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高三第一次月考数学(理科)试卷答案


银川一中 2016 届高三第一次月考数学(理科)试卷答案
一.选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 D 11 A 12 D

二.填空题: 13. (0,2) 三.解答题 17.解: 14. -1 15. 2x+y+1=0 16. (0,1)

(II)由 c ? 3

, sin A ?

4 a c 8 3 ? , 得 a ? ,由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ? ,故 5 sin A sin C 5 5

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin Acos C ?cos Asin C ? 1 8 3 ? 18 .12 分 S ? ac sin B ? 2 25
18. (1)当0 ? x ? 80, x ? N * 时 L( x) ?

4?3 3 ,所以 ?ABC 的面积为 10

500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 , 1000 3 3

当x ? 80, x ? N *时,L( x) ?

500 ?1000 x 10000 10000 ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ( x ? ) 10000 x x

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? 3 ? L( x) ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80, x ? N * ? x ?
1 (2)当0 ? x ? 80, x ? N *,L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950, 当x ? 60时,L( x)取得最大值L(60) ? 950 3 10000 10000 当x ? 80, x ? N * , L( x) ? 1200 ? ( x ? ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 x x 当且仅当x ? 10000 ,即x ? 100时,L(x)取得最大值L(100)=1000>950 x
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
高三第一次月考试卷数学(理科)试卷 第 1 页(共 2 页)

综上所述,当 x=100 时,L(X)取得最大值 1000,即年产量为 100 千克时,该厂在这一商 品生产中所获利润最大。 19.解(1)设 f(x)图象上任一点的坐标为 P(x,y),因为点 P 关于点 A(0,1)的对称点 P'(-x,2-y)在 h(x)的图 象上,

∴2-y=-x+ +2,∴y=x+ ,即 f(x)=x+ .. . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
(2)g(x)=x2· [f(x)-a]=x3-ax2+x, 又 g(x)在区间[1,2]上为增函数,

∴g'(x)=3x2-2ax+1≥0 在[1,2]上恒成立,
即 2a≤3x+ 对? x∈[1,2]恒成立. 不妨令 r(x)=3x+ , 由于函数 r(x)=3x+ 在[1,2]上单调递增, 故 r(x)min=r(1)=4.于是 2a≤4,a≤2. . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

a 5 ? , 又因为2是极值点,则f ` (2)=0,则a ? 2, 2 ..........4 x x 经检验,当a ? 2时2是f ( x)极值点,故满足题意。 20.解(1) f ` ( x) ? a ?
分 2 (2)当 a=2 时,f(x)=2x- -5ln x, x f ′(x)= 2x2-5x+2 ? 2 x-1? ? x-2? = , x2 x2

1 ∴当 x∈(0, )时,f ′(x)>0,f(x)单调递增; 2 1 当 x∈( ,1)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 2 1 ∴在(0,1)上,f(x)max=f( )=-3+5ln2. .................7 分 2 又“? x1∈(0,1),? x2∈[1,2],都有 f(x1)≥g(x2)成立”等价于“f(x)在(0,1)上的最大值不小于 g(x)在[1,2] 上 的 最 大 值 ” , 而 g (x ) 在 [1,2] 上 的 最 大 值 为 max{g(1) , g(2)}, .................9 分 1
? ?-3+5ln 2≥5-m, 即? ?-3+5ln 2≥8-2m. ?

?f?2? ≥g? 1?, ∴? 1 ?f?2? ≥g? 2?,
解得 m≥8-5ln 2.

∴实数 m 的取值范围是[8-5ln 2,+∞)..................12 分

高三第一次月考试卷数学(理科)试卷 第 2 页(共 2 页)

a ?2 x 2 ? a 21.解:(1)f(x)的定义域为 (0, ??) ,且 f ( x) ? ?2 x ? ? ,又 a=2,的 f ` (1) ? 0 x x
`

而 f(1)=-1,所以 f(x)在(1,-1)处的切线方程为 y=-1. . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

(2) g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 2 x 2 ? x 2 ? 2 x ? a ln x, 定义域为(0, +?),g (`x) ?

2x2 ? 2x ? a x



1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a a ? 0 时,g(x)的单调递增区间为 ( , ??) ,单调递减区间为 (0, ); 2 2
当0?a?

1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 时 , g(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ),( , ??) , 单 调 递 减 区 间 为 2 2 2

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2 a ( , ); 2 2 1 当 a ? 时,g(x)的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间. . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2
(3)由第(2)问知,函数 g(x)有两个极值点 x1 , x2 ,则 0 ? a ? 又因为 x1 ? x2 ,所以 0 ? x1 ?

1 ,且 x1 ? x2 ? 1 , 2

1 1 g ( x1 ) x12 ? 2 x1 ? (2 x1 ? 2 x12 ) ln x1 , ? x2 ? 1 ,因为 ? 2 2 x2 1 ? x1

? 1 ? x1 ?

1 1 1 ? 2 x ln x , (0 ? x ? ) ,则有 ? 2 x1 ln x1 , 于是设 h( x) ? 1 ? x ? x ?1 2 x1 ? 1

h` ( x) ?

x( x ? 2) x( x ? 2) 1 ? 2 ln x ,因为 0 ? x ? ,所以 ? 0 ,且 2lnx<0,得 h` ( x) ? 0 , 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)
1 2

即 h(x)在 (0, ) 单调递减,所以 h( x) ? h( ) ? ?

1 2

3 3 ? ln 2 ,得 m 的范围为 (??, ? ? ln 2) 2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

22.证明(1)∵DE2=EF· EC, ∴DE ? CE=EF? ED. ∵?DEF 是公共角, ∴ΔDEF∽ΔCED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, (2)∵?P=?EDF, ∴?C=? P. ?DEF=?PEA, 10 分 ∴?P=?EDF.----5 分 ∴ΔDEF∽ΔPEA.∴DE ? PE=EF ? EA.即 EF· EP=DE· EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE· EA=CE· EB.∴CE· EB=EF· EP. 23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ,………………2 分 ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: (

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

高三第一次月考试卷数学(理科)试卷 第 3 页(共 2 页)

∴曲线 C2 的参数方程为: ?

? x ? 3 cos ? ? (? 为参数) .………………5 分 ? ? y ? 2sin ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(600 ? ? ) ? 6 | ,………………7 分 d? ? 5 5
∴当 sin(600-θ)=-1 时,点 P( ?

|4?6| 3 ,此时 d max ? ? 2 5 .…………10 分 ,1 ) 2 5

24.解: (1)当 a = 1 时,不等式 f ( x) ? 2 可化为 | x ? 1| ? | 2 x ? 1|? 2 ①当 x ?

1 2 2 时,不等式为 3 x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3

②当 ?1 ? x ?

1 时,不等式为 2 ? x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2
2 ,故 x ? ?1 ; 3

③当 x ? ?1 时,不等式为 ?3x ? 2 ,解得 x ? ? ……………4 分 综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? ………………………………………5 分 3?

(2)因为 f ( x) ? 2 的解集包含 ? ,1? 不等式可化为 | x ? a |? 1 ,………………………………………7 分 解得 ?a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ,

?1 ? ?2 ?

1 ? ??a ? 1 ? 由已知得 ? 2 ,……………………………………9 分 ? ??a ? 1 ? 1
解得 ?

3 ?a?0 2

所以 a 的取值范围是 ? ?

? 3 ? , 0 .…………………………………10 分 ? 2 ? ?

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