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1.3.1函数单调性与最值(1)


§1.3.1 函数的单调性与最大(小)值
(第1课时)

浙师大附中 王谦

人教A版数学必修一(1.3.1)

复习思考

日常生活中的一些函数的图象

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观察思考

观察下列函数的图象,总结

其变化规律:

y?x

1.从左至右图象上升还是下降? 上升 2.在区间(-∞,+∞)上,随着x的增大, f(x)的值随着 增大 .

y?x

2

1.在区间(-∞,0]上,f(x)的值随着 x的增大而 减小 . 2.在区间(0,+∞)上,f(x)的值随着 x的增大而 增大 .

如何用准确的语言来刻画函数的这种变化趋势呢?

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分析总结
2

对于函数 f ( x) ? x :

1.选择函数定义域上的 某个区间,例如(0,+∞); 2.在区间(0,+∞)上,f(x)随着 x的增大而增大。

x2 , 任意 x1,
x2 ? D

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 若 x1 ? x2 ,
对于一般的函数,数学上,如何用 简洁的语言来刻画性质1,2?
观察思考

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概念学习

类似于对二次函数的讨论: 1.明确讨论函数的变化趋势时,自变量x的取值范围.

函数定义域I中的某个区间D.
2.“f(x)在D上随着x的变大而(严格)变大”

x2 , 若 任意 x1,
增函数的定义:

x1 ? x2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

.

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ),那么就说 函数f ( x) 在区间D上是增函数. 这个区间D也称为单调增区间.

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概念学习

局部性

任意性

增函数的定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ),那么就说 函数f ( x) 在区间D上是增函数. 这个区间也称为单调增区间. 任意性 局部性 类比增函数的概念,你能给出减函数的概念吗?

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ),那么就说 函数f ( x) 在区间D上是减函数. 观察思考 这个区间也称为单调减区间.

题型一:利用图象求函数的单调区间

例题讲解

例1:下图是定义在区间[-5.5]上的函数y=f(x), 根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区 间上,它是增函数还是减函数?

题型一:利用图象求函数的单调区间
2

例题讲解

例2:求函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的单调区间。
2

变式1:求函数 f ( x) ?| x ? 2 x ? 3| 的单调区间。
2

变式2:求函数 f ( x) ? x ? 2 | x | ?3的单调区间。
2

变式3:求函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3的单调区间。

题型二:证明函数的单调性

例题讲解

1 例3:证明函数 f ( x) ? x ? x 在(0,1)上是

减函数。

定义法判断或证明函数单调性的一般步骤:

(1)取值
(2)作差变形 (3)定号 (4)下结论

设x1,x2是定义域内的任意两个数,且x1<x2;
f(x1)-f(x2),变形方法:通分、配方、因式 分解等; 判断f(x1)-f(x2)的正负; 根据定义写出一般结论。

题型二:证明函数的单调性
3

例题讲解

练习1:证明函数 f ( x) ? x ? x 在R上是 增函数。

9 练习2:求函数 f ( x) ? x ? (x ? 0) 的单调区间。 x

ax ( ?1 ? x ? 1) 练习3:讨论函数 f ( x) ? 2 x ?1 的单调性。

题型三:函数单调性的应用

例题讲解

例4:已知函数f(x)在区间[-2,2]上单 调递增,若f(1-m)<f(m),求实数m 的取值范围。
变式:设f(x)是定义在(0,+∞)内的增 函数,且f(xy)=f(x)+f(y),若f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围。

题型四:利用单调性求变量的范围

例题讲解

例5:已知 f(x)=x2+2(1-a)x+2 在 (-∞,4]上单调递减,求实数a的 取值范围。
变式:已知 f(x)=x2+2(1-a)x+2 的单调减 区间是(-∞,4] ,则实数a为________.

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课堂小结

1.函数单调性的定义中有哪些关键点?

局部性、任意性
2.用定义法证明函数单调性的步骤是什么?

取 值 → 作差变形 → 定 号 → 下结论
3.你学会了哪些数学思想方法?

数形结合思想、类比思想


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