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《函数的最大值和最小值与导数》教学设计


《函数的最大值和最小值与导数》教学设计
【课本教材内容分析】 本节教材知识间的前后联系,以及在课堂教学中的地位与作用: 导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。 新课程增加了导数的内容,随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,而且 导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少 的工具。众所周知,函数又是

中学数学研究导数的一个重要载体,因此函数问题涉及高 中数学比较多的知识点和数学思想方法。 导数作为研究函数的一种重要工具,在宁夏高考进入新课标实验区之后,不但 成为宁夏高考文理科数学的必考题, 而且也逐渐成为高考试卷中起到拔高作用的热点难 题。 在学习时应引起我们教师和学生的充分重视。 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法与函数导数之间的关 系及其简单的应用问题,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求可导函数的 极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,并且以本节知识为 基础,可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实 际问题.为下一节“生活中的优化问题”的教学打下坚实的基础。这节课集中体现了数 形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识 结构,培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值. 高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导, 这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到,所以本节教材还有一个重 要的教育功能,那就是培养学生的探索精神,体验自主学习的成功愉悦. 【课堂教学三维目标】 根据本节教材特点,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的三维教学目标: 1.知识和技能目标 (1) . 使学生理解函数的最大值和最小值的概念, 掌握可导函数 在闭区间 上所有点 (包 括端点 )处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;并且能理解函数最值与极值 的区别和联系 (2)理解可导函数的最值存在的可能位臵. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)通过函数图象的直观,让学生发现函数极值与最值的关系,掌握利用导数求函数最 值的方法。 (2) 在学习过程中,观察、归纳、表述、交流、合作,最终形成认识. (3) 培养学生的数学能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. 3.情感态度和价值观目标 (1) 渗透数形结合的思想,体会导数在求函数最值中的优越性,优化学生的思维品质。 (2) 认识事物之间的的区别和联系,体会事物的变化是有规律的唯物主义思想.

(3) 提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教学重点、难点和关键点】 1.教学重点 基于以上对本节教材特点和教学目标的分析,将本节课的教学重点确定为: (1)培养学生的探索精神,积累自主学习的经验; (2)会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值. 2.教学难点 高中年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别 是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是 (1)发现闭区间上的连续函数 f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处;即理 解函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. (2)理解方程 f′(x)=0 的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 3.教学关键点 本节课突破难点的关键是: 通过合作探究的方式, 让学生在运动变化的过程中通过观察、 比较,发现结论. 【课堂教学方法选择】 关于教法与学法: (1)班杜拉的社会学习原理认为:观察学习是重要的学习方法.这节课采用的第一个方 法就是“观察、比较法” ; (2)为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点,采用多媒体辅助教学,设计了一个 动画课件,让学生在函数图象的运动变化中观察、比较,发现数学本质; (3)根据新课标的教学理念,教学中要培养学生合作共事的团队精神,这节课还采用了 “合作、讨论法” ,让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识. 【学法指导】 对于求函数的最值, 高中学生在高一阶段的必修一的学习已经具备了良好的知识基础, 剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学 设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形 成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用. 【教学过程】 本节课的教学,大致按照“回顾复习旧知-----创设情境,铺垫导入——合作学 习, 探索新知——指导应用, 鼓励创新——归纳小结, 反馈建构” 四个环节进行组织.

教学 环节









设 计





一 、 【
知 识 复 习 回 顾 创 设 情 境 , 铺 垫 导 入 】

知识复习回顾:1、极大值、极小值的概念: 2.求函数极值的方法: 练习 :求函数 f(x)=-x4+2x2+8 的极值 . 解:第一步 确定函数 f(x)的定义域 函数 f(x)=-x4+2x2+8 的定义域是( -∞, +∞) . 第二步 求函数 f(x)的导数 f′ (x)

回顾复习用 导数求极值的 思路和方法。

通过复习, 帮助学生迅速 4 2 3 2 ∵ f(x)=-x +2x +8, ∴ f′ (x)=-4x +4x=-4x(x -1)=-4x(x+1(x-1). 准确地发现相 第三步 求方程 f′ (x)=0 的根 由 f′ (x)=0,即 -4x(x+1)(x-1)=0,得 关 的 数 量 关 系. 这时学生经 X1=-1,x2=0,x3=1. 这三个点将( -∞, +∞)分成四部分: 思考后会发现, (-∞, -1),( -1, 0),( 0, 1),( 1, +∞) 以前学习过的 知识还不足以 第四步 确定 f′ (x)在每一个根的左、右区间内取值的等号,并列成表 解决这一新问 格 .如果左正右负,则 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则 f 题, 从而激发起 (x)在这个根处取得极小值 . (表格略) 学生的学习热 第五步 求出各极值处的函数值,就得到函数的全部极值 . 情. x=-1 时, f(x) 有极大值 f(-1)=-1+2+8=9; x=0 时, f(x) 有极小值 f(0)=8; x=1 时, f(x)有极小值 f(1)=9. 3.引出课题:我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质, 而不是函数在整个定义域内的性质。 也就是说, 如果 x0 是 f(x)的极大 (小) 值点,那么在点 x0 附近找不到比 f(x0)更大(或更小)的值。但是,在解 决实际问题或研究函数白璧微瑕 质时,我们往往更关心函数在某个区间 上,哪个值最大,哪个值最小。如果 x0 是 f(x)的最大(小)值点,那么 f(x0)是不是不小(大)于 f(x)在相应区间上的所有的函数值。这节课我 们将学习一种很重要的方法,来求某些函数的最值. 以实例引 入新课, 有利于 学生感受到数 学来源于身边 的学习生活, 培 养学生用数学 的意识。

教学 环节













意 图

.通过对已有相关

二 、 合 作 学 习 , 探 索 新 知
如图 3.3-13,观察区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象,你能找出 它的极大值、极小值吗? 观察图象,我们发现,f(x1) , f(x3), f(x5)是函数 y=f(x)的极小 值,f(x2) , f(x4), f(x6)是函数 y=f(x)的极大值。 探究:你能找出函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值 吗?

从图 3.3-14 可以看出, 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 f(a),最小值 f(b). 在图 3.3-14、3.3-15 中,观察[a,b]上的函数 y=f(x)的图象, 它们在[a,b]上有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分 别是什么?

知识的回顾和深 入分析,自然地提 出问题:闭区间上 的连续函数最大 值和最小值在何 处取得?如何能 求得最大值和最 小值?以问题制 造悬念,引领着学 生来到新知识的 生成场景中,为新 知的发现奠定基 础后,提出教学目 标,让学生带着问 题走进课堂,既明 确了学习目的,又 激发起学生的求 知热情. 为让学生更好 地进行发现,教学 中通过改变区间 位臵,引导学生观 察同一函数在不 同区间内图象上 最大值最小值取 得的位臵,形成感 性认识,进而上升 到理性的高度.

学生在合作交 流的探究氛围中 质疑、 倾听、 一般地,如果大区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不 思考、 表述,体验到成功 断的曲线,那么它必有最大值和最小值。 的喜悦,学会学 习、学会合作. 结合图 3.3—14、图 3.3-15,以及函数极值中的例子,不难看 在整个新知形 出,只要把函数 y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较, 成过程中,教师的 身份始终是启发 就可以求出函数的最大值与最小值。 者、鼓励者和指导 总结:函数的极值是一个局部性概念,而最值是某个区间的整体 者,以提高学生抽 性概念;函数的极值有多个,而函数的最大(小)值最多只有一 象概括、分析归纳 及语言表述等基 个。极值点不一定是最值点,最值点也不一定是极值点。 本的数学思维能 力. 问题:在区间 a, b 上函数 y ? f ( x) 的最大值,最小值怎么求?

?

?

教学 环节













意 图

例 1 的教学可 例 1 如图:在闭区间[a,b]上连续函数 f(x)的最大值、最小值 让学生讨论交流 分别是什么?分别在何处取得? 思考,得出结论。 由问题引出用导 数求最值的方法 及解题思路。
y y a O b x a
O b

x

y

y

a

O

b

x

a

O

b

x

三 、 指 导 应 用 , 鼓 励 创 新

问题:以上分析,说明求函数 f(x)在闭区间[a,b]上最值的关键 是什么? 归纳: 设函数 f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 求 f (x)在[a,b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f (x)在(a,b)内的极值; (2)将 f (x)的各极值与 f (a)、f (b)比较,其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值. 例 2 求函数 y= x4-2 x2+5 在区间[-2, 2]上的最大值与最 小值. 解法 1: y′=4 x3-4x, 令 y′=0,有 4 x3-4x=0,解得: x=-1,0,1 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:
x y′ y 13 -2 (-2,-1) — ↘ 4 -1 0 (-1,0) + ↗ 5 0 0 (0,1) - ↘ 4 1 0 (1,2) + ↗ 13 2

从上表可知,最大值是 13,最小值是 4. 思考:求函数 f (x)在[a,b]上最值过程中,判断极值往往比较 麻烦,我们有没有办法简化解题步骤? 分析:在(a,b)内解方程 f′(x)=0 , 但不需要判断是否是极 值点,更不需要判断是极大值还是极小值. 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的 最大值与最小值的步骤可以改为: (1)求 f(x)在(a,b)内导函数为零的点,并计算出其函数值; (2)将 f(x)的各导数值为零的点的函数值与 f(a)、f(b)比较, 其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 解法 2:y′=4 x3-4x 令 y′=0,有 4x3-4x=0,解得:x=-1,0,1. x=-1 时,y=4, x=0 时,y=5, x=1 时,y=4. 又 x=-2 时,y=13, x=2 时,y=13. ∴所求最大值是 13,最小值是 4.

解决例 2 的方 法并不唯一,还可 以通过换元转化 为学生熟知的二 次函数问题;而这 里利用新学的导 数法求解,这种方 法更具一般性,是 本节课学习的重 点. “问起于疑, 疑源于思” ,数学 最积极的成分是 问题,提出问题并 解决问题是数学 教学的灵魂.思考 题的目的是优化 导数法求最大、最 小值的解题过程, 培养学生的探究 意识及创新精神, 提高学生分析和 解决问题的能力. 对例题 2 用简 化后的方法求解, 便于学生将它与 第一种解法形成 对照,使得问题的 解决更简单明快, 更易于操作,更容 易被学生所接受.

教学 环节

















三 、 指 导 应 用 , 鼓 励 创 新

例 3.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值 例题 3 的主要特点 范围,并求其单调区间。 是含有参变量通过该例 2 解析:f'(x)=3ax +1,若 a≥0, f'(x)>0,对 x∈R 恒成 题深化对导数知识的理 立,此时 f(x)只有一个单调区间,矛盾。 解,对优秀学生是拔高。 能使学生完善知识结 构, 领悟思想方法,强 若 a<0,∵ f'(x)= , 化情感体验,提高认识 能力,是本节课学生学 此时 f(x)恰有三个单调区间。 习的升华 例题 3 的解决, 继续 ∴ a<0 且单调减区间为 , 巩固用导数法求闭区间 上连续函数的最值,同 。 时也让学生体会到现实 生活中蕴含着大量的数 学信息,培养他们用数 学的意识和能力 课堂练习: P-31 课后练习 (1) (2) (3) (4)

单调增区间为

课堂练习的目的在 于及时巩固重点内容, 使学生在课堂上就能掌 握.同时强调规范的书 写和准确的运算,培养 学生严谨认真的数学学 习习惯.对学生完成练 习情况进行评价,使所 有学生都体验到成功或 得到鼓励,并据此调控 教学.

四 、 归 纳 小 结 , 反 思 建 构

课堂小结: (在老师的指导下可让学生自己总结) 本节主要研究函数的极值、最值与函数导数之间的关 系,导数作为研究函数的一种重要工具,在学习时应引起 充分重视,这部分知识点不多,但涉及的题型比较多,在 学习过程中应该注意以下几个方面的问题: ( 1)理解函数 极值的概念,函数极值刻画的是函数的局部性质,而函数 的最值刻画的是函数的整体性质; ( 2)注意比较极值与最 值的概念以及它们之间的联系,可导函数在极值点两侧导 函数的符号相反,极大值不一定是最大值,极大值可能小 于极小值,连续可导函数闭区间上的最值就是端点值与极 值中的最大值、最小值等结论要熟练准确记忆; ( 3)可导 函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件 (4)求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤; 布置作业:必做题: 一、 求下列函数在所给区间上的最大值与最小值: (1)y=x-x3,x∈[0,2]; (2)y=x3+x2-x,x∈[-2,1]. 选做题:
1.函数 y=4x2(x-2), x∈[-2,2]的最小值是_____。

通过课堂小结, 深化对知识理解,完善 认识结构,领悟思想方 法,强化情感体验,提 高认识能力.

课外作业分必做题 与选做题,因材施教、 及时反馈,让不同的学 生在数学上得到不同的 发展.同时有利于教师 发现教学中的不足,及 时反馈调节.

2.一个外直径为 10cm 的球,球壳厚度为

,则球壳

体积的近似值为____。 3. 函数 f(x)=x4-5x2+4 的极大值是______, 极小值是_____。 4.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,问高为多少时 最省材料? 选做题参考答案:1. –64 2. 19.63cm3 3. 4;

4. 设高为 h,底边长为 a,则所用材料为 S=a2+4ah,而 a2h=256,a∈(0,+∞), ∴ , a∈(0,+∞), 令 S'(a)= , ∴ a=8。

显然当 0<a<8 时,S'(a)<0,当 a>8 时,S'(a)>0,因此当 a=8 时,S 最小,此时 h=4。

板书设计:
一.观察图形回答问题探究新知。 二.归纳得出关于函数与导数的有关结论。

.

函数的最小值和最大值与导数 三、讲解例题 四、课堂练习

【关于本节课教学设计的一些说明】 函数是中学数学的核心内容。 在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的 “纽 带”,可以说函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程,又是学习高等数学的基础, 是高考数学中极为重要的内容,而导数的思想方法和基本理论同样也有着广泛的应用,除 对中学数学有重要的指导作用外,也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁 的作用。纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题,尤其是宁夏的高考试题,函数与 导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题,分值 20 分左右 高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题,充分与函数相结合.其主要考点: (1)考查利用导数研究函数的性质(单调性、极值与最值) ; (2)考查原函数与导函数之间的关系; (3)考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下 几个特点:①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的 极值与最值;②与导数的几何意义相结合的函数综合题,利用导数求解函数的单调性或求 单调区间、最值或极值,属于中档题;③利用导数求实际应用问题中最值,为中档偏难题. 鉴于以上对“函数与导数”考点的分析,本节课重点在于加强学生运用导数的基本思 想去分析和解决问题的意识和能力,即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值, 这是导数作为数学工具的一个具体体现,整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值 以“是否存在?存在于哪里?怎么求?”为线索展开.但在课堂教学的过程中重点关注以 下几个问题: 1.由于学生对导数的知识学习还谈不上深入熟练,甚至会感到还有些抽象,因此教学 过程中从直观性观察和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情,充分利用学生已有的 知识体验和生活经验,遵循学生认知的心理规律,努力实现课程改革中以“学生的发展为 本”的基本理念. 2.关于教学过程,对于本节课的重点:求闭区间上连续,开区间上可导的函数的最值 的方法和一般步骤,必须让学生在课堂上就能掌握.对于难点:求最值问题的优化方法及 相关问题,层层递进逐步提出,让学生带着问题走进课堂,师生共同探究解决,知识的建 构过程充分调动学生的主观能动性. 3.为充分调动学生的学习积极性,让学生能够主动愉快地学习,教师要精心设计现实 的、有趣的、富有挑战性的教学情境、体验情景、认知情景 , 以生动活泼的呈现方式, 展 示数学的发生发展过程, 激发学生兴趣和美感, 引发学习激情和独立思考。通过学生的主 动活动, 包括观察、操作、猜想、收集、整理、交流等, 让其亲眼目睹数学形象而生动的 过程, 亲身体验“做数学”, 实现数学的“再创造”, 并从中感受到数学的力量。在数学

活动中, 学生的知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度和价值观都将在主体参与的 碰撞和生成活动中得到落实。因此应该充分体现“教师为主导、学生为主体” 的数学教学 思想,引导学生主动参与到课堂教学全过程中 4.在教学手段上,本节课可通过制作多媒体课件辅助教学,使得数学知识让学生更易 于理解和接受;课堂教学与现代教育技术的有机整合,再结合其它多种多样的数学教学方 法中,趣味性与知识性的自然融合可以给学生以愉快的求知情境; 对启发和推动学生积极思 维,加深理解基础知识,培养良好的思维具有十分重要的作用,是提高数学教学效率的有效 途径。


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