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2016高考数学理科二轮复习习题:专题2第一讲 三角函数的图象与性质


专题二

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第一讲 三角函数的图象与性质

1.角的概念. (1) 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同 ( 填“一 定”或“不一定”). (2)确定角 α 所在的象限, 只要把角 α 表示为 α=2kπ +α0[k∈Z, α 0∈[0,2π )],判断出 α0 所在的象限,即为 α

所在象限. 2.诱导公式. 诱导公式是求三角函数值、 化简三角函数的重要依据, 其记忆口 诀为:奇变偶不变,符号看象限.

1.三角函数的定义:设 α 是一个任意大小的角,角 α 的终边与 y 单位圆交于点 P(x,y),则 sin α =y,cos α =x,tan α = . x 2.同角三角函数的基本关系. (1)sin2α +cos2α =1. (2)tan α = sin α . cos α

1

2

3

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
? 1 3 3? (1)角 α 终边上点 P 的坐标为?- , ?, 那么 sin α = , cos α 2 2? ? 2

1 =- ;同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0,y0),那么 sin α =y0,cos 2 α =x0.(×) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.(√) (4)常函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.(√) (5)y=cos x 在第一、二象限上是减函数.(×) (6)y=tan x 在整个定义域上是增函数.(×)

5 1. (2015· 福建卷)若 sin α =- , 且 α 为第四象限角, 则 tan α 13 的值等于(D) 12 12 5 5 A. B.- C. D.- 5 5 12 12 解析:解法一:因为 α 为第四象限的角,故 cos α= 1-sin2α 5 sin α 13 5 12 5 1-(- )2= ,所以 tan α= = =- . 13 13 12 cos α 12 13 - 5 解法二:因为 α 是第四象限角,且 sin α=- , 13 所以可在 α 的终边上取一点 P(12,-5),
4



5 y 则 tan α= =- .故选 D. x 12 2.已知 α 的终边经过点 A(5a,-12a),其中 a<0,则 sin α 的 值为(B) A.- 12 12 5 5 B. C. D.- 13 13 13 13

3.(2014· 新课标Ⅰ卷)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=
? ? π? π? cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为(A) 6? 4? ? ?

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③ 2π 2

解析: ①中函数是一个偶函数, 其周期与 y=cos 2x 相同, T=

=π;②中函数 y=|cos x|的周期是函数 y=cos x 周期的一半,即 T =π;③T= 2π π =π;④T= .故选 A. 2 2

4. (2015· 陕西卷)如图, 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线 π 近似满足函数 y=3sin( x+φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单 6 位:m)的最大值为(C)

A.5 B.6 C.8 D.10 解析:根据图象得函数的最小值为 2,有-3+k=2,k=5,最 大值为 3+k=8.

5

一、选择题 3 1.若 sin(α-π )= ,α 为第四象限角,则 tan α =(A) 5 A.- 3 C. 4 3 解析:∵sin(α-π)= , 5 3 3 ∴-sin α= ,sin α=- . 5 5 又∵α 为第四象限角, ∴cos α= 1-sin2α=
? 3?2 4 1-?-5? = , 5 ? ?

3 4

B.- D. 4 3

4 3

3 - sin α 5 3 tan α= = =- . 4 cos α 4 5 2. 定义在 R 上的周期函数 f(x),周期 T=2,直线 x=2 是它的 图象的一条对称轴,且 f(x)在[-3,-2]上是减函数,如果 A,B 是 锐角三角形的两个内角,则(A) A.f(sin A)>f(cos B) B.f(cos B)>f(sin A) C.f(sin A)>f(sin B) D.f(cos B)>f(cos A) 解析:由题意知:周期函数 f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0, π 1]上是增函数.又因为 A,B 是锐角三角形的两个内角,A+B> , 2
6

得:sin A>cos B,故 f(sin A)>f(cos B).综上知选 A.
?π x π ? 3.函数 y=2sin? - ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(A) 3? ? 6

A.2- 3 C.-1

B.0 D.-1- 3

?πx π? 解析:用五点作图法画出函数 y= 2sin? - ? (0≤x≤ 9)的图 3? ? 6

象,注意 0≤x≤9 知,函数的最大值为 2,最小值为- 3.故选 A. 4. 把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单 位长度,得到的图象是(A)

解析: y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长 度,得到的解析式为 y=cos (x+1).故选 A. 5.(2015· 新课标Ⅰ卷)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所 示,则 f(x)的单调递减区间为(D)
7

? 1 3? A.?kπ -4,kπ +4?,k∈Z ? ? ? 1 3? B.?2kπ -4,2kπ +4?,k∈Z ? ? ? 1 3? C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? ? ? 1 3? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ?5 1? 解析:由图象知周期 T=2?4-4?=2, ? ?





ω

=2,∴ ω=π.

π π 1 由π× +φ= +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= , 4 2 4
? π? ∴ f(x)=cos?πx+ ?. 4? ?

由 2kπ<πx+ ∴

π 1 3 <2kπ+π,得 2k- <x<2k+ ,k∈Z, 4 4 4
? ?

? 1 3? f(x)的单调递减区间为?2k-4,2k+4?,k∈Z.故选 D.

π 6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω >0,|φ |< ) 2 的图象(部分)如图所示,则 f(x)的解析式是(A)
8

? π? A.f(x)=2sin?π x+ ?(x∈R) 6? ? ? π? B.f(x)=2sin?2π x+ ?(x∈R) 6? ? ? π? C.f(x)=2sin?π x+ ?(x∈R) 3? ?

D.f(x)=2sin?2π x+
?

?

π? ?(x∈R) 3?
? ?

2π ?5 1? 解析:由图象可知其周期为:4?6-3?=2,∵ =2,得 ω=π,

ω

1 故只可能在 A,C 中选一个,又因为 x= 时达到最大值,用待定系 3 数法知φ= π . 6

二、填空题 4 3 7.若 sin θ =- ,tan θ >0,则 cos θ =- . 5 5 4 8.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =- . 5 4 x 解析:由题意可知 x=-4,y=3,r=5,所以 cos α= =- . r 5 三、解答题

9

9. (2014· 福建卷)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x).
?5π ? ?的值; (1)求 f? ? 4 ?

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 分析:思路一 计算. (2)应用和差倍半的三角函数公式,将函数化简 2sin?2x+
? ?

直接将

5π 代入函数式,应用三角函数诱导公式 4

π? ?+ 4?

1. 得到 T= 2π =π. 2 π π π ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8

由 2kπ-

解得 kπ- 思路二

先应用和差倍半的三角函数公式化简函数 f(x)= 2sin

? π? xcos x+2cos2x= 2sin?2x+ ?+1. 4? ?

(1)将

5π 代入函数式计算; 4 2π =π. 2 π π π ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8
?5π? 5π? 5π 5π? ?sin ? (1)f? ?=2cos + cos 4 ? 4 4 ? ? 4 ?

(2)T=

由 2kπ-

解得 kπ-

解析:解法一

10

=-2cos =2.

π? π π? ?-sin ? - cos 4? 4 4?

(2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 = 2sin?2x+
? ?

π? ?+1. 4?

所以 T=

2π =π. 2 π π π ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2

由 2kπ- 得 kπ-

3π π ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 8 8

? 3π π? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 8 8? ?

解法二

因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x

=sin 2x+cos 2x+1 = 2sin?2x+
? ?

π? ?+1. 4?

?5π? 11π π ?= 2sin (1)f? +1= 2sin +1=2. 4 4 ? 4 ?

(2)T=

2π =π. 2 π π π ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2

由 2kπ- 得 kπ-

3π π ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 8 8

? 3π π? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 8 8? ?

11

? π? 10. 函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0, ω >0)的最大值为 3, 其 6? ?

图象相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α∈?0,
? ?

π . 2

?α ? π? ?,则 f? ?=2,求 α 的值. 2? ?2?

解析:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ∴最小正周期为 T=π, ∴ω=2,故函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x-
? ?

π , 2

π? ?+1. 6?

?α? ? π? (2)∵f? ?=2sin?α- ?+1=2, 6? ?2? ?

即 sin?α-
?

?

π? 1 ?= , 6? 2

∵0<α< ∴α-

π π π π ,∴- <α- < . 2 6 6 3

π π π = ,故 α= . 6 6 3

x x x 11.(2015· 北京卷)已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin2 . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值. 解析:(1)由题意得 f(x)=
? π? 2 2 sin x- (1-cos x)=sin?x+ ?- 2 2 4? ?

2 ,所以 f(x)的最小正周期为 2π. 2
12

(2)因为-π≤x≤0,所以- 当 x+

3π π π ≤x+ ≤ . 4 4 4

π π 3π =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4

所以 f(x)在区间[-π,0]上的最小值为 f?-
?

3π? 2 ?=-1- . 2 4 ? ?

13


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