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2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)


2013 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置 上。 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ? 【答案】π 2π 2π 【解析】T=| ω |=| 2 |=π. 2.设 z ? (2 ? i) 2 ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为 【答案】5 【解析】z=3-4i

,i2=-1,| z |= =5. .

?
4

) 的最小正周期为



3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9
3 x 4



【答案】 y ? ?

x2 y2 9x 2 3 ? ? 0 ,得 y ? ? 【解析】令: ? ? x. 16 9 16 4
4.集合 {?1,0,1} 共有 个子集.

【答案】8 【解析】23=8. 5.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 . 【答案】3 【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4. 6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 甲 乙 第一次 87 89 第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 第五次 93 92 .

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为: x ? 方差为: S ?
2

89 ? 90 ? 91 ? 88 ? 92 ? 90 . 5

(89 ? 90) 2 ? (90 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (88 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? 2. 5

7.现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取,则 m,n 都取到奇数的概率为 .

-1-

【答案】

20 63 4 ? 5 20 ? . 7 ? 9 63

【解析】m 取到奇数的有 1,3,5,7 共 4 种情况;n 取到奇数的有 1,3,5,7,9 共 5 种情 况,则 m,n 都取到奇数的概率为

8.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA 1 的中点,设三棱锥

F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ?
【答案】1:24 【解析】 三棱锥 F ? ADE 与三棱锥 A1 ? ABC 的相似比为 故体积之比为 1:8. 又因三棱锥 A1 ? ABC 与三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积之 1:3.所以,三棱锥 F ? ADE 与三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的 之比为 1:24. 9.抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形



C1 B1
1:2,

A1
F E A D
区域 比为

C
B
体积

为 D (包含三角形内部和边界) . 若点 P( x, y) 是区域 D 内的任意一点, 则 x ? 2 y 的取值范 围是 .

1 【答案】[—2,2 ] 1 z 2 【解析】抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线易得为 y=2x—1,令 z= x ? 2 y ,y=—2 x+2 . 1 1 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(2 ,0)时,zmax=2 . y y=2x—1 O x 1 y=—2 x 10.设 D,E 分别是 ?ABC 的边 AB,BC 上的点, AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 2 3


若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数) ,则 ?1 ? ?2 的值为 1 【答案】2

-2-

【解析】 DE ? DB ? BE ?

1 2 1 2 AB ? BC ? AB ? ( BA ? AC ) 2 3 2 3 1 2 ? ? AB ? AC ? ?1 AB ? ?2 AC 6 3

所以, ?1 ? ?

1 1 2 , ?2 ? , ?1 ? ?2 ? 2 . 6 3

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的 解集用区间表示为 【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞) .

【解析】做出 f ( x) ? x2 ? 4 x ( x ? 0 )的图像,如下图所示。由于 f ( x) 是定义在 R 上的奇函 数,利用奇函数图像关于原点对称做出 x<0 的图像。不等式 f ( x) ? x ,表示函数 y= f ( x) 的 图像在 y=x 的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。 y P(5,5) y=x y=x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5)

12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 a 2 b2

F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离
为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为 【答案】 .

3 3

y B

l a

【解析】如图,l:x=

a2 a2 b2 ,d 2 = -c= , c c c

b O c

F

x

b2 bc 由等面积得: d1 = 。若 d 2 ? 6d1 ,则 a c
= 6

bc 2 2 a2 , , 整理得: 6a ? ab ? 6b ? 0 , 两边同除以: 得: a

?b? ?b? 6? ? ? ? ? ? 6 ? 0 , ?a? ?a?

2

-3-

3 b 6 ?b? 解之得: = ,所以,离心率为: e ? 1 ? ? ? ? . a 3 3 ?a?
13.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ?

2

1 ( x ? 0 )图象上一动点, x


若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 【答案】1 或 10 【解析】 14.在正项等比数列 {an } 中, a5 ? 最大正整数 n 的值为 【答案】12

1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的 2


1 ? ? a1 q 4 ? 【解析】设正项等比数列 {an } 首项为 a1,公比为 q,则: ? 2 ? a q ( 1 ? q ) ?3 ? 1 5
q=2,an=2
6-n

1 ,得:a1=32 ,

2n ? 1 .记 Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? , ? n ? a1a2 ?an ? 2 25
1

( n ?1) n 2

. Tn ? ? n ,



2n ? 1 ?2 25

( n ?1) n 2

, 化 简 得 : 2 ?1 ? 2 2
n

n2 ?

11 n ?5 2

, 当 n?

1 2 11 n ? n?5 时 , 2 2

n?

13 ? 121 ? 12 .当 n=12 时, T12 ? ?12 ,当 n=13 时, T13 ? ?13 ,故 nmax=12. 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |?

2 ,求证: a ? b ;

(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 解: (1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ), |a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2, 所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0, 所以, a ? b . (2) ?

? cos? ? cos ? ? 0 ?sin ? ? sin ? ? 1

① 1 ,①2+②2 得:cos(α-β)=-2 . ②
-4-

所以,α-β=

2 2 ? ,α= ? +β, 3 3
1 2 ? 3 ? +β)+sinβ= cosβ+2 sinβ=sin( +β)=1, 3 3 2

带入②得:sin( 所以,

? ? +β= . 3 2 5? ? 所以,α= ,β= . 6 6
16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; S (2) BC ? SA . 证: (1)因为 SA=AB 且 AF⊥SB, G E 所以 F 为 SB 的中点. F 又 E,G 分别为 SA,SC 的中点, C A 所以,EF∥AB,EG∥AC. 又 AB∩AC=A,AB ? 面 SBC,AC ? 面 ABC, 所以,平面 EFG // 平面 ABC . B (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=BC, AF ? 平面 ASB,AF⊥SB. 所以,AF⊥平面 SBC. 又 BC ? 平面 SBC, 所以,AF⊥BC. 又 AB⊥BC,AF∩AB=A, 所以,BC⊥平面 SAB. 又 SA ? 平面 SAB, 所以, BC ? SA . 17. (本小题满分 14 分) y 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 . l A 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线, 求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围. 解: (1)联立: ? O x

? y ? x ?1 ,得圆心为:C(3,2). ? y ? 2x ? 4

设切线为: y ? kx ? 3 ,

-5-

d=

| 3k ? 3 ? 2 | 1? k
2

3 ? r ? 1 ,得: k ? 0 or k ? ? . 4
or 3 y ? ? x?3. 4

故所求切线为: y ? 0

2 2 2 2 (2)设点 M(x,y),由 MA ? 2 MO ,知: x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y ,

化简得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 , 即:点 M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D. 又因为点 M 在圆 C 上,故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切. 故:1≤|CD|≤3,其中 CD ? 12 解之得:0≤a≤ 5 . 18. (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行 到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的 速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内? 解: (1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, B AB=52k,由 AC=63k=1260m, D 知:AB=52k=1040m. C (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M,

a 2 ? (2a ? 3) 2 .

12 3 , cos C ? . 13 5

M N

A

此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x=37 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: 50 = 5 (min). 126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: 5 +3= 5 (min),在 BC 上用时: 5 (min) . 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ 5 = 43 m/min. 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: 5 -3= 5 (min),在 BC 上用时: 5 (min) .

-6-

56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ 5 = 14 m/min. 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ 43 , 14 ]范围内. 19. (本小题满分 16 分) 设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和.记 bn ?

nS n , n2 ? c

n ? N * ,其中 c 为实数.
(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ) ; (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 . 证: (1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ?
2

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,

d? 3d ? ? ? 2 即: ? a ? ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ? ?
由此: S n ? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N ) .
*

2

(n ? 1)d ? 2a nS 2 (2) bn ? 2 n ? , 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? 2 n ?c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 n2 ? c n2
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 c ? 0 故有: ,即 ,而 ≠0, ? 0 2 2 n2 ? c 故c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列. 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e ? ax,其中 a 为实数.
x

-7-

(1)若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论. 解: (1) f ?( x ) ?

1 1 ? a ≤0 在 (1,??) 上恒成立,则 a ≥ , x x

x ? (1,? ?) .

故: a ≥1.

g ?( x) ? e x ? a ,
若 1≤ a ≤e,则 g ?( x) ? e x ? a ≥0 在 (1,??) 上恒成立, 此时, g ( x) ? e x ? ax 在 (1,??) 上是单调增函数,无最小值,不合; 若 a >e,则 g ( x) ? e x ? ax 在 (1 ,ln a) 上是单调减函数,在 (ln a,? ?) 上是单调增 函数, g min ( x) ? g (lna) ,满足. 故 a 的取值范围为: a >e. (2) g ?( x) ? e x ? a ≥0 在 (?1,??) 上恒成立,则 a ≤ex, 1 故: a ≤e .

f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? x x

( x ? 0) .

1 1 (ⅰ)若 0< a ≤e ,令 f ?( x) >0 得增区间为(0,a ); 1 令 f ?( x) <0 得减区间为(a ,﹢∞). 当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹣∞; 1 1 1 当 x=a 时,f(a )=﹣lna-1≥0,当且仅当 a =e 时取等号. 1 1 故:当 a =e 时,f(x)有 1 个零点;当 0< a <e 时,f(x)有 2 个零点. (ⅱ)若 a=0,则 f(x)=﹣lnx,易得 f(x)有 1 个零点. (ⅲ)若 a<0,则 f ?( x ) ?

1 ? a ? 0 在 (0,? ?) 上恒成立, x

即: f ( x) ? ln x ? ax 在 (0,? ?) 上是单调增函数, 当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹢∞. 此时,f(x)有 1 个零点. 1 1 综上所述:当 a =e 或 a<0 时,f(x)有 1 个零点;当 0< a <e 时,f(x)有 2 个零点.

-8-


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