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高三一轮复习(天天练6)


高三一轮复习 ?基础训练(6)
1.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 A.第一象限
2

华侨城中学 2013 年 11 月 29 日

z1 在复平面内对应的点在 z2
C.第三象限 D.第四象限





B.第

二象限

2.已知集合 M ? {x | x ? 9}, N ? {x ? z | ?3 ? x ? 3} ,则 M ? N ? A. ? B. {?3} C. {?3,3} D. {?3, ?2, 0,1, 2}





1? , b ? ? x, ? 2 ? ,若 a ∥ b ,则 a + b 等于 3.已知向量 a ? ? 2 ,
A. ? ?2, ?1? B. ? 2,1? C. ? 3, ?1? D. ? ?3,1?





4.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? 8 , S 3 ? 6 ,则 S10 ? S 7 的值是 A.24 B.48 C.60 D.72





5. 运行如图的程序框图,输出的结果是

2 1





A. 510

B. 1022

C. 254

D. 256

第7题图 2
( )

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 6.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ?y ? 0 ?
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7.若某几何体的三视图如图所示,则几何体的体积是 A.

( D.2



1 3
3

B.
2

2 3

C.1

8.对于函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 的极值情况,4 位同学有下列说法:甲:该函数必有 2 个极值;乙:该 函数的极大值必大于 1; 丙: 该函数的极小值必小于 1; 丁: 方程 f ( x) ? 0 一定有三个不等的实数根。 这 四种说法中, 正确的个数是 A.1 个 ⒐ B.2 个 . . C. 3 个 D. 4 个 ( )

?

1 ?1

(e x ? 2 x) dx ?
2

10. ( x ?

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x

11.已知双曲线 C 的一个焦点为 F,过 F 且垂直于实轴的直线被双曲线 C 截得的弦长等于双曲线 C 的焦距, 则双曲线 C 的离心率为________. 12.若 x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? y ?

1 1 1 ,则 ? 的最小值是 x y 3



13.

已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d ( b, c, d 为常数) ,当 m ? (??,1) ? (5, ??) 时,方程 f ( x) ? m ? 0
3 2

有且只有一个实数解; m ? (1,5) 时,方程 f ( x) ? m 有三个不同的实数解。现给出下列命题: ① 函数 f ( x) 有两个极值点;② 方程 f ( x) ? 5和f ?( x) ? 0 有一个相同的实根; ③方程 f ( x) ? 4 ? 0 的任一实根都小于方程 f ( x) ? 4 ? 0 的任一实根; ④ 函数 f ( x) 的最大值是 5,最小值是 1。其中正确命题的序号是 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系下,已知直线 l 的方程为 ? cos( ?? 的距离为__________. 15. (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆, 过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D , CD ? 2 7 ,

?
3

)?

1 ? ,则点 M (1, ) 到直线 l 2 2

C D O B A

AB ? BC ? 3 ,则 AC ?
16.(本小题满分 12 分)



已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

1 2

(2) 已知 ?ABC 内角 A 、B 、 C 的 对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C )? 0, 若向量 m ? (1,sin A) 与

??

? n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

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17. (本小题满分 14 分)

华侨城中学 2013 年 11 月 29 日

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA ? PD ,PA ? 平面 PDC , E 为棱 PD 的中点. (Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

18. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?是首项 a1 ? 1 ,公差大于0的等差数列,其前n项和为 S n ,数列 {bn } 是首项 b1 ? 2 的等 比数列,且 b2 S2 ? 16 , b3 S3 ? 72 . (1) 求 an 和 bn ; (2) 令 c1 ? 1 , c2 k ? a2 k ?1 , c2 k ?1 ? a2 k ? kbk ( k ? 1,2,3,? ? ? ) ,求数列 ?cn ? 的前 2n ? 1 项和 T2 n ?1 .

19. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P(1, ) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 2 a b 2

M

y

e?

????? ???? ? a2 1 , M , N 是直线 x ? 上的两个动点,且 F1M ? F2 N ? 0 . 2 c
F1 O F2

(1)求椭圆的方程; (2)求 MN 的最小值; (3)以 MN 为直径的圆 C 是否过定点?请证明你的结论.

x

N

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x , ( x ? 1) x
k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

(1)试判断函数 f ( x) 的单调性,并说明理由; (2)若 f ( x) ? (3)求证: [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e
2 n?2

, (n ? N ? ) .

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华侨城中学 2013 年 11 月 29 日

9. e ? e

?1

10. ?

21 2

1+ 5 11. 2

12. 9 ? 6 2

13.①②③

14.

3 ?1 2

15.

3 7 2
1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 ??????? 3分 ??????? 5分

16 .(1) f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? ? sin(2 x ?

) ?1 6 ? f ( x)的最小值为 ? 2, 最小正周期为为? . (2)由f (C ) ? sin(2C ? ?0 ? C ? ?, ?

?

?
6

) ?1 ? 0

即 sin(2C ?

?
6

) ?1

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? ? ? ? , ? 2C ? ? ,? C ? ?? 7分 6 6 2 3

? m与n共线, ? sin B ? 2 sin A ? 0.......... .......... .......... .....( 8分)
a b 由正弦定理: ? , sinA sin B
2

得b ? 2a, ①……………………9 分
2

又 c=3,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

?
3

,

②……………………10 分

解方程组①②,得 ?

?a? 3 ?b ? 2 3

……………………12 分

17.(Ⅰ)证明:连接 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 EO . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点. 所以 PB // EO . ………………3 分
x A z P E D O B y C

因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以直线 PB //平面 EAC . ………………4 分 (Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD .

………………5 分

………………7 分 ………………8 分

(Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD . 因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD . 由 Dz, DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . ………9 分 设 AB ? 4 ,则 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C(0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ? ?n ? EA ? 0, 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ?n ? AC ? 0.
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) .

? 3x ? z ? 0,

………………11 分

………………12 分

〈n, v〉 |? 所以 | cos

| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

………………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

………………14 分
z P E
M

解法二:取 AD 中点 M , BC 中点 N ,连结 PM , MN . 因为 ABCD 为正方形,所以 MN // CD .
x

D O
N

C y

A

B

高三一轮复习 ?基础训练(6)
由(Ⅱ)可得 MN ? 平面 PAD . 因为 PA ? PD ,所以 PM ? AD . 由 MP, MA, MN 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系 M ? xyz . ………………9 分

华侨城中学 2013 年 11 月 29 日

设 AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ? n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ?n ? AC ? 0.
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) .

? 3x ? z ? 0,

………………11 分

………………12 分

〈n, v〉 |? 所以 | cos

| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

………………14 分

18.解:(1)设数列 ?a n ? 的公差为 d ( d ? 0 )数列 {bn } 的公比为 q , 则 an ? 1 ? (n ? 1)d ,

bn ? 2q n?1 .------------------1 分
2

依题意得 b2 S2 ? 2q(2 ? d ) ? 16 , b3 S3 ? 2q (3 ? 3d ) ? 72 由此得 ?

? q (2 ? d ) ? 8 ? q (1 ? d ) ? 12
2
n

∵ d ? 0 ,解得 ?

?d ? 2 .----------------------5 分 ?q ? 2

∴ an ? 2n ? 1 , bn ? 2 .----------------------------------------------6 分 (2) ∵ T2 n ?1 ? c1 ? a1 ? (a2 ? b1 ) ? a3 ? ? a4 ? 2 ? b2 ? ? ??? ? a2 n ?1 ? (a2 n ? nbn ) = 1 ? S2 n ? (b1 ? 2b2 ? ??? ? nbn ) ---------------------------------------9 分 令 A ? b1 ? 2b2 ? ? ? nbn 则 A ? 2 ? 2 ? 2 ??? n ? 2
2 n

2 A ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1)2n ? n ? 2n ?1

? A ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ,∴ A ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 -----------------12 分
又 S2 n ?

2n(1 ? a2 n ) ? 4n 2 , 2
2 n ?1

∴ T2 n ?1 ? 1 ? 4n ? n ? 2

? 2n ?1 ? 2 ? 3 ? 4n2 ? (n ? 1)2n ?1 .-------------------14 分
M

19.解: (1)? e ?

c 1 3 ? ,且过点 P(1, ) , a 2 2

y

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? ? ? a ? 2, O F1 解得 ? ? ? a ? 2c , ? ?b ? 3, ? a 2 ? b2 ? c2 , ? ? x2 y 2 ………4 分 ?1 ?椭圆方程为 ? 4 3 ????? ???? ? ????? ???? ? (2) 设点 M (4, y1 ), N (4, y2 ) 则 F1M ? (5, y1 ), F2 N ? (3, y2 ), F1M ? F2 N ? 15 ? y1 y2 ? 0 ,

F2

x

N

15 15 + y1 ≥ 2 15 ? MN min= 2 15 .……9 分 ? y1 y2 ? ?15 ,? MN ? y2 ? y1 ? - ? y1 ? y1 y1

(3) 圆心 C 的坐标为 (4,

y ? y1 y1 ? y2 y ? y2 2 ( y2 ? y1 )2 .圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 1 , ) ? ) ,半径 r ? 2 2 2 4 2

整理得: x 2 ? y 2 ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 16 ? y1 y2 ? 0 . ? y1 y2 ? ?15 ,

? x 2 ? y 2 ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 1 ? 0

………12 分

令 y ? 0 ,得 x2 ? 8x ? 1 ? 0 ,? x ? 4 ? 15 . ?圆 C 过定点 (4 ? 15,0) .………14 分 20. (本小题满分 14 分) 解:(1) f ?( x) ? ? (2)

ln x ? x ? 1 ? ln x ? 0 ? f ' ( x) ? 0 2 x


故 f ( x) 在

递减 …3 分

………5 分

再令 h( x) ? x ? ln x则h ( x) ? 1 ?
'

1 x

? x ? 1则h ' ( x) ? 0
故 在

在 上也单调递增

上递增。

,从而

………8 分

高三一轮复习 ?基础训练(6)
(3)方法 1: 由(2)知: 恒成立,即

华侨城中学 2013 年 11 月 29 日





………10 分

, 叠加得:



…… 12 分

2 2 2 ln ? ?1? 2 ? 3 ?? ? n (n ? 1) ? ? ? n ? 2(

1 1 1 ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

? n ? 2(1 ?

1 1 ) ? n?2? ? n?2 n ?1 n?2

?1 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 (n ? 1) ? e n?2
…… 14 分 方法 2:用数学归纳法证明(略)。


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