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研究性学习18 三角函数若干应用问题的研究


2013 届高三理科数学研究性学习(18) 专题:三角函数若干应用问题的研究
(1)摩天轮问题

(3)求证:不论 t 为何值, f (t ) ? f (t ? 1) ? f (t ? 2) 是定值.

(2)以角参数为变量的三角函数应用题 ① 最佳视角问题

6.如图:已知树顶 A 离地面 在离地面

21 2

米,树上另一点 B 离地面

11 2

米,某人

3 2

米的 C 处看此树,则该人离此树
1

米时,看 A、
第 6 题图

B 的视角最大.6

② 矩形面积的最大问题

变式 1:

变式 2:如图,某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 ABC, 该曲线段为函数 y= A sin(? x ? ? ) (A>0, ? >0,

?
2

< ? < ? ),x∈ [-3,0]的图象,且图

象的最高点为 B(-1, 3 2 );赛道的中间部分为 3 千米的水平跑到 CD;赛道的后一部 分为以 O 圆心的一段圆弧 DE . (1)求 ? , ? 的值和∠ DOE 的值; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”,如图所示,矩形的一边在 道路 AE 上,一个顶点在扇形半径 OD 上.记∠ POE= ? ,求当“矩形草坪”的面积最大时 ? 的值.

已知扇形的圆心角为 2α(定值), 半径为 R(定值),
2

1 分别按图 1、图 2 作扇形的内接矩形,若按图 1 作出的矩形的面积的最大值为2 R2tan α,则按图 2 作出的矩形的面积的最大值为________.

α 答案 R2tan2
进一步思考:在这个扇形内作扇形的内接矩形草坪还可以怎么建?其最大值是多少? 并试着比较哪种建立方法面积更大?

变式 3:

变式 4:

3

变式 5:如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M、N 分别在 BC、CD 上,使得△CMN 的周 长为 2.(1)求∠MAN 的大小; (2)求△AMN 面积的最小值,并确定此时 M,N 两点的 位置.
D N C

M

A

B

(3)航行问题 如图, AB 是沿太湖南北方向道路, P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场, PQ=5.2 km. 某 旅游团游览完岛屿后,乘游船回停车场 Q,已知游船以 13 km/h 的速度沿方位角 Q 的方向 行驶, sin Q ?

5 .游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲 13

为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合,决定立即租用小船先到达湖滨大道 M 处,然后 乘出租汽车到点 Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车) .假设游客甲乘小船行 驶的方向是方位角 ? ,出租汽车的速度为 66km/h. (1)设 sin ? ?

5 ,问小船的速度为多少 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达点 Q; 13
4

(2)设小船速度为 10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角 ? ,当角 ? 余弦值的大

小是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q.

5


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