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[套卷]四川省成都七中实验学校2013-2014学年高二6月月考数学试题


四川省成都七中实验学校 2013-2014 学年高 二 6 月月考数学试题
(考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分)

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求. ) 1. (文)设集合 U= ?1, 2,3, 4,5,6? , M=?1, 2, 4? ,则 C M 等于 ( )
U<

br />
A.U

B.{1,3,5}

C.{3,5,6} 5-6i 等于 i C.-6+5i

D.{2,4,6} ( D.-6-5i )

(理)设 i 为虚数单位,则复数 A.6+5i B.6-5i

? x ? R,使 tan x ? 1,以下正确的是 ( 2. 已知命题 p: ) ? x ? R,使 tan x ? 1 ? x ? R,使 tan x ? 1 A. ?p: B. ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 ? x ? R,使 tan x ? 1 C. ?p: D. ?p:
3.函数 f ? x ? ? log 3 ? 2 x ? 1? 的值域为 A. ( ) D. ? ?1, ?? ?

?0, ???

B. ? ?0, ?? ?

C. ?1, ?? ?

4) , 4.已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0, ?4),C (0, 则顶点 A 的轨迹方程是 ( )

x2 y 2 ? ? 1 (x ? 0) 36 20 x2 y 2 ? 1 (x ? 0) C. ? 6 20
A.

B.

x2 y 2 ? ? 1 (x ? 0) 20 36 x2 y 2 ? ? 1 (x ? 0) D. 20 6


5.已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 , 若 f ? ? ?1? ? 4 , 则 a 的值等于 ( 19 16 13 10 A. B. C. D. 3 3 3 3

x2 y 2 10 ? 1 的离心率 e ? 6.“ m ? 3 ”是“椭圆 ? ”的 ( ) 5 m 5 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 ( A. y=cos 2 x , x ? R B. y=log2 x , x ? R 且 x ? 0 C. y ?
e x ? e? x ,x?R 2

)

D. y=x3 ? 1, x ? R

8.当 x 在 (??, ??) 上变化时,导函数 f '( x) 的符号变化如下表:

x
f / ( x)

(??,1)

1 0 (

(1, 4)

4 0 )

(4, ??)



+



则函数 f ( x) 的图象的大致形状为

9.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x- 1) f ? ? x ? ? 0 , 则必有 ( A. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1? C. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1? B. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1? D. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1?

)

10.(文科)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C 2 的一个交点, F1 、 F1 分别 是它们的左右焦点.设椭圆离心率为 e1 ,双曲线离心率为 e2 ,若 PF 1 ? PF 2 ?0, 1 1 则 2 ? 2 ? ( ) e1 e2 A.1 B. 2 C.3 D.4 2 2 x y (理科)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆: a b
x2 ? y 2 ?
OE ?

a2 的切线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 4

A.

1 (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2 10 10 B. C. 10 2 5



) D.

2

二.填空题(本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分) 1 32 4 11. lg - lg 8+lg 245 . 2 49 3 12. 已 知 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 2 , 一 个 焦 点 与 抛 物 线 a2 b2 y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为 .
若 f (2-a2 ) ? f ? a ? ,

2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 13. 已知函数 f ( x) ? ? , 2 ? ?4 x ? x , x ? 0 则实数 a 的取值范围是 .

14. 函数 f ? x ?=loga (ax- 3) 在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 15. 已知定义在 R 上的函数 y=f ? x ? 满足条件 f ? x ? 2? ? ? f ( x) ,且函数

y ? f ? x ?1? 为奇函数,给出以下四个命题:
①函数 f ? x ? 是周期函数; ③函数 f ? x ? 为 R 上的偶函数; 其中真命题的序号为________. ②函数 f ? x ? 的图像关于点 ? ?1,0? 对称; ④函数 f ? x ? 为 R 上的单调函数.

三.解答题(本大题共 6 小题, 共 75 分,需写出必要的解答或推证过程) 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? bx ? c , (1)当 c ? 0 时, f ( x) 在点 P(1,3) 处的切线平行于直线 y ? x ? 2 ,求 a , b 的值; (2)若 f ( x) 在点 A(?1,8), B(3, ?24) 处有极值,求 f ( x) 的表达式.

17. (本题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F ?1,0 ? 的距离与它到直线
x ? ?1 的距离相等.(1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m, 使得过点 M ? m,0?

且斜率 k ? 1 的直线与曲线 C 有两个交点 A 、B,且满足 FA ? FB ? 0 ?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

18. (本题满分 12 分)
x2 ? 6x 2 (1)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

已知函数. f ( x) ? 8ln x ?

(2)若 y ? f ( x) ? b 有 3 个零点,求 b 的取值范围.

19. (本题满分 12 分)

1,1] 上的奇函数, 1,1] 且 a+ b ? 0 已知 f ( x ) 是定义在 [- 且 f ?1?= 若 a, b ? [- 1 ,

时,有

f ? a ? ? f ?b ? ? 0 成立. (1)判断 f ( x) 在 [- 1,1] 上的单调性,并证明它; a?b 1 1 ); (2)解不等式: f ( x ? ) ? f ( 2 x ?1 (3)若 f ? x ? ? m2- 1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2am+ 1对所有的 a ? [-

20. (本题满分 13 分) y2 ? 1 ,过点 M ? 0, 1? 的直线 l 与椭圆 C 相交于两 (文)已知椭圆 C : x 2 ? 4 点 A, B . (1)若 l 与 x 轴相交于点 P,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; 1 (2)设点 N (0, ) ,求 | NA ? NB | 的最大值. 2

y 2 x2 (理)直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,已知, a b 3 ,又椭圆过 m ? (ax1 , by1 ) , n ? (ax2 , by2 ) ,若 m ? n 且椭圆的离心率 e ? 2 3 点( (2)若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c) ,1) ,O 为原点.(1)求椭圆的方程; 2 (c 为半焦距) ,求直线 l 的斜率 k 的值; (3)试问: ?AOB 的面积是否为定值? 如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

21.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? . (1)若 a ? 0, 试判断f ( x) 在定义域内的单调性; (2)若 f ( x)在[1, e]上的最小值为 , 求a 的值; (3)若 f ( x) ? x2在(1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围。

a x

3 2

成都七中实验学校高 2015 届高二下数学第三月月考试题
审题人 高二数学组 (考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分)

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求. ) 5-6i 1. (理)设 i 为虚数单位,则复数 等于 ( D ) i A.6+5i B.6-5i C.-6+5i D.-6-5i
解析 5-6i 5-6i = 2 i i i =-(5i-6i )=-(5i+6)=-6-5i,故选 D
2

(文)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 C M 等于 U A.U
解析

(

C

)

B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴ C M ={3,5,6} U

? x ? R,使 tan x ? 1,以下正确的是( C ) 2. 已知命题 p: ? x ? R,使 tan x ? 1 ? x ? R,使 tan x ? 1 A. ?p: B. ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 ? x ? R,使 tan x ? 1 C. ?p: D. ?p:
3.函数 f ? x ? ? log 3 ? 2 x ? 1? 的值域为( A. A ) D. ? ?1, ?? ?

?0, ???

B. ? ?0, ?? ?

C. ?1, ?? ?

4) , 4.已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0, ?4),C (0, 则顶点 A 的轨迹方程是( B )
x2 y2 ? ? 1 (x ? 0) 36 20 x2 y2 ? 1 (x ? 0) C. ? 6 20

A.

B.

x2 y2 ? ? 1 (x ? 0) 20 36 x2 y2 ? 1 (x ? 0) D. ? 20 6

5.已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f '(?1) ? 4 ,则 a 的值等于( D ) 19 16 13 10 A. B. C. D. 3 3 3 3 2 2 x y 10 ? 1 的离心率 e ? 6.“ m ? 3 ”是“椭圆 ? ”的( A ) 5 m 5 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 ( A. y=cos 2 x , x ? R B. y=log2 x , x ? R 且 x≠0 B )

C. y ?

e x ? e? x ,x?R 2

D. y=x3+ 1, x ? R

8.当 x 在 (??, ??) 上变化时,导函数 f '( x) 的符号变化如下表:

x
f / ( x)

(??,1)

1 0

(1,4) + C )

4 0

(4, ??)





则函数 f ( x) 的图象的大致形状为(

9.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x- 1) f ? ? x ? ? 0 , 则必有 ( A. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1? C. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1? B. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1? D. f ? 0?+f ? 2? ? 2 f ?1?

D

)

解析 当 x≥1 时,f′(x)≥0,f(x)为增函数,∴f(2)>f(1), 当 x≤1 时,f′(x)≤0,f(x)为减函数,∴f(0)>f(1), ∴f(0)+f(2)>2f(1). 10.(文科)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C 2 的一个交点, F1 、 F1 分别 是它们的左右焦点.设 椭圆离心率为 e1 ,双曲线离心率为 e2 ,若 PF 1 ? PF 2 ?0, 1 1 则 2 ? 2 ?( B ) e1 e2 A.1 B. 2 C.3 D.4 2 2 x y (理科)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆: a b
x2 ? y 2 ?
OE ?

a2 的切线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 4

1 (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2 10 10 A. B. C. 10 2 5 1 解:∵ OE ? (OF ? OP ) 2

( A D.



2

∴E 为 PF 的中点,令右焦点为 F′,则 O 为 FF′的中点,则 PF′=2 OE=a, ∵E 为切点,∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF ∵PF-PF′=2a ∴PF=PF′+2a=3a

在 Rt△PFF′中, PF ? PF ? ? FF ?
2 2

2

即 9a +a =4c

2

2

2

c 10 故答案选 A. ? a 2 二.填空题(本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分) 1 32 4 1 11. lg - lg 8+lg 245 . 2 49 3 2 2 2 x y 12. 已 知 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 2 , 一 个 焦 点 与 抛 物 线 a b 2 . y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为
所以离心率 e ? 解: 双曲线方程: - =1,∴渐近线方程为 y=± x=± 3x, 4 12 a 即 3x±y=0.

x2

y2

b

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 13. 已知函数 f ( x) ? ? , 2 ? ?4 x ? x , x ? 0 则实数 a 的取值范围是 .

若 f (2-a2 ) ? f ? a ? ,

解析 由题意知 f(x)在 R 上是增函数,由题意得 2-a2>a,解得-2<a<1.

14. 函数 f ? x ?=loga (ax- 3) 在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是
解析 由于 a>0,且 a≠1,∴u=ax-3 为增函数, ∴若函数 f(x)为增函数,则 f(x)=logau 必为增函数, 因此 a>1.又 y=ax-3 在[1,3]上恒为正, ∴a-3>0,即 a>3,故答案 (3,+∞).

3? ? 15. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y=f ? x ? 满 足 条 件 f ? x ? ? ? ? f ( x) , 且 函 数 2? ? 3? ? y ? f ? x ? ? 为奇函数,给出以下四个命题: 4? ? ? 3 ? ①函数 f ? x ? 是周期函数; ②函数 f ? x ? 的图像关于点 ? ? , 0 ? 对称; ? 4 ? ③函数 f ? x ? 为 R 上的偶函数; ④函数 f ? x ? 为 R 上的单调函数.

其中真命题的序号为________. 答案 ①②③
解析 由 f(x)=f(x+3)?f(x)为周期函数,且 T=3,①为真命题; 3? 3 ? 3? 又 y=f? ?x-4?关于(0,0)对称, y=f?x-4?向左平移4个单位得 y=f(x)的图像, 3 ? 则 y=f(x)的图像关于点? ?-4,0?对称,②为真命题; 3? 3? 3? ? 3 3? 3 3? ? 又 y=f? ∴f? f?x-4-4?=-f? ?x-4?为奇函数, ?x-4?=-f?-x-4?, ?4-x-4?=-f(-x), 3? ? 3? ∴f? ?x-2?=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f?x-2?=f(-x),∴f(x)为偶函数,不可能为 R 上 的单调函数.所以③为真命题,④为假命题.

三.解答题(本大题共 6 小题, 共 75 分,需写出必要的解答或推证过程) 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? bx ? c , (1)当 c ? 0 时, f ( x) 在点 P(1,3) 处的切线平行于直线 y ? x ? 2 ,求 a , b 的值; (2)若 f ( x) 在点 A(?1,8), B(3, ?24) 处有极值,求 f ( x) 的表达式. 解: (Ⅰ) 当 c ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 2ax 2 ? bx .
所以 f '( x) ? 3x2 ? 4ax ? b . ………..………..2 分

f 1) =3 , f ?(1) ? 1 , 依题意可得 (
即?

?3 ? 4a ? b ? 1, ? a ? 2, 解得 ? ?1 ? 2a ? b ? 3, ?b ? 6.

???????6 分

(Ⅱ)由 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? bx ? c . 所以 f '( x) ? 3x 2 ? 4ax ? b . 令? ???????7 分

? f ?(?1) ? 3 ? 4a ? b ? 0 3 ,解得 a ? , b ? ?9 , (可用韦达定理) 2 ? f ?(3) ? 27 ? 12a ? b ? 0 3 由 f (?1) ? ?1 ? 2a ? b ? c ? 8 ; a ? , b ? ?9 , 可得 c ? 3 2 3 2 所以 f ( x) ? x ? 3x ? 9x ? 3 ???????12 分
检验知,合题意。

17. (本题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F ?1,0? 的距离与它到直线 x ? ?1 的距离相等.(1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,使得过点 M ? m,0? 且斜 率 k ? 1 的直线与曲线 C 有两个交点 A 、B,且满足 FA ? FB ? 0 ?若存在,求 m 的 取值范围;若不存在,请说明理由.

18. (本题满分 12 分)

x2 ? 6x 2 (1)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

已知函数. f ( x) ? 8ln x ?

(2)若 y ? f ( x) ? b 有 3 个零点,求 b 的取值范围.
解(1)因为 f ( x) ? 8ln x ?
2 x2 ? 6 x, x ? (0, ??) , f ' ( x) ? ( x ? 6 x ? 8) 2 x

当 x ? (0,2), (4,??) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (2,4) 时 f ' ( x) ? 0 当 x 变化时, f '( x), f ( x) 变化情况如下表: x 2 (0, 2) (2, 4)

所以 f ? x ? 的单调增区间是 (0,2), (4,?? ) ; f ? x ? 的单调减区间是 (2,4)

…… …4 分

f '( x) f ( x)

?

0

?

4
0

(4, ??) ?
递增

递增

8ln 2 ? 10

递减

16 ln 2 ? 16

所以 f ? x ? 的极大值为 f (2) ? 8ln 2 ? 10 ,极小值为 f (4) ? 16ln 2 ?16 .…… …8 分 (2)在区间 (4, ??) 取 f (16) ? 8ln16 ?

162 ? 6 ?16 ? 32ln 2 ? 32 ? f (2) 2 e?4 e?4 ?2 ?2 ? 6 ? e?2 ? ? 6e?2 ? 16 ? f (4) 在区间 (0, 2) 取 f (e ) ? 8ln e ? 2 2 所以在 f ? x ? 的三个单调区间 (0,2), (2,4), (4,?? ) 直线 y ? b 有 y ? f ( x) 的图象各
因此, b 的取值范围为.

有一个交点,当且仅当 f (4) ? b ? f (2)

( 1 6 l n?2 1 6 , 8 ? l n …… 2 …12 10) 分

19. (本题满分 12 分)

1,1] 上的奇函数, 1,1] ,a+ b ? 0 已知 f ( x ) 是定义在 [- 且 f ?1?= 若 a, b ? [- 1 ,

时,有

f ? a ? ? f ?b ? ? 0 成立. (1)判断 f ( x) 在 [- 1,1] 上的单调性,并证明它; a?b 1 1 ); (2)解不等式: f ( x ? ) ? f ( 2 x ?1 2 1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围. (3)若 f ? x ? ? m - 2am+ 1对所有的 a ? [-
(1)任取 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2,



则-x2∈[-1,1],∵f(x)为奇函数, f?x1?+f?-x2? ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= · (x1-x2), x1+?-x2? f?x1?+f?-x2? 由已知得 >0,x1-x2<0, x1+?-x2? ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增, …… …4 分

? ? 1 ∴?-1≤x+2≤1, 1 ? ≤1. ?-1≤x- 1
∴在[-1,1]上,f(x)≤1.

1 1 x+ < , 2 x-1

3 ∴- ≤x<-1. 2

…… …8 分

(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增. 问题转化为 m2-2am+1≥1,

即 m2-2am≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. 设 g(a)=-2m· a+m2≥0. g(a)≥0,对 a∈[-1,1]恒成立, 必须有 g(-1)≥0 且 g(1)≥0, ∴m≤-2 或 m≥2. ∴m 的取值范围是 m=0 或 m≥2 或 m≤-2. …… …12 分

20. (本题满分 12 分) y2 ? 1 ,过点 M ? 0, 1? 的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、B. (文)已知椭圆 C : x 2 ? 4 (1)若 l 与 x 轴相交于点 P,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; 1 (2)设点 N (0, ) ,求 | NA ? NB | 的最大值. 2

? y ? kx ? 1 ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 2 y 2 的解, ?1 ?x ? ? 4

消去 y 得 (4 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2 所以 ? ? (2k ) ? 12(4 ? k ) ? 0, x1 ? x2 ?

?2k , …… …10 分 4 ? k2 8 则 y1 ? y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) ? , 4 ? k2 ?2k 2 8 ?12k 2 2 所以 | NA ? NB |2 ? ( ) ?( ?1) ? ?1 ?1 , 4 ? k2 4 ? k2 (4 ? k 2 ) 2 当 k ? 0 时,等号成立, 即此时 | NA ? NB | 取得最大值 1.

综上,当直线 AB 的方程为 x ? 0 或 y ? 1 时, | NA ? NB | 有最大值 1. …… …12 分

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,已知, a 2 b2 3 ,又椭圆过 m ? (ax1 , by1 ) , n ? (ax2 , by2 ) ,若 m ? n 且椭圆的离心率 e ? 2 3 点( ,1) ,O 为原点. 2 (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c) (c 为半焦距) ,求直线 l 的斜率 k 的值; (3)试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说 明理由.

(理)直线 l 与椭圆

? c a 2 ? b2 3 e? ? ? ? 解(1)∵ ? a a 2 ? 1 3 ? ? ?1 ? ? a 2 4b 2

∴a ? 2

, b ?1

∴椭圆的方程为

y2 ? x 2 ? 1 …… …4 分 4

(2)依题意,设 l 的方程为 y ? kx ?

3

? y ? kx ? 3 由 ? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 ? y2 2 ? ? x ?1 ?4
显然 ? ? 0

x1 ? x2 ?

?2 3k ?1 , x1 x2 ? 2 2 k ?4 k ?4

由已知 m ? n ? 0 得:

a 2 x1 x2 ? b 2 y1 y2 ? 4 x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3)
? (4 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ? (k 2 ? 4)(?
解得 k

1 ?2 3k ) ? 3k ? 2 ?3? 0 k ?4 k ?4
2

?? 2

…… …8 分

(3)①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 由已知 m ? n ? 0 ,得 4 x1
2

? x2 , y1 ? ? y2 ,

? y12 ? 0 ? y12 ? 4x12



2 A( x1 , y1 ) 在椭圆上, 所以 x12 ? 4 x1 ? 1 ? | x1 |? 2 , | y1 |? 2

4

2

S?

1 1 | x1 || y1 ? y2 |? | x1 | ?2 | y1 |? 1 ,三角形的面积为定值. 2 2

②当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为

y ? kx ? t

必须 ?

? y ? kx ? t ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2ktx ? t 2 ? 4 ? 0 ?y 2 ? x ? 1 ? ?4

?0

即 4k

2 2

t ? 4(k 2 ? 4)(t 2 ? 4) ? 0

?2kt t2 ? 4 , x1 x2 ? 2 得到 x1 ? x2 ? 2 , k ?4 k ?4
∵m?

n ,∴ 4x1x2 ? y1 y2 ? 0 ? 4x1x2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? 0
2t 2 ? k 2 ? 4

代入整理得:

S?

1 |t | 1 | AB |? | t | ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x1 2 1? k 2 2
? | t | 4k 2 ? 4t 2 ? 16 4t 2 ? ?1 k2 ? 4 2|t |

所以三角形的面积为定值。…… …13 分

21.(本题满分 14 分)

a x (1)若 a ? 0, 试判断f ( x) 在定义域内的单调性; 3 (2)若 f ( x)在[1, e]上的最小值为 , 求a 的值; 2 2 (3)若 f ( x) ? x 在(1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围。 1 a x?a 解: : (1)由题意 f ( x)的定义域为(0, ??), 且f ?( x) ? ? 2 ? 2 x x x a ? 0,? f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(0, ??) 上是单调递增函数 …… …3 分 x?a (2)由(1)可知, f ?( x) ? 2 . x 1)若 a ? ?1, 则x ? a ? 0,即f ?( x) ? 0在[1, e]上恒成立, 此时f ( x)在[1, e]
已知函数 f ( x) ? ln x ? . 上为增函数,

3 3 ?[ f ( x)]min ? f (1) ? ?a ? ,? a ? ? (舍去) 2 2 2)若 a ? ?e, 则x ? a ? 0,即f ?( x) ? 0在[1, e]上恒成立,此时f ( x)在[1, e]
上为减函数,

a 3 e ? ? a ? ? (舍去) e 2 2 3)若 ?e ? a ? ?1, 令f ?( x) ? 0得x ? ?a, ?[ f ( x)]min ? f (e) ? 1 ?

当1 ? x ? ?a时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(1,?a)上为减函数; 当 ? a ? x ? e时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(?a, e)上为增函数, ?[ f ( x)]min ? f (?a) ? ln(?a) ? 1 ?
综上所述, a ? ? e. (3)

3 ?a?? e 2
…… …8 分

f ( x) ? x 2 ? ln x ?

a ? x2 x

又x ? 0 ? a ? x ln x ? x3

…… …10 分

令g ( x) ? x ln x ? x 3 , h( x) ? g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3 x 2 , 1 1 ? 6 x2 ? 6x ? x x x ? (1, ??) , h?( x) ? 0,? h( x)在(1, ??)上是 函 , ? h( x) ? h(1) ? ?2 ? 0即g ?( x) ? 0 h?( x) ? ? g ( x)在(1, ??)上也是 函 ,? g ( x) ? g (1) ? ?1 ? a ? ?1 , f ( x) ? x 2在(1, ??)上恒成立. 14分

12分


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