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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第8讲 函数与方程


第8讲 函数与方程

【2013 年高考会这样考】 1.考查具体函数的零点的取值范围和零点个数. 2.利用函数零点求解参数的取值范围. 3.利用二分法求方程的近似解. 【复习指导】 (1)准确理解函数零点的概念,方程的根、函数与 x 轴的交点, 三者之间的区别与联系,能够实现彼此之间的灵活转化,并能 利用特殊点的函数值,根据零点存在性定理来判断函数零点所 在

的区间;(2)灵活运用函数图象,将函数零点转化为两个函数 图象的交点,注重数形结合思想的应用.

基础梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x), 我们把使 f(x)=0 的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y =f(x)有
零点

的实数 x 叫做函数 y=f(x)



(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 条曲线,并且有

连续

不断的一

f(a)· f(b)<0

,那么,函数y=

(a,b) f(x)在区间

内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=

0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)零点的分布 根的分布(m< n<p为常数) ?Δ>0 ? ? b ?- <m ? 2a ?f?m?>0 ? ?Δ>0 ? ? b ?- >m ? 2a ?f?m?>0 ? 图象 满足条件

x1<x2<m

m<x1<x2

x1<m<x2

f(m)<0

m<x1<x2<n

?Δ>0 ? ?m<- b <n 2a ? ?f?m?>0 ? ?f?n?>0

m<x1<n<x2<p

?f?m?>0 ? ?f?n?<0 ?f?p?>0 ? ?Δ=0 ? ? 或 b ?m<-2a<n ? f(m)· <0 f(n)

只有一根在(m,n)之间

3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且

f(a)· f(b)<0

的函数y= ,

f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 使区间的两个端点逐步逼近 零点 方法叫做二分法.

,进而得到零点近似值的

(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε;②求区间 (a,b)的中点c;③计算f(c); (ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (ⅱ)若f(a)· f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); (ⅲ)若f(c)· f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度ε.即:若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或b);否则重复②③④.

一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值 计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎 么办?精确度上来判断.

两个防范 (1)函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是点. (2)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并 且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)· f(b)<0,满足这些条 件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图, f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两 个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要.

三种方法 函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几 个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是 连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性 质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的 个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零 点.

双基自测 1.(2011· 福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实 数根,则实数m的取值范围是( A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 ).

Δ>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2,故选C. 答案 C

2.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点( A.至少有一个 C.有且只有一个 答案 B B.至多有一个 D.可能有无数个

).

3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求 图中交点横坐标的是( ).

A.①② 答案 B

B.①③

C.①④

D.③④

4.(2011· 新课标全国)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零 点所在的区间为(
? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ?

).
? 1? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

解析

?1? ?1? 1 1 1 1 1 ? ? =e +4× -3=e -2<0,f ? ? =e +4× -3 因为f 4 4 4 4 2 2 ? ? ?2?

?1 1? 1 x =e2-1>0,所以f(x)=e +4x-3的零点所在的区间为?4,2?. ? ?

答案 C

5.(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1) 上有零点,则实数a的取值范围是________. 解析 函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上递增.由已知条件

f(0)f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案 (-2,0)

考向一 函数零点与零点个数的判断 【例1】?(2010· 福建)函数f(x)= 为( A.3 [审题视点] ). B.2 C.7 D.0
?x2+2x-3,x≤0 ? ? ?-2+ln x,x>0 ?

的零点个数

函数零点的个数?f(x)=0解的个数?函数图象与x

轴交点的个数.

解析 法一 由f(x)=0得
?x≤0, ? ? 2 ?x +2x-3=0 ? ?x>0, ? 或? ?-2+ln ?

x=0,

解得x=-3,或x=e2.

因此函数f(x)共有两个零点. 法二 函数f(x)的 图象如图所示可观 察函数f(x)共有两个零点. 答案 B

对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考 虑:(1)结合函数图象;(2)根据零点存在定理求某些点的函数 值;(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等.

【训练1】 函数f(x)=log3x+x-3的零点一定在区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

).

解析 法一 函数f(x)=log3x+x-3的定义域为(0,+∞),并 且在(0,+∞)上递增连续,又f(2)=log32-1<0,f(3)=1> 0,∴函数f(x)=log3x+x-3有唯一的零点且零点在区间(2,3) 内.

法二

方程log3x+x-3=0可化为log3x=3-x,在同一坐标系

中作出y=log3x和y=3-x的图象如图所示,可观察判断出两图 象交点横坐标在区间(2,3)内.

答案

C

考向二 有关二次函数的零点问题 【例2】?是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a -1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若 存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由. [审题视点] 验. 可用零点定理去判断,注意对函数端点值的检

解 ∵Δ=(3a-2) -4(a-1)=9a

2

2

? 8?2 8 -16a+8=9?a-9? +9>0 ? ?

∴若实数a满足条件,则只需f(-1)· f(3)≤0即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 1 所以a≤-5或a≥1. 检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.

1 13 6 2 (2)当f(3)=0时,a=- ,此时f(x)=x - x- . 5 5 5 13 6 令f(x)=0,即x - x- =0, 5 5
2

2 解之得x=-5或x=3. 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-5. 1 综上所述,a<-5或a>1.

解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程 的求根公式;(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间 的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组.

【训练2】 关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0,当a为何 实数时 (1)有两不同正根; (2)不同两根在(1,3)之间; (3)有一根大于2,另一根小于2; (4)在(1,3)内有且只有一解 解 设f(x)=x2-2ax+a+2,

Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1). ?Δ> 0, ? (1)由已知条件?x1+x2=2a>0, ?x · =a+2>0, ? 1 x2

解得a>2.

?Δ>0, ? ?1<a<3, (2)由已知条件? ?f?1?>0, ?f?3?>0, ?

11 解得2<a< 5 .

(3)由已知条件f(2)<0,解得a>2. 11 (4)由已知条件f(1)f(3)<0解得 <a<3. 5

11 7 检验:当f(3)=0,a= 5 时,方程的两解为x=5,x=3, 当f(1)=0,即a=3时,方程的两解为x=1,x=5,
?Δ=0, ? 11 可知 ≤a<3.当? ?a=2. 5 ?1<a<3 ?

即a=2时f(x)=x2-4x+4=(x-2)2方程的解x1=x2=2 11 ∴a=2,综上有a=2或 5 ≤a<3.

考向三 函数零点性质的应用 e2 【例3】?已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+ (x>0,其 x 中e表示自然对数的底数). (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围; (2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 分析:(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解. [审题视点] 画出函数图象,利用数形结合法求函数范围.

解 (1)法一

e2 ∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x

等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点. e2 法二 作出g(x)=x+ x 的图象如图: 可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.

法三

解方程由g(x)=m,

得x2-mx+e2=0. ?m ? >0 此方程有大于零的根,故? 2 ?Δ=m2-4e2≥0 ?
?m>0 ? 等价于? ?m≥2e或m≤-2e ?

,故m≥2e.

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x) e2 与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+ (x>0)的图 x 象. ∵f(x)=-x2+2ex+t-1 =-(x-e)2+t-1+e2. 其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2. 故当t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交 点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴t的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程, 但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解, 使得问题简单明了,这也体现了,当不是求零点,而是利用零 点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形结合法求 解.

【训练3】 已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有 一个零点. (1)求实数a的取值范围; 32 (2)若a= ,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根. 17 解 (1)若a=0,则f(x)=-4与题意不符,∴a≠0,

∴f(-1)· f(1)=8(a-1)(a-2)<0,∴1<a<2.

32 32 3 64 28 (2)若a= ,则f(x)= x - x+ , 17 17 17 17 28 ∴f(-1)>0,f(1)<0,f(0)= >0, 17
?1? ∴零点在(0,1)上,又f?2?=0, ? ?

1 ∴f(x)=0的根为2.

难点突破6——如何利用图象求解函数零点问题
数形结合是重要的思想方法之一,也是高考考查的热点问题, 利用函数图象判断方程是否有解,有多少个解是常见常考的题 型,数形结合法是求函数零点个数的有效方法,其基本思路是 把函数分成两个函数的差,分析的基本思想是分析后的函数图 象比较容易做出,则函数零点个数就是两函数图象交点的个 数.

一、判定函数零点的个数 【示例】? (2011· 陕西)函数f(x)= x-cos x在[0,+∞)内 ( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 ).

二、判断零点的范围 【示例】? (2011· 山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且

a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n ∈N*,则n=________.

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