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3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数


第 1 课时

任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 【梳理自测】 一、任意角 1.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 B.第一或第二象限 D.第三或第四象限新

-课- 标-第- 一-网 9π 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 )

2.(教材改编 )下列与 ( ) A.2kπ +45°(k∈Z)

9 B.k?360°+ π (k∈Z) 4 5π D .k π + (k∈Z) 4

C.k?360°-315°(k∈Z) 答案:1.A 2.C

◆以上题目主要考查了以下内容:

角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看 α 与β 角的终边相同 (或 α +k?2π ,k∈Z) 二、弧度制

角的分类 角可分为正角、负角和零 角 可分为象限角和轴线角 Β =α +k?360°,k∈Z

1.圆中等于半径长的弦所对的圆心角的弧度数为________. 2.弧长为 3π ,圆心角为 135°的扇形半径为________,面积为 ________. π 答案:1. 3 2.4 6π

◆以上题目主要考查了以下内容: (1)定义:长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧 度记作 rad. (2)公式:①弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧 1 1 度;②弧长公式:l=|α |r;③扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r2. 2 2 三、任意角的三角函数 1.已知角 α 的终边上一点 A(2,2),则 α 的大小为( A. π 4 π B. 6 D.k?360°+30°,k∈Z ) )

C.k?360°+45°,k∈Z

2.已知角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α =( A. 5 5 2 5 B. 5

C.-

5 5

2 5 D.- 5 2π 的终边上,且 |OP| = 2 ,则点 P 的坐标是 3

3 .若点 P 在角 ________. 答案:1.C 2.B

3.(-1, 3)

◆以上题目主要考查了以下内容: (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,

y y),则 sin α =y,cos α =x,tan α = (x≠0). x
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正 弦线的起点都在 x 轴上, 余弦线的起点都是原点, 正切线的起点都是 (1,0). 如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线,余弦线和 正切线.

【指点迷津】 1.一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正 切、四余弦. 2.两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能 则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个 小技巧.

3.三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是 概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个 式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用,不可写 α =2kπ + 60°,k∈Z. (3)注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. 4.四个公式 (1)与 α 终边相同的角度公式 (2)角的弧度数(弧长公式) (3)扇形面积公式 (4)三角函数定义 考向一 象限角及终边相同的角

(1)如果 α 是第三象限的角,那么-α ,2α 的终边落在 何处? (2)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合. 【审题视点】 【典例精讲】 +2kπ?- 利用象限角及终边相同的角的表示方法求角. (1)由 α 是第三象限的角得π+2kπ<α < 3π 2

3π π -2kπ<-α <-π-2kπ,即 +2kπ<-α <π 2 2

+2kπ(k∈Z). ∴角-α 的终边在第二象限; 由π+2kπ<α < 3π +2kπ得 2

2π+4kπ<2α <3π+4kπ(k∈Z).

∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. π (2)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 {α|α= π +kπ,k∈Z}. 3 (1)利用终边相同的角的集合 S={β |β =2kπ

【类题通法】

+α ,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时,只需把这个角写成[0,2 π)范围内的一个角 α 与 2π的整数倍的和, 然后判断角 α 的象限. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是 先写出这个角的终边相同的所有角的集合, 然后通过对集合中的参数

k 赋值来求得所需角.

1. 若角 θ 的终边与 角的终边相同的角. 解析:∵θ = 依题意 0≤

6π θ 角的终边相同, 求在[0, 2π )内终边与 7 3

6π θ 2π 2kπ +2kπ(k∈Z),∴ = + (k∈Z). 7 3 7 3

2 π 2kπ 3 18 + <2π?- ≤k< ,k∈Z.∴k=0,1,2, 7 3 7 7

即在[0,2π)内终边与

θ
3

相同的角为

2π 20π 34π , , . 7 21 21

考向二

三角函数的定义

(1)(2014?大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标 为?sin
? ?

2π 2π ? ?,则角 α 的最小正值为( ,cos 3 3 ? 5π 3 B. 2π 3

)

A.

C.

5π 6

11π D. 6

新|课 | 标| 第 |一| 网

(2)若角 θ 的终边在直线 y=2x 上(x≠0),求 cos 2θ 的值. 【审题视点】 (1)|OP|=1,P 点在第四象限.

(2)设 θ 终边上点 M(t,2t),求 cos θ. 【典例精讲】 定义得 cos α=sin 最小正值为 (1)由题意知点 P 在第四象限,根据三角函数的 2π 3 π = ,故 α =2kπ- (k∈Z),所以 α 的 3 2 6

11π .故选 D. 6

(2)设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点, 则 cos θ=

t
5|t|

. 5 ; 5 5 . 5

当 t>0 时,cos θ=

当 t<0 时,cos θ=-

2 3 因此 cos 2θ=2cos2θ-1= -1=- . 5 5 【类题通法】 1.三角函数定义的理解

在直角坐标系 xOy 中,设 P(x,y)是角 α 终边上任意一点,且 |PO|=r,则 sin α= ;cos α= ;tan α= . 2.定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标, 则可先求出点 P 到原点的距 离 r,然后利用三角函数的定义求解. (2)已知角 α 的终边所在的直线方程, 则可先设出终边上一点的 坐标, 求出此点到原点的距离, 然后利用三角函数的定义求解相关的

y r

x r

y x

问题. 若直线的倾斜角为特殊角, 也可直接写出角 α 的三角函数值.

2.角 α 终边上一点 P(4m,-3m)(m≠0),则 2sin α +cos α 的值为________. 解析:由题意,有 x=4m,y=-3m, 所以 r= (4m)2+(-3m)2=5|m|. 3 4 ①当 m>0 时,r=5m,sin α=- ,cos α= , 5 5 6 4 2 则 2sin α+cos α=- + =- .新 课 标 5 5 5
第 一 网

3 4 ②当 m<0 时,r=-5m,sin α= ,cos α=- , 5 5 6 4 2 则 2sin α+cos α= - = . 5 5 5 答案:± 2 5 考向三 扇形的弧长及面积公式

已知一扇形的圆心角是 α ,半径为 R,弧长 l. (1)若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)若扇形周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这 个扇形的面积最大? 【审题视点】 (1)把 α 换成弧度制,直接用公式 l=|α |R.

(2)用 R 表示 S,求其最大值,再求 l 和 α . 【典例精讲】 ∴l=α ?R= (1)α =60°= π rad, 3

π 10π ?10= (cm). 3 3

(2)由题意得 l+2R=20, ∴l=20-2R(0<R<10). 1 1 ∴S 扇= l·R= (20-2R)?R 2 2 =(10-R)?R=-R2+10R. ∴当且仅当 R=5 时,S 有最大值 25. 此时 l=20-2?5=10,α= =

l 10 =2 rad. R 5

∴当 α =2 rad 时,扇形面积取最大值. 【类题通法】 (1)引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转 1 2

化,在弧度制下可以应用弧长公式:l=r|α |,扇形面积公式:S=

lr= r2|α|,求弧长和扇形的面积.
(2)应用上述公式时,要先把角统一用弧度制表示.利用弧度制 比角度制解题更为简捷、方便.

1 2

3.扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧 度数和弦 AB 的长. 解析:设扇形的半径为 r cm,弧长为 l cm,圆心角的弧度数为 2r+l=4 ? ? ? ?r=1 α,则有?1 ,解得? , ?l=2 lr = 1 ? ?2 ? 由|α |= 得 α =2,∴|AB|=2sin 1(cm). ∴弦长 AB 为 2sin 1(cm).

l r

考向四

三角函数线的应用

在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并 由此写出角 α 的集合: (1)sin α ≥ 3 1 ;(2)cos α ≤- . 2 2 3 1 , cos α=- 的角的终边, 2 2

【审题视点】 作出满足 sin α=

然后根据已知条件确定角 α 终边的范围. 【典例精讲】 (1)作直线 y= 3 交单位圆于 A、B 2

两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部 分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合
? ? ? π 2 为?α?2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 3 3 ? ? ?

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD, 2 则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范 围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? 2 4 ?α?2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 3 3 ? ? ?

【类题通法】

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤:

①用边界值定出角的终边位置; ②根据不等式(组)定出角的范围; ③求交集,找单位圆中公共的部分; ④写出角的表达式.

4 . (2014? 合 肥 调 研 ) 函 数 y = lg(3 - 4sin2x) 的 定 义 域 为

________. 解析:∵3-4sin2x>0, 3 ∴sin2x< , 4 ∴- 3 3 <sin x< . 2 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如图阴影部分所 示), ∴x∈?kπ-
? ? ? ?

π π? ,kπ+ ?(k∈Z).新|课 | 标| 第 |一| 网 3 3? π π? ,kπ + ?(k∈Z) 3 3? 错用三角函数的定义

答案:?kπ -

(2014? 天 津 模 拟 ) 已 知 角 θ 4a)(a≠0),则 sin θ =________. 【正解】

的 终 边 上 一 点 P(3a ,

∵x=3a,y=4a,∴r= (3a)2+(4a)2=5|a|.

y 4 (1)当 a>0 时,r=5a,∴sin θ= = . r 5 y 4 (2)当 a<0 时,r=-5a,∴sin θ= =- . r 5
4 ∴sin θ=± . 5 【答案】 【易错点】 4 ± 5 (1)角的终边是一条射线,而不是直线.该题中,

我们只能确定角的终边所在直线. (2)由终边上一点求三角函数时, 由于没有考虑参数的取值情况, 从而求出 r= (3a)2+(4a)2= 25a2=5a,结果得到下列错误的

y 4 解法:sin θ= = . r 5
【警示】 (1)区分两种三角函数定义

如果是在单位圆中定义任意角的三角函数,设角 α 的终边与单 位圆的交点坐标为(x,y),则 sin α=y,cos α=x,tan α= , 但如果不是在单位圆中,设角 α 的终边经过点 P(x,y),|OP|=r, 则 sin α= ,cos α= ,tan α= . (2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系.

y x

y r

x r

y x

1.(2013?高考江西卷)如图,已知 l1⊥l2,圆心 在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x ,令 y = cos x ,则 y 与时间

t(0≤t≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图象大致为(

)

解析:选 B.通过圆心角 α 将弧长 x 与时间 t 联系 起来. 圆半径为 1,设弧长 x 所对的圆心角为α,则α=

x,如图所示,cos x

α
2

=1-t,即 cos

x
2

=1-t,则 y

=cos x=2cos2 -1=2(1-t)2-1=2(t-1)2-1(0≤t≤1).其图象 2 为开口向上,在[0,1]上的一段抛物线.

2.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( A.- C. 3 5 4 5 4 D. 5 3 B.- 5 )

解析:选 B.取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函 数定义,可得 cos θ=± 5 3 ,故 cos 2θ=2cos2θ-1=- . 5 5
3

2x ,x<0, ? ? 3. (2013?高考福建卷)已知函数 f(x)=? π - tan x , 0 ≤ x < , ? 2 ?
? ?π ?? 则 f?f? ??=________. ? ? 4 ??

解析:分步求函数值,先内后外. ∵

π ?
4
? ?π?

∈?0,

π?
2?

?,

∴f? ?=-tan =-1, 4 ?4? ∴f?f? ??=f(-1)=2?(-1)3=-2. ? ? 4 ?? 答案:-2 4.(2012?高考山东卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单 位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0), 圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,→ OP的坐标为 ________.
? ?π??

π

解析:如图,连 AP,分别过 P,A 作 PC,AB 垂直 x 轴于 C,B 点, ︵ 过 A 作 AD⊥PC 于 D 点.由题意知BP的长为 2. ∵圆半径为 1,∴∠BAP=2,故∠DAP=2- . 2 ∴DP=AP?sin?2-
? ?

π

π?
2?

?=-cos 2, ? ?

∴PC=1-cos 2,DA=APcos?2- ∴OC=2-sin 2. 故→ OP=(2-sin 2,1-cos 2).

π?
2?

?=sin 2,

答案:(2-sin 2,1-cos 2)


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