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甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科) Word版含解析


甘肃省天水一中 2014-2015 学年高二上学期第二次段考数学试卷 (文科)
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)在复平面内,复数 i(i﹣1)对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2. (4 分)函数 A.y′=sinx+xcosx+ C. y′=sinx+xcosx﹣ 的导数是() B. y′=sinx﹣xcosx+ D

.y′=sinx﹣xcosx﹣

D.第四象限

3. (4 分)若直线 A.7

(t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=() B. 5 C. 4 D.6

4. (4 分)在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是() A.ρ=cosθ B.ρ=sinθ C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1 5. (4 分)函数 f(x)的定义域为(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极值点()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

6. (4 分)曲线的极坐标方程 ρ=4sinθ 化为直角坐标为() 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =4 B.x +(y﹣2) =4 C.(x﹣2) +y =4
3 2

D.(x+2) +y =4

2

2

7. (4 分)函数 y=2x ﹣3x ﹣12x+5 在上的最大值、最小值分别是() A.5,﹣4 B.5,﹣15 C.﹣4,﹣15 D.5,﹣16 8. (4 分)在极坐标系中,圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= A.1 B. 2
3 2 2

(θ∈R)的距离是() D.4

C. 3

9. (4 分)函数 f(x)=x ﹣ax ﹣bx+a 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为() A.(3,﹣3) B.(﹣4,11) C.(3,﹣3)或(﹣4,11) D. 不存在

10. (4 分)设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是()? A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3) ∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)?

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)已知复数 z 满足 iz=1+i(i 为虚数单位) ,则|z|=. 12. (4 分)在极坐标系中,O 为极点,若 A(3, 于. ) ,B(﹣4, ) ,则△ AOB 的面积等

13. (4 分)已知直线 x+2y﹣4=0 与

(θ 为参数)相交于 A、B 两点,则|AB|=.

14. (4 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)=1,f′x)为 f(x)的导函数.已知 y=f′ (x)的图象如图所示,若两个正数 a,b 满足 f(2a+b)>1,则 的取值范围是.

三、解答题(共 44 分) 15. (10 分)已知曲线 C:f(x)=x ﹣x (Ⅰ)试求曲线 C 在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程. 16. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x﹣y+2=0,曲线 C 的参数方程为 (α 为参数) . (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(2, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;
3

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值.

17. (12 分)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线
2

C:ρsin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为参

数) ,l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 18. (12 分)已知函数 f(x)= +alnx﹣2(a>0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围.

甘肃省天水一中 2014-2015 学年高二上学期第二次段考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)在复平面内,复数 i(i﹣1)对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 2 分析: 对所给的复数利用 i =﹣1 进行化简,求出对应的点,再判断所在的象限. 解答: 解:由题意知,i(i﹣1)=﹣1﹣i,故此复数对应的点是(﹣1,﹣1) , 故选 C. 点评: 本题考查了复数与复平面内对应点之间的关系,利用虚数单位 i 的性质进行化简. 2. (4 分)函数 A.y′=sinx+xcosx+ C. y′=sinx+xcosx﹣ 的导数是() B. y′=sinx﹣xcosx+ D.y′=sinx﹣xcosx﹣

考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 利用积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数. 解答: 解:y′=x′sinx+x(sinx)′+ ,

=sinx+xcosx+



故选 A. 点评: 本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式.

3. (4 分)若直线 A.7

(t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=() B. 5 C. 4 D.6

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先,将参数方程化为普通方程,然后,利用直线与直线的垂直关系,确定 k 的值. 解答: 解:∵直线 (t 为参数) ,

消去参数,得 x﹣y+2=0, ∵x﹣y+2=0 与直线 4x+ky=1 垂直, ∴k=4, 故选:C. 点评: 本题重点考查了参数方程和普通方程,直线与直线垂直等知识,属于基础题. 4. (4 分)在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是() A.ρ=cosθ B.ρ=sinθ C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 在直角坐标系中,求出直线的方程,利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极 坐标方程. 解答: 解:在直角坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 x=1, 其极坐标方程为 ρ cosθ=1, 故选 C. 点评: 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,求出直角坐标系中直线的方程是解题 的关键. 5. (4 分)函数 f(x)的定义域为(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内 有极值点()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用.

分析: 根据当 f'(x)>0 时函数 f(x)单调递增,f'(x)<0 时 f(x)单调递减,可从 f′ (x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,然后得到答 案. 解答: 解:从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增 →减, 根据极值点的定义可知,导函数在某点处值为 0,左右两侧异号的点为极值点, 由图可知,在(a,b)内只有 3 个极值点. 故答案为 C. 点评: 本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系.属基础题. 6. (4 分)曲线的极坐标方程 ρ=4sinθ 化为直角坐标为() A.x +(y+2) =4
2 2

B.x +(y﹣2) =4

2

2

C.(x﹣2) +y =4

2

2

D.(x+2) +y =4

2

2

考点: 极坐标系和平面直角坐标系的区别;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 计算题. 2 2 2 分 析: 曲线的极坐标方称即 ρ =4ρsinθ,即 x +y =4y,化简可得结论. 2 2 2 解答: 解:曲线的极坐标方程 ρ=4sinθ 即 ρ =4ρsinθ,即 x +y =4y, 2 2 化简为 x +(y﹣2) =4, 故选:B. 点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题. 7. (4 分)函数 y=2x ﹣3x ﹣12x+5 在上的最大值、最小值分别是() A.5,﹣4 B.5,﹣15 C.﹣4,﹣15 D.5,﹣16 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 3 2 分析: 对函数求导, 利用导数研究函数 y=2x ﹣3x ﹣12x+5 在上的单调性, 判断出最大值与 最小值位置,代入算出结果. 2 解答: 解:由题设知 y'=6x ﹣6x﹣12, 令 y'>0,解得 x>2,或 x<﹣1, 故函数 y=2x ﹣3x ﹣12x+5 在上减,在上增, 当 x=0,y=5 ;当 x=3,y=﹣4;当 x=2,y=﹣15. 3 2 由此得函数 y=2x ﹣3x ﹣12x+5 在上的最大值和最小值分别是 5,﹣15; 故选 B. 点评: 考查用导数研究函数的单调性求最值,本题是导数一章中最基本的题型,解此题的 关键就是能够对导数进行正确的求导; (θ∈R)的距离是() D.4
3 2 3 2

8. (4 分)在极坐标系中,圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= A.1 B. 2 C. 3

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: 将极坐标方程化为直角坐标方程,再用点到直线的距离公式,即可得到结论.

解答: 解:圆 ρ=4sinθ 化为直角坐标方程为 x +(y﹣2) =4 直线 θ= 化为直角坐标方程为 x﹣y=0

2

2

∴圆心到直线的距离是 =1 故选:A. 点评: 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查点到直线的距离公式,属于基础 题. 9. (4 分)函数 f(x)=x ﹣ax ﹣bx+a 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为() A.(3,﹣3) B.(﹣4,11) C.(3,﹣3)或(﹣4,11) D. 不存在 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: 首先对 f(x)求导,然后由题设在 x=1 时有极值 10 可得 出 a 和 b 的值. 2 解答: 解:对函数 f(x)求导得 f′(x)=3x ﹣2ax﹣b, 又∵在 x=1 时 f(x)有极值 10, ∴ , 解之即可求
3 2 2

解得





验证知,当 a=3,b=﹣3 时,在 x=1 无极值, 故选 B. 点评: 掌握函数极值存在的条件,考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力,属于中 档题. 10. (4 分)设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是()? A.(﹣3,0)∪(3,+ ∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3) ∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)? 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0 可确定'>0,进而可得到 f(x)g(x)在 x <0 时递增,结合函数 f(x)与 g(x)的奇偶性可确定 f(x)g(x)在 x>0 时也是增函数, 最后根据 g(﹣3)=0 可求得答案. 解答: 解:设 F(x)=f (x)g(x) ,当 x<0 时,? ∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在当 x<0 时为增函数.? ∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x) .?

故 F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.? ∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.? 已知 g(﹣3)=0,必有 F(﹣3)=F(3)=0.? 构造如图的 F(x)的图象,可知 F(x)<0 的解集为 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3) .? 故选 D

点评: 本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系.导 数是一个新内容,也是 2015 届高考的热点问题,要多注意复习. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)已知复数 z 满足 iz=1+i(i 为虚数单位) ,则|z|= 考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 先求出复数 z,然后利用求模公式可得答案. 解答: 解:由 iz=1+i 得, =1﹣i,



故|z|= , 故答案为: . 点评: 本题考查复数代数形式的运算、复数求模,属基础题. ) ,则△ AOB 的面积等

12. (4 分)在极坐标系中,O 为极点,若 A(3, 于 3. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 如图所示,△ AOB 的面积 S= 解答: 解:如图所示, △ AOB 的面积 S= 故答案为:3. =

) ,B(﹣4,

,即可得出.

=3.

点评: 本题考查了三角形的面积计算公式、极坐标的意义,属于基础题.

13. (4 分)已知直线 x+2y﹣4=0 与

(θ 为参数)相交于 A、B 两点,则|AB|=6.

考点: 圆的参数方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 (θ 为参数)消去参数 θ 得到(x﹣2) +(y﹣1) =9,可得圆心
2 2

M(2,1) ,半径 r=3.圆心 M(2,1)适合直线 x+2y﹣4=0 的方程,可知此直线经过圆心.因 此弦长|AB|就是直径. 解答: 解:由 (θ 为参数)消去参数 θ 得到(x﹣2) +(y﹣1) =9,可得
2 2

圆心 M(2,1) ,半径 r=3. ∴圆心 M(2,1)适合直线 x+2y﹣4=0 的方程, ∴此直线经过圆心. 故弦长|AB|=2r=6. 故答案为 6. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,属于基础题. 14. (4 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)=1,f′x)为 f(x)的导函数.已知 y=f′ (x)的图象如图所示,若两个正数 a,b 满足 f(2a+b)>1,则 的取值范围是(﹣ ,1) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 先根据导函数的图象判断原函数的单调性,从而确定 a、b 的范围,最后利用线性规 划的方法得到答案. 解答: 解:由图可知,当 x>0 时,导函数 f'(x)<0,原函数单调递减,

∵两正数 a,b 满足 f(2a+b)>1,且 f(2)=1, ∴2a+b<2,a>0,b>0,画出可行域如图. k= 的几何意义为点 Q(2,1)与点 P (x,y)连线的斜率, ; = .

当 P 点在 A(1,0)时,k 最大,最大值为: 当 P 点在 B(0,2)时,k 最小,最小值为: k 的取值范围是(﹣ ,1) . 故答案为: (﹣ ,1) .

点评: 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系以及线性规划的应用,根据条件将不 等式转化为线性规划问题是解决本题的关键. 三、解答题(共 44 分) 15. (10 分)已知曲线 C:f(x)=x ﹣x (Ⅰ)试求曲线 C 在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程. 考点: 利用导数 研究曲线上某点切线方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)求出导数,求出切线的斜率和切点,由点斜式写出直线方程 ; (Ⅱ)设出切点,求出切线的斜率,由两直线平行的条件得,切点的坐标,应用点斜式方程写 出切线方程,并化为一般式方程. 3 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=x ﹣x,∴f(1)=0, 2 求导数得:f'(x)=3x ﹣1, ∴切线的斜率为 k=f'(1)=2. ∴所求切线方程为 y=2(x﹣1) ,即:2x﹣y﹣2=0. (Ⅱ)设与直线 y=5x+3 平行的切线的切 点为(x0,y0) , 则切线的斜率为 又∵所求切线与直线 y=5x+3 平行,∴ , .
3

解得:


3

代入曲线方程 f(x)=x ﹣x 得:切点为 或 , ∴所求切线方程为: 或 即: 或 . 点评: 本题主要考查导数的概念及应用:求切线方程,同时考查两直线平行的条件,是一 道基础题. 16. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x﹣y+2=0,曲线 C 的参数方程为 (α 为参数) . (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(2, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值. 考点: 椭圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 对第(1)问,先将点 P 的极坐标化为直角坐标,再代入直线 l 的方程中验证即可; 对第(2)问,根据 C 的参数方程,设 Q( 式,写出距离 d 关于 α 的表达式,再探求 d 的最大值. 解答: 解析: (1)设点 P 的直角坐标为(x,y) , 则 , , ) ,然后利用点到直线的距离公

即得 P(0,2) . 因为点 P 的直角坐标(0,2)满足直线 l 的方程 x﹣y+2=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( cosα,sinα) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为 由此知,当 cos =1 时,d 取得最大值 2 . ,

点评: 1.本题考查了极坐标化直角坐标及点与直线的位置关系,点到直线的距离公式,参 数方程的应用等. 2.当然,本题也可以将点 Q 到直线 l 的距离转化为两平行直线间的距离,即先把曲线 C 的参 数方程化为普通方程,再设与直线 l 平行的直线 l':x﹣y+m=0,联立 C 的方程,消去 y,得到 一个关于 x 的一元二次方程,由△ =0 得 m 的值,最后利用两平行直线间的距离公式可得最大 值.

17. (12 分)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线
2

C:ρsin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为参

数) ,l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)首先,对于曲线 C:根据极坐标与直角坐标变换公式
2

,方程

ρsin θ=2acosθ(a>0) ,两边同乘以 ρ,化成直角坐标方程,对于直线 l:消去参数 t 即可得到 普通方程; (2)首先,联立方程组 ,消去 y 整理,然后,设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,

从而,得到|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|,然胡,结合一元二次方程根与系数的关系,建 立含有 a 的关系式,求解 a 的取值. 解答: 解: (1)∵
2



方程 ρsin θ=2acosθ(a>0) ,两边同乘以 ρ, 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0) ; 直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0. (2)联立方程组 , 消去 y 并整理,得 t ﹣2(4+a) t+8(4+a)=0 (*) △ =8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|. 2 由题设得(t1﹣t2) =|t1t2|, 2 即(t1+t2) ﹣4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) ,t1t2=8(4+a)>0,则有 2 (4+a) ﹣5(4+a)=0,得 a=1,或 a=﹣4. ∵a>0, ∴a=1. 点评: 本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化,参数方程和普通方程的互化, 直线与曲线的位置关系等知识,属于中档题.
2

18. (12 分)已知函数 f(x)= +alnx﹣2(a>0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对于?x∈(0,+∞) 都有 f(x)> 2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数 恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)a=1 时求出 f(x) ,并求 f′(x) ,根据导数的符号即能求函数 f(x)的单调区 间; (Ⅱ)求 f′(x) ,根据导数的符号求出 f(x)在(0,+∞)上的最小值,让最小值大于 2(a ﹣1) ,得到 关于 a 的不等式,解该不等式,从而求出 a 的取值范围即可. 解答: 解: (I)a=1 时,f(x)= , ;

∴x>2 时,f′(x)>0,x<2 时,f′(x)<0; ∴f(x)的单调增区间为


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