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2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、 选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在每小题给出的 4 个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1. 已知数列﹛an﹜的通项公式 an ? 2 ,则﹛an﹜的最大项是( ) n ? 4n ? 5
(A) a1 (B) 2. 函数 y ? 3
log3 x

/>a2 (C ) a3 (D) a4 的图像大致是( )

y

y

1 o
(A ) 1

1 x o
(B ) 1

x

y

y

1 o
(C )
2

1
1

x

o

1

x

(D)

3. 已知抛物线 y =2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3 十 x1>O, 则 ( ) (A) f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B) f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C) f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D) f(x1)+f(x2)>f(x3) 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线 共有( ) (A)0 条 (B)1 条 (C)4 条 (D)无数多条 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ? 最长的边为 1,则最短边的长为( )

1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 2 10

1

A.

2 5 5

B.

3 5 5

C.

4 5 5

D.

5 5

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分. 7.集合 A={x∣x=3n,n∈N,0<n<10},B={y∣y=5m,m∈N,O≤m≤6}, 则集合 AUB 的所有元素之和为
8.设 COS2θ=
2 3

2 4 4 ,则 COS θ+sin θ 的值是 3
5

9.(x-3x ) 的展开式中,x 的系数为
10.已知

1 11.等比数列 { an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示该数列的前 n 项的积, 2
则当 n= 时, f (n) 有最大值. 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 三、解答题(第 13 题、14 题各 12 分,15 题 16 分,16 题 20 分)

y ? ≥0 ? ? 3x ? y ≥0 ?x ? 3y ? 3 ? ≥0

,则 x +y 的最大值是

2

2

? ? ? 2a ? ? ? 13.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ? ?2 ? ,B= ? x ? 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围。 x ? a ? ? ? ? 2 ? ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点, 9 4 其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的 2 距离的倒数和为 S,求 S 的值.
14.椭圆

2

15. △ABC 中,AB<AC,AD,AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明∠BAC 是直角.

16. 设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p

3


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