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第一讲


第一讲 全等三角形的提高拓展训练讲义(讲义)
一、基础知识精讲
1、全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应 角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.

(3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角), 一对最短边(或最小角) 是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 2、全等三角形的判定方法: (1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 3、全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过 程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点: 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段 或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.

二、典型例题精讲
板块一、截长补短 【例1】 ( 06 年北京中考题)已知 ?ABC 中,?A ? 60? , BD 、CE 分别平分 ?ABC 和 .?ACB , BD 、CE
交于点 O ,试判断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系,并加以证明.
A A

E

O

D

E 1

O 4 2 3 F

D

B

C

B

C

【解析】 BE ? CD ? BC , 理由是:在 BC 上截取 BF ? BE ,连结 OF , 利用 SAS 证得 ?BEO ≌ ?BFO ,∴ ?1 ? ?2 , 1 ∵ ?A ? 60? ,∴ ?BOC ? 90? ? ?A ? 120? ,∴ ?DOE ? 120? , 2 ? ∴ ?A ? ?DOE ? 180 ,∴ ?AEO ? ?ADO ? 180? ,∴ ?1 ? ?3 ? 180? , ∵ ?2 ? ?4 ? 180? ,∴ ?1 ? ?2 ,∴ ?3 ? ?4 , 利用 AAS 证得 ?CDO ≌ ?CFO ,∴ CD ? CF ,∴ BC ? BF ? CF ? BE ? CD .

【例2】 如图,点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点 B 除外),作 ?DMN ? 60? , 射线 MN 与 ∠DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与 MN 有怎样的数量关系?
1

D G

D

N

N

A

M

B

E

A

M

B

E

【解析】 猜测 DM ? MN .过点 M 作 MG ∥ BD 交 AD 于点 G , AG ? AM ,∴ GD ? MB 又∵ ∠ADM ? ?DMA ? 120? , ∠DMA ? ∠NMB ? 120? ∴ ∠ADM ? ∠NMB ,而 ∠DGM ? ∠MBN ? 120? , ∴ ?DGM ≌ ?MBN ,∴ DM ? MN . 【变式拓展训练】如图,点 M 为正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点, MN ? DM 且与 ∠ABC 外角的平 分线交于点 N , MD 与 MN 有怎样的数量关系?
D C D C

N

N

A

M

B

E

A

M

B

E

【解析】 猜测 DM ? MN .在 AD 上截取 AG ? AM , ∴ DG ? MB ,∴ ∠AGM ? 45? ∴ ∠DGM ? ∠MBN ? 135? ,∴ ∠ADM ? ∠NMB , ∴ ?DGM ≌ ?MBN ,∴ DM ? MN . 【例3】 已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.
A D

A

D

F B C

F C

E

M

B

E

【解析】 延长 CB 至 M,使得 BM=DF,连接 AM. ∵AB=AD,AD⊥CD,AB⊥BM,BM=DF ∴△ABM≌△ADF ∴∠AFD=∠AMB,∠DAF=∠BAM ∵AB∥CD ∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM ∴∠AMB=∠EAM ∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.

【例4】 以 ?ABC 的 AB 、 AC 为边向三角形外作等边 ?ABD 、 ?ACE ,连结 CD 、 BE 相交于点 O .求 证: OA 平分 ?DOE .

2

D

A

E

D F

A

E

O B C B

O C

【解析】 因为 ?ABD 、 ?ACE 是等边三角形,所以 AB ? AD , AE ? AC , ?CAE ? ?BAD ? 60? , 则 ?BAE ? ?DAC ,所以 ?BAE ≌ ?DAC , 则有 ?ABE ? ?ADC , ?AEB ? ?ACD , BE ? DC . 在 DC 上截取 DF ? BO ,连结 AF ,容易证得 ?ADF ≌ ?ABO , ?ACF ≌ ?AEO . 进而由 AF ? AO .得 ?AFO ? ?AOF ; 由 ?AOE ? ?AFO 可得 ?AOF ? ?AOE ,即 OA 平分 ?DOE . 【例5】 (北京市、 天津市数学竞赛试题)如图所示, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, ?BDC 是顶角为 120? 的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60? 的 ?MDN ,点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上,求 ?AMN 的周长.
A

A

N M B D C

N M B D C E

【解析】 如图所示,延长 AC 到 E 使 CE ? BM . 在 ?BDM 与 ?CDE 中,因为 BD ? CD , ?MBD ? ?ECD ? 90? , BM ? CE , 所以 ?BDM ≌ ?CDE ,故 MD ? ED . 因为 ?BDC ? 120? , ?MDN ? 60? ,所以 ?BDM ? ?NDC ? 60? . 又因为 ?BDM ? ?CDE ,所以 ?MDN ? ?EDN ? 60? . 在 ?MND 与 ?END 中, DN ? DN , ?MDN ? ?EDN ? 60? , DM ? DE , 所以 ?MND ≌ ?END ,则 NE ? MN ,所以 ?AMN 的周长为 2 . 【例6】 五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180° , 求证:AD 平分∠CDE
A
A F

B

E

B

E

C

D

C

D

【解析】 延长 DE 至 F,使得 EF=BC,连接 AC. ∵∠ABC+∠AED=180°,∠AEF+∠AED=180° ∵AB=AE,BC=EF ∴△ABC≌△AEF ∴EF=BC,AC=AF ∵BC+DE=CD ∴CD=DE+EF=DF ∴△ADC≌△ADF ∴∠ADC=∠ADF

∴∠ABC=∠AEF

3

即 AD 平分∠CDE.

板块二、全等与角度 【例 7】如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 60? , AD 是 ?BAC 的平分线,且 AC ? AB ? BD ,求 ?ABC 的
度数.
A

【解析】 如图所示,延长 AB 至 E 使 BE ? BD ,连接 ED 、 EC . 由 AC ? AB ? BD 知 AE ? AC , 而 ?BAC ? 60? ,则 ?AEC 为等边三角形. 注意到 ?EAD ? ?CAD , AD ? AD , AE ? AC , 故 ?AED ≌ ?ACD . 从而有 DE ? DC , ?DEC ? ?DCE , 故 ?BED ? ?BDE ? ?DCE ? ?DEC ? 2?DEC . 所以 ?DEC ? ?DCE ? 20? , ?ABC ? ?BEC ? ?BCE ? 60? ? 20? ? 80? .

B

D

C

E

【另解】在 AC 上取点 E ,使得 AE ? AB ,则由题意可知 CE ? BD . A 在 ?ABD 和 ?AED 中, AB ? AE , ?BAD ? ?EAD , AD ? AD , 则 ?ABD ≌ ?AED ,从而 BD ? DE , 进而有 DE ? CE , ?ECD ? ?EDC , E ?AED ? ?ECD ? ?EDC ? 2?ECD . 注意到 ?ABD ? ?AED ,则: D B 1 3 ?ABC ? ?ACB ? ?ABC ? ?ABC ? ?ABC ? 180? ? ?BAC ? 120? , 2 2 故 ?ABC ? 80? . 【点评】由已知条件可以想到将折线 ABD “拉直”成 AE ,利用角平分线 AD 可以构造全等三角形.同 样地,将 AC 拆分成两段,之后再利用三角形全等亦可,此思路也是十分自然的. 需要说明的是,无论采取哪种方法,都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法” ,它们是证明等量关系时优先考虑的方法.

C

【例 8】在等腰 ?ABC 中, AB ? AC ,顶角 ?A ? 20? ,在边 AB 上取点 D ,使 AD ? BC ,求 ?BDC .
【解析】 以 AC 为边向 ?ABC 外作正 ?ACE ,连接 DE . 在 ?ABC 和 ?EAD 中, AD ? BC , AB ? EA , ?EAD ? ?BAC ? ?CAE ? 20? ? 60? ? 80? ? ?ABC , 则 ?ABC ≌ ?EAD . 由此可得 ED ? EA ? EC ,所以 ?EDC 是等腰三角形. 由于 ?AED ? ?BAC ? 20? , 则 ?CED ? ?AEC ? ?AED ? 60? ? 20? ? 40? , 从而 ?DCE ? 70? , ?DCA ? ?DCE ? ?ACE ? 70? ? 60? ? 10? , 则 ?BDC ? ?DAC ? ?DCA ? 20? ? 10? ? 30? .
A D E

B

C
E

A

【另解 1】以 AD 为边在 ?ABC 外作等边三角形 ?ADE ,连接 EC . 在 ?ACB 和 ?CAE 中, ?CAE ? 60? ? 20? ? ?ACB , AE ? AD ? CB , AC ? CA , 因此 ?ACB ≌ ?CAE , 从而 ?CAB ? ?ACE , CE ? AB ? AC . 在 ?CAD 和 ?CED 中, AD ? ED , CE ? CA , CD ? CD , 故 ?CAD ≌ ?CED , 从而 ?ACD ? ?ECD , ?CAB ? ?ACE ? 2?ACD , 故 ?ACD ? 10? ,因此 ?BDC ? 30? . 【另解 2】如图所示,以 BC 为边向 ?ABC 内部作等边 ?BCN ,连接 NA 、 ND . 在 ?CDA 和 ?ANC 中, CN ? BC ? AD , ?CAD ? 20? ,
D

D

B

C

A

4
N

B

C

?ACN ? ?ACB ? ?BCN ? 80? ? 60? ? 20? , 故 ?CAD ? ?ACN , 而 AC ? CA ,进而有 ?CDA ≌ ?ANC . 则 ?ACD ? ?CAN ? 10? , 故 ?BDC ? ?DAC ? ?DCA ? 30? . 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形,然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系. 【例 9】 (“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示, 在 ?ABC 中, AC ? BC ,?C ? 20? ,又 M 在 AC 上, N 在 BC 上,且满足 ?BAN ? 50? , ?ABM ? 60? ,求 ?NMB . C 【解析】 过 M 作 AB 的平行线交 BC 于 K ,连接 KA 交 MB 于 P . 连接 PN ,易知 ?APB 、 ?MKP 均为正三角形. 因为 ?BAN ? 50? , AC ? BC , ?C ? 20? , 所以 ?ANB ? 50? , BN ? AB ? BP , ?BPN ? ?BNP ? 80? , 则 ?PKN ? 40? , ?KPN ? 180? ? 60? ? 80? ? 40? , M K 故 PN ? KN . 从而 ?MPN ≌ ?MKN . N P 1 进而有 ?PMN ? ?KMN , ?NMB ? ?KMP ? 30? . 2 【另解】如图所示,在 AC 上取点 D ,使得 ?ABD ? 20? , 由 ?C ? 20? 、 AC ? BC 可知 ?BAC ? 80? . A B 而 ?ABD ? 20? ,故 ?ADB ? 80? , BA ? BD . C 在 ?ABN 中, ?BAN ? 50? , ?ABN ? 80? , 故 ?ANB ? 50? ,从而 BA ? BN ,进而可得 BN ? BD . 而 ?DBN ? ?ABC ? ?ABD ? 80? ? 20? ? 60? , 所以 ?BDN 为等边三角形. M 在 ?ABM 中, ?AMB ? 180? ? ?ABM ? ?BAM ? 180? ? 80? ? 60? ? 40? , N ?DBM ? ?ADB ? ?AMB ? 80? ? 40? ? 40? , 故 ?DMB ? ?DBM ,从而 DM ? DB . D 我们已经得到 DM ? DN ? DB ,故 D 是 ?BMN 的外心, 1 B A 从而 ?NMB ? ?NDB ? 30? . 2 【点评】本题是一道平面几何名题,加拿大滑铁卢大学的几何大师 Ross Honsberger 将其喻为“平面几 何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的,即使利用三角函数也不是那么容易. 【例 10】四边形 ABCD 中,已知 AB ? AC , ?ABD ? 60? , ?ADB ? 76? , ?BDC ? 28? ,求 ?DBC 的 【解析】 如图所示,延长 BD 至 E ,使 DE ? DC ,由已知可得: E ?ADE ? 180? ? ?ADB ? 180? ? 76? ? 104? , D ?ADC ? ?ADB ? ?BDC ? 76? ? 28? ? 104? , 故 ?ADE ? ?ADC . C 又因为 AD ? AD , DE ? DC , 故 ?ADE ≌ ?ADC , 因此 AE ? AC , ?E ? ?ACD , ?EAD ? ?CAD . 又因为 AB ? AC , 故 AE ? AB , ?ABC ? ?ACB . ? B A 而已知 ?ABD ? 60 , 所以 ?ABE 为等边三角形. 于是 ?ACD ? ?E ? ?EAB ? 60? , 故 ?CAD ? 180? ? ?ADC ? ?ACD ? 16? , 则 ?CAB ? ?EAB ? ?CAD ? ?EAD ? 28? , 1 从而 ?ABC ? (180? ? ?CAB) ? 76? , 2 所以 ?DBC ? ?ABC ? ?ABD ? 16? .

三、典型习题精练
【例10】 ( 日本算术奥林匹克试题 ) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?DAC ? 12? , ?CAB ? 36? , ?ABD ? 48? , ?DBC ? 24? ,求 ?ACD 的度数. 【解析】 仔细观察,发现已知角的度数都是 12? 的倍数,这使我们想到构造 60? 角,从而利用正三角形.
5

在四边形 ABCD 外取一点 P ,使 ?PAD ? 12? 且 AP ? AC ,连接 PB 、 PD . 在 ?ADP 和 ?ADC 中, ?PAD ? ?CAD ? 12? , AP ? AC , AD ? AD , 故 ?ADP ≌ ?ADC . 从而 ?APD ? ?ACD . 在 ?ABC 中, ?CAB ? 36? , ?ABC ? 72? , 故 ?ACB ? 72? , AC ? AB , 从而 AP ? AB . 而 ?PAB ? ?PAD ? ?DAC ? ?CAB ? 12? ? 12? ? 36? ? 60? , 故 ?PAB 是正三角形, ?APB ? 60? , PA ? PB . 在 ?DAB 中, ?DAB ? ?DAC ? ?CAB ? 12? ? 36? ? 48? ? ?DBA , A 故 DA ? DB . 在 ?PDA 和 ?PDB 中, PA ? PB , PD ? PD , DA ? DB , 故 ?PDA ≌ ?PDB , 1 从而 ?APD ? ?BPD ? ?APB ? 30? , 2 则 ?ACD ? 30? . 【例11】 (河南省数学竞赛试题) 在正 ?ABC 内取一点 D ,使 DA ? DB , 在 ?ABC 外取一点 E ,使 ?DBE ? ?DBC ,且 BE ? BA ,求 ?BED . 【解析】 如图所示,连接 DC .因为 AD ? BD , AC ? BC , CD ? CD , 则 ?ADC ≌ ?BDC , 故 ?BCD ? 30? . 而 ?DBE ? ?DBC , BE ? AB ? BC , BD ? BD , 因此 ?BDE ≌ ?BDC ,故 ?BED ? ?BCD ? 30? .

P C

D

B

A E

D B C

【例12】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示,在 ?ABC 中, ?BAC ? ?BCA ? 44? , M 为 ?ABC 内一点, 使得 ?MCA ? 30? , ?MAC ? 16? ,求 ?BMC 的度数. 【解析】 在 ?ABC 中,由 ?BAC ? ?BCA ? 44? 可得 AB ? AC , ?ABC ? 92? . 如图所示,作 BD ? AC 于 D 点,延长 CM 交 BD 于 O 点,连接 OA , 则有 ?OAC ? ?MCA ? 30? , ?BAO ? ?BAC ? ?OAC ? 44? ? 30? ? 14? , A ?OAM ? ?OAC ? ?MAC ? 30? ? 16? ? 14? , 所以 ?BAO ? ?MAO . 又因为 ?AOD ? 90? ? ?OAD ? 90? ? 30? ? 60? ? ?COD , 所以 ?AOM ? 120? ? ?AOB . ?BOM ? 120? 而 AO ? AO ,因此 ?ABO ≌ ?AMO , 故 OB ? OM . 由于 ?BOM ? 120? , 180? ? ?BOM 则 ?OMB ? ?OBM ? ? 30? , 2 故 ?BMC ? 180? ? ?OMB ? 150? .
B O M D C

四、家庭作业优化设计
设计时间: 分钟 实际时间: 分钟 一、选择题 1. (2009 年江苏省)如下左图,给出下列四组条件: ① AB ? DE,BC ? EF,AC ? DF ; ② AB ? DE,?B ? ?E,BC ? EF ; ③ ?B ? ?E,BC ? EF,?C ? ?F ; ④ AB ? DE,AC ? DF,?B ? ?E . 其中,能使 △ABC ≌△DEF 的条件共有( )
6

A.1 组

B.2 组

C.3 组

D.4 组

2. (2009 年浙江省绍兴市) 如上右图,D,E 分别为 △ABC 的 AC ,BC 边的中点, 将此三角形沿 DE 折叠,使点 C 落在 AB 边上的点 P 处.若 ?CDE ? 48°,则 ?APD 等于( ) A. 42° B. 48° C . 52° D. 58° 3. (2009 年义乌)如图,在 ? ABC 中, ?C ? 90。,EF//AB, ?1 ? 50。,则

?B 的度数为
A. 50


B. 60



C. 30



D. 40



4.(2009 年济宁市)如图,△ABC 中,∠A=70°,∠B=60°,点 D 在 BC 的延长线上,则∠ACD 等于( )
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150°

A B D

C

5、 (2009 年莆田)已知:如图在 ABCD 中,过对角线 BD 的中点 O 作直线 EF 分别交 DA 的延长线、 AB、DC、BC 的延长线于点 E、M、N、F. (1)观察图形并找出一对全等三角形: △ ________ ≌ △ ____________,请加以证明; E M B A O C D E M N F B A O C D N F

?

(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到?

6、 (2009 年黄石市)如图, C、F 在 BE 上, ?A ? ?D,AC ∥ DF,BF ? EC . 求证: AB ? DE . A E

B

C

F

D

7

7、 (2009 年郴州市)如图 6,在下面的方格图中,将 △ ABC 先向右平移四个单位得到 △ A 1 B1C1,再 将 △ A 1 B1C1 绕点 A1 逆时针旋转 90° 得到 D A 1 B2C2,请依次作出 △ A 1 B1C1 和 △ A 1 B2C2。

A

C

B
图6 3.(2009 年济宁市)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第 5 个大三角形中白 色三角形有 121 个 .

第1个

第2个

第3个

8


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