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(学生版)第1章 集合


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第一章 集 合
一、知识网络
集合的概念 列举法 集合的表示法 集合 特征性质描述法 真子集 包含关系 集合与集合的关系 交集 集合的运算 并集 补集 子集 相等

二、课标要求
1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (

2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言 的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用

三、基础知识精析
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素,记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种 情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应 重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关。 (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{ }内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在 竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较 多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集),记作 N;正整数集,记作 N*或 N+;整数集,记作 Z;有理数集,记作 Q;实数集,记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A),记作 A ? B(或

A ? B );

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(2)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若 A ? B 且 B ? A,则称 A 等于 B,记作 A=B;若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B; (3)简单性质:1)A ? A; 2) ? ? A; 3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C; 4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集); 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A}称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= ? , C S ? =S. 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集。交集

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A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。
(2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。

并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 。
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是 “且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 5.集合的简单性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B), C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B)。

四、题型分类与方法总结
题型 1。集合中元素的性质 集合中元素的性质有确定性、互异性和无序性。 例 1.(湖北高考)设 P、Q 为两个非空数集,定义集合 P ? Q ? a ? b a ? P, b ? Q ,若 P ? ?0, 2,5? ,

?

?

Q ? ?1,2,6? ,则 P+Q 中元素的个数是( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

变式训练 1. 已知集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? , B ? ( x, y ) x ? A, y ? A, x ? y ? A ;则 B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

?

?

题型 2。元素与集合的关系 判断一个元素是否属于一个集合,就是看该元素是否有这个集合的特征性质。 例 2.集合 P ? x x ? 2k , k ? Z , Q ? x x ? 2k ? 1, k ? Z , R ? x x ? 4k ? 1, k ? Z , a ? P ,b ?Q ,则 有( ) A. a ? b ? P B. a ? b ? Q C. a ? b ? R D. a+b 不属于 P、Q、R 中任意一个

?

?

?

?

?

?

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变式训练 2. 设 x ? R ,集合 A 中含有三个元素 3,x, x ? 2 x . (1)求元素 x 应满足的条件;(2)若 ?2 ? A ,求实数 x.
2

变式训练 3. 写出方程 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解组成的集合.

题型 3。集合与集合的关系 当用描述法表示集合时,集合的关系不易看出。这时要分析各集合元素间的关系看是否有一个集合的所 有元素都属于另一个集合,从而确定集合之间是否有包含关系。 例 3. 已知集合 M ? ? x x ? m ?

? ?

1 ? ? n 1 ? ? p 1 ? , m ? Z ? , N ? ?x x ? ? , n ? Z ? , P ? ?x x ? ? , p ? Z ? , 6 2 3 2 6 ? ? ? ? ?
C. M ? N ? P D. N ? P ? M

则 M、N、P 满足的关系是( ) A. M ? N ? P B. M ? N ? P

变式训练 4. 已知集合 M ? x x ? 1 ? a , a ? N
2

?

?

? , P ? ?x x ? a

2

? 4a ? 5, a ? N ? ,试判断 M 与 P 的

?

关系.

题型 4。集合的运算 例 4. 若集合 A ? x 2 x ? 1 ? 3 ,集合 B ? ? x A. ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3?

?

?

? 2x ? 1 ? ? 0? ,则 A ? B 是( ) ? 3? x ?

? ?

1 2

? ?

B. x 2 ? x ? 3

?

?

C. ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 2? 2 ?

D. ? x -1 ? x ? ? ?

? ?

1? 2?

2 变式训练 5. 设集合 A ? {x 1 ? x ? 4} ,集合 B ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? (CR B) =( )

A. (1, 4)

B. (3, 4)

C. (1,3)

D. (1, 2) ? (3, 4)

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变式训练 6. 已知 A,B 均为集合 U ? {1,3,5,7,9} 的子集,且 A ? B ? {3} ,(CR B) ? A ? {9} ,则 A=( ) A. {1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D. {3,9}

题型 5。集合相等问题 两个集合相等就是它们所含的元素都相同。当集合中的元素用字母给出时,相同元素有不同的对应方 式,要分类讨论,同时还要注意同一集合中元素的互异性。 例 5. 设集合 A ? {1, a, b}, B ? {a, a 2, ab} ,且 A=B,求 a
2008

? b2009 的值。

变式训练 7. 已知集合 A ? {a, a ? b, a ? 2b}, B ? {a, ac, ac2} ,若 A=B,求 c 的值。

变式训练 8. 设集合 A ? {x, y}, B ? {0, x2} ,若 A=B,求实数 x,y 的值。

题型 6。根据集合间的关系和集合的运算求参数 例 6. 已知 A ? {x 2a ? x ? a ? 3}, B ? {x x ? ?1 or x ? 5} ,若 A ? B ? ? 。求 a 的取值范围。

2 2 例 7. 设集合 A ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0, x ? R}, B ? {x x ? 4 x ? a ? 0, x ? R} ,若 A ? B ? A ,求实数 a

的取值范围。

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2 例 8. 非空集合 A ? {x ?2 ? x ? a}, B ? { y y ? 2 x ? 3, x ? A}, C ? {z z ? x , x ? A} 且 C ? B ,求实数

a 的取值范围。

变式训练 9. 集合 A ? {0,2, a}, B ? {1, a 2} ,若 A ? B ? {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

变式训练 10. 已知集合 A ? {x ? R x ? 2 ? 3}, B ? {x ? R ( x ? m)( x ? 2) ? 0} ,若 A ? B ? (?1, n) , 则 m=

,n=



变式训练 11. 设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? ?0,

? b ? , b ? ,则 b-a= ? a ?



2 变式训练 12. 已知 A ? {x 10 ? 3 x ? x ? 0}, B ? { x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} .

(1)求当 A ? B ? ? 时,m 的范围; (2)求当 B ? A 时,m 的范围。

2 变式训练 13. 已知集合 A ? {x x ? x ? 6 ? 0}, B ? {x mx ? 1 ? 0} ,且 B 是 A 的真子集,求 m 的范围。

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五、直击高考
1.(2014 全国 2)设集合 M={0,1,2},N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( )

A.{1}

B. {2}

C.{0,1}

D.{1,2}

2 2.(2013 全国 2)已知集合 M= {x ( x ? 1) ? 4, x ? R} ,N={-1,0,1,2,3},则 M ? N =( )

A.{0,1,2}

B. {-1,0,1,2}

C.{-1,0,2,3}

D.{ 0,1,2,3}

3.(2012 全国 1) 已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素的 个数为( )

( A) 3

(B) 6

(C ) ?

( D) ??

4.(2012 全国 2)已知集合 A={1,3, m },B ={1,m},A∪B =A,则 m =

(A) 0 或 3

(B) 0 或 3

(C) 1 或 3

(D) 1 或 3

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