是奇函数 ? f(x) 的图象关于 ______对称. (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有______ 的单调性. 3.函数的周期性 (1)定义:如果存在 一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T) =______,则称 f(x)为______函数,其中 T 称作 f(x)的周期.若 T 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x)的________. (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ )=f(x- ). 2 2 ②如果 T 是函数 y=f(x)的周期, 则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期, 即 f(x+kT) =f(x). ③若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0), 则 f(x)是以______为一个周期的周期函数. f? x? f? x? 自我检测 2 2 1. 已知函数 f(x)=(m-1)x +(m-2)x+(m -7m+12)为偶函数, 则 m 的值为_ _______. 2.如果定义域为[3-a,5]的函数 f(x)为奇函数,那么实数 a 的值为________. 3.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且 当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 012)+f(2 011)=________. ? x+1? ? x+a? 4.设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________.

T

T

x

5.若函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,且 f(a)≤f(2),则实 数 a 的取值范围为___________.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性. 1-x (1)f(x)=(x+1) ; 1+x 1 1 (2)f(x)=x( x + ); 2 -1 2 (3)f(x)=log2(x+ x +1); 2 ?x +x, x<0, ? (4)f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. ?
2

变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性. 2 3 (1)f(x)=x -x ; 2 2 (2)f(x)= x -1+ 1-x ; 2 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3

探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 例 2 函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求 1 不等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2

变式迁移 2 已知函数 f(x)=x +x, 对任意的 m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0 恒成立, 则 x 的取值范围为________. 探究点三 函数性质的综合应用 例 3 已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函 数,若方程 f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3 +x4=________. 变式迁移 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 且 f(x)=f(2-x). 若 f(x)在区间[1,2] 上是减函数,则下列说法中正确的是________(填序号). ①在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数; ②在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数; ③在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数; ④ 在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4] 上是减函数.

3

转化与化归思想 例 (14 分)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1·x2) =f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的 取值范围. 【答题模板】 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0.[2 分] (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0.[4 分] 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.[6 分] (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3,[8 分] ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即 f((3x+1)(2x-6))≤f(64).[10 分]

∵f(x)为偶函数,∴f(|(3x+1)(2x-6|)≤f(64).[11 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)的定义域为 D. ∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64. 7 1 1 解上式,得 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3.[13 分] 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x< 3 或 3<x≤5}.[14 分] 3 3 3 【突破思维障碍】 在(3)中,通过变换已知条件,能变形出 f(g(x))≤f(a)的形式,但思维障碍在于 f(x) 在(0,+∞)上是增函数,g(x)是否大于 0 不可而知,这样就无法脱掉“f”,若能结合(2) 中 f(x) 是偶函数的结论,则有 f(g(x)) = f(|g(x)|) ,又若能注意到 f(x) 的定义域为 {x|x≠0},这才能有|g(x)|>0,从而得出 0<|g(x)|≤a,解之得 x 的范围. 【易错点剖析】 在(3)中,由 f(|(3x+1)·(2x-6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中,如果思维不缜密, 不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0},易出现 0≤|(3x+1)(2x-6)|≤64,导 致结果错误.
[来源:Zxxk.Com]

1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:①定义域在数轴上关于原 点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; ②f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x) 是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时 需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f( -x)=±f(x) ?f(- x)±f(x) =0 ? f? -x? =±1(f(x)≠0). f? x? 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也真.利用这一性 质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性. 4.关于函数周期性常用的结论:对于函数 f(x),若有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- (a 为常数且 a≠0),则 f(x)的一个周期为 2a. f? x? f? x? 课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 2 1.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值为________. 2.已知定义域为{x|x≠0}的函数 f(x)为偶函数,且 f(x)在区间(-∞,0)上是增函数, f? x? 若 f(-3)=0,则 <0 的解集为________________.

x

3. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并满足 f(x+2)=-

1

f ? x?

, 当 1≤x≤2 时, f(x)

=x-2,则 f(6.5)=________. x 4.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(- 1)=________. 5.设函数 f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则 f(-1) 与 f(2)大小关系为____________________.

x-1,x>0, ? ? 6.若函数 f(x)=?a, x=0, ? ?x+b,x<0

是奇函数,则 a+b=________.

7.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 f(x)满足 f(x+3)=f(x),且 f(1)>1,f(2)

2m-3 = ,则 m 的取值范围为________________. m+1 8.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(2) =2,则 f(2 010)的值为________. 二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)已知 f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且 f(x)在[0,3]上是 x 的一次式, 在[3,6]上是 x 的二次式,且当 3≤x≤6 时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求 f(x)的表达式.

10.(14 分)设函数 f(x)=x -2|x|-1(-3≤x≤3), (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增 函数还是减函数; (4)求函数的值域.

2

11.(14 分)已知函数 f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围.

2

a x

答案 自主梳理 1.f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测 1.2 解析 因为 f(x)为偶函数,所以奇次项系数为 0, 即 m-2=0,所以 m=2. 2.8 3.1 解析 f(-2 012)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1) =1. 4.-1 解析 ∵f(-1)=0,∴f(1)=2(a+1)=0, x2-1 ∴a=-1.代入检验 f(x)= 是奇函数,故 a=-1.

x

5.a≤-2 或 a≥2 解析 由 f(x)是 R 上的偶函数知,f(x)在[0,+∞)上是 减函数. 因为 f(a)≤f(2)等价于 f(|a|)≤f(2). 所以|a|≥2,解得 a≥2 或 a≤-2. 课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数奇偶性的方法. (1)定义法:用函数奇偶性的定义判断.(先看定义域是否关于原点对称). (2)图象法:f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)为奇函数;f(x)的图象关于 y 轴对称,

则 f(x)为偶函数. (3)基本函数法: 把 f(x)变形为 g(x)与 h(x)的和、 差、 积、 商的形式, 通过 g(x)与 h(x) 的奇偶性判定出 f(x)的奇偶性. 1-x 解 (1)定义域要求 ≥0 且 x≠-1, 1+x ∴-1<x≤1,∴f(x)定义域不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 1 1 ∵f(-x)=-x( -x + ) 2 -1 2 x x 2 1 2 1 =-x( - ) x+ )=x( x 1-2 2 2 -1 2 1 1 =x( x + )=f(x). 2 -1 2 ∴f(x)是偶函数. (3)函数定义域为 R. 2 ∵f(-x)=log2(-x+ x +1) 1 2 =log2 =-log2(x+ x +1)=-f(x), x+ x2+1 ∴f(x)是奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x). ∴对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有 f(-x)=-f(x). 故 f(x)为奇函数. 变式迁移 1 解 (1)由于 f(-1)=2,f(1)=0,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),从 而函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,又 f(- 1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1) =0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
? ?4-x ≥0 (3)由? ?|x+3|≠3 ?
2

得,f(x)定义域为[-2,0)∪(0,2].

∴定义域关于原点对称, 2 2 4-x 4-x 又 f(x)= ,f(-x)=- ,

x x ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

例 2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式.解题的关键是利用函 数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”. 在关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反. 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上单调递增, 且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2

? ?x? 则? ? ?x?

x- ? >0, x- ? <1,
1 2

1 2

1 即 0<x(x- )<1, 2 1 1+ 17 1- 17 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 1 若 f[x(x- )]<0=f(-1), 2

? ?x? 则? ? ?x?

x- ? <0, x- ? <-1,
1 2

1 2

1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2 ∴原不等式的解集是 1 1+ 17 1- 17 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4 2 变式迁移 2 (-2, ) 3 解析 易知 f(x)在 R 上为单调递增函数,且 f(x)为奇函数,故 f(mx-2)+f(x)<0,等 价于 f(mx-2)<-f(x)=f(-x),此时应用 mx-2<-x,即 mx+x-2<0 对所有 m∈[-2,2] 恒成立,令 h(m)=mx+x-2, ? ?h? -2? <0 2 此时,只需? 即可,解得 x∈(-2, ). 3 ?h? 2? <0 ?
[来源:学.科.网]

例 3 解题导引 解决此类抽象函数问题, 根据函数的奇偶性、 周期性、 单调性等性质, 画出函数的一部分简图,使抽象问题变得直观、形象,有利于问题的解决. 答案 -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x).因此, 函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0,由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数 是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在[-2,0]上也 是增函数,如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4, 不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=- 8.

变式迁移 3 ② 解析 ∵f(x)=f(2-x),∴f(x+1)=f(1-x). ∴x=1 为函数 f(x)的一条对称轴. 又 f(x+2)=f[2-(x+2)] =f(-x)=f(x), ∴2 是函数 f(x)的一个周期. 根据已知条件画出函数简图的一部分,如图: 由图象可以看出,在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.

课后练习区 1 1. 3 解析
?a-1=-2a ? 依题意得? ?b=0 ?

1 ? ?a= ,∴? 3 ? ?b=0



1 ∴a+b= . 3 2.(-3,0)∪(3,+∞) 解析 由已知条件,可得函数 f(x) 的图象大致为下图,故

f? x? x

<0 的解集为 ( -

3,0)∪(3,+∞).

3.-0.5 1 =f(x), 那么 f(x)的周期是 4, f? x? f? x+2? 得 f(6.5)=f(2.5).因为 f(x)是偶函数,则 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而 1≤x≤2 时, f(x)=x-2, ∴f(1.5)=-0.5.综上知,f(6.5)=-0.5. 4.-3 0 解析 因为奇函数 f(x)在 x=0 有定义,所以 f(0)=2 +2×0+b=b+1=0,b=-1. x 所以 f(x)=2 +2x-1,f(1)=3, 从而 f(-1)=-f(1)=-3. 5.f(-1)>f(2) 解析 由 y=f(x+1)是偶函数,得到 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,∴f(-1)= f(3). 又 f(x)在[1,+∞)上为单调增函数, ∴f(3)>f(2),即 f(-1)>f(2). 6.1 解析 ∵f(x)是奇函数,且 x∈R,∴f(0)=0,即 a=0.又 f(-1)=-f(1),∴b-1= -(1-1)=0,即 b=1,因此 a+b=1. 2 7.(-1, ) 3 解析 ∵f(x+3)=f(x), ∴f(2)=f(-1+3)=f(-1). ∵f(x)为奇函数,且 f(1)>1, 解析 由 f(x+2)=- , 得 f(x+4)=- 1

∴f(-1)=-f(1)<-1,∴

2m-3 <-1. m+1

2 解得:-1<m< . 3 8.2 解析 由 g(x)=f(x-1),得 g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)为 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x), ∴f(-x-1)=-f(x-1), 即 f(x-1)=-f(-x-1), 用 x+1 替换 x,得 f(x)=-f(-x-2). 又 f(x)是 R 上的偶函数,∴f(x)=-f(x+2). ∴f(x)=f(x+4),即 f(x)的周期为 4. ∴f(2 010)=f(4×502+2)=f(2)=2. 2 9.解 由题意,当 3≤x≤6 时,设 f(x)=a(x-5) +3, 2 ∵f(6)=2,∴2=a(6-5) +3.∴a=-1. 2 ∴f(x)=-(x-5) +3(3≤x≤6).?????????????????????(4 分) ∴f(3)=-(3-5) +3=-1. 又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. ∴一次函数图象过(0,0),(3,-1)两点. 1 ∴f(x)=- x(0≤x≤3).?????????????????????????(8 3 分) 当-3≤x≤0 时,-x∈[0,3], 1 1 ∴f(-x)=- (-x)= x. 3 3 1 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=- x. 3 1 ∴f (x)=- x(-3≤x≤3).??????????????????????? (10 3 分) 当-6≤x≤-3 时,3≤-x≤6, 2 2 ∴f(-x)=-(-x-5) +3=-(x+5) +3. 又 f(-x)=-f(x), 2 ∴f(x) = (x +5) - 3. ??????????????????????????? (13 分) ∴f(x) =
[来源:学科网 ZXXK]

2

-3, -6≤x≤-3, ? ? 1 -3<x<3,?????????????????? ?-3x ? ?-? x-5? +3, 3≤x≤6. ? x+5?
2 2

2

14分?

10.解 (1)f(-x)=(-x) -2|-x| -1 2 =x -2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x).∴f(x)是偶函数.????????????????????? (3 分) 2 2 (2)当 x≥0 时,f(x)=x -2x-1=(x-1) -2, 2 2 当 x<0 时 ,f(x)=x +2x-1=(x+1) -2,

?? ? 即 f(x)=? ?? ?

x-1? x+1?

2 2

-2, x≥0,

-2, x<0. 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如下图.

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

??????????????????????????????????? (7 分) (3)由(2)中函数图象可知, 函数 f(x)的单调区间为[-3, -1], [-1,0], [0,1], [1,3]. f(x)在[-3,-1]和[0,1]上为减函数,在[-1,0],[1,3]上为增函数.?????? (10 分) 2 (4)当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2; 2 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2; 故函数 f(x)的值域为[-2,2].??????????????????????? (14 分) 2 11.解 (1)当 a=0 时,f(x)=x 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有 f(-x)=(- 2 2 x) =x =f(x), ∴f(x)为偶函数.???????????????????????????? (2 分) 当 a≠0 时,f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R), 若 x=±1 时,则 f(-1) +f(1)=2≠0; ∴f(-1)≠-f(1),又 f(-1)≠f(1), ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.?????????????????(6 分) 综上所述,当 a=0 时,f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数.?????????????????????(7 分) (2)设 2≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- = 分) 要使 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须使 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4 ,即 a<x1x2(x1+x2)恒成立.???????????????(12 分) 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a 的取值范围为(-∞, 16]. ?????????????????????(14 分)
2 2

a x

a x1

2

a x2

x1-x2 [ x1x2(x1+x2)-a],??????????????????????? (10 x1x2


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