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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点


等差等比数列练习题
一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 2.、在等差数列 (A) an (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 ( (D) an ) ( )

?an ?中, a1 ? 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 ?an ?的通项公式为
(B) an

? 3n ? 1

? n?3

(C) an

? 3n ? 1或 an ? 4

? n ? 3 或 an ? 4
( )

3、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c ? 的值为 x y

(A)

1 2

(B) ?

2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 5、已知数列

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 , y 2 三个数(



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( (D) an )

?an ?的前 n 项和为 S n , S2n?1 ? 4n 2 ? 2n ,则此数列的通项公式为
? 2n ? 2
2

(A) an 6、已知 ( z ? x)

(B) an

? 8n ? 2

(C) an

? 2 n?1

? n2 ? n
( )

? 4( x ? y)( y ? z) ,则
(B) x, y , z 成等比数列 (C)

(A) x, y , z 成等差数列

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列

?an ?的前 n 项和 Sn ? a n ? 1 ,则关于数列 ?an ?的下列说法中,正确的个数有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (D)1

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (A)4 8、数列 1 (B)3

③可能是等比数列,也可能是等差数列

(C)2

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A) n ? n ? 1 (B) n ? n ?1 ? 2 2 2

( (C) n
2



?n?

1 ?1 2n

(D) n

2

?n?

1 2
n ?1

?

1 2
( )

9、若两个等差数列

?an ?、 ?bn ?的前 n 项和分别为 An
(B)

、 Bn ,且满足

An 4n ? 2 ? Bn 5n ? 5
7 8

,则

a5 ? a13 b5 ? b13

的值为

(A) 10、已知数列

7 9

8 7

(C)

19 20

(D)

?an ?的前 n 项和为 Sn ? n 2 ? 5n ? 2 ,则数列 ?an ?的前 10 项和为
(B)58 (C)62 (D)60
n





(A)56 11、已知数列

?an ?的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?an ?中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,
( (B) 3
n

则此数列的前 n 项和为



n(3 n ? 13) (A) 2

?5

3 n ? 10n ? 3 (C) 2

3 n ?1 ? 10n ? 3 (D) 2
1

12、下列命题中是真命题的是 A.数列

(

)

?an ?是等差数列的充要条件是 an ? pn ? q ( p ? 0 ) ?an ?的前 n 项和为 S n ? an2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

B.已知一个数列 C.数列

?an ?是等比数列的充要条件 an ? abn?1 ?an ?的前 n 项和 Sn ? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a ? c ? 0 ?an ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a2 ? a6 ? a18
=

D.如果一个数列 二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

14、已知等差数列

?an ?,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则 a1 ? a5 ? a17
4

15、已知数列

?an ?满足 S n ? 1 ? 1 an ,则 an = ?an ?是公差 d 不为零的等差数列,数列 ?ab ?是公比为 q 的等比数列, b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46
n

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列 ,求公比 q 及 bn 。

18、已知等差数列

?an ?的公差与等比数列 ?bn ?的公比相等,且都等于 d

(d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1

, a3

? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

20、已知

?an ?为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? 20 ,求 ?an ? 的通项式。
3

21、数列

?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? ?an ? 的通项公式;
?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

(Ⅰ)求

(Ⅱ)等差数列

22、已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n

(I)求数列

(II)若数列

2

数列综合题
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D

1? 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1· 4n-1=3d· 4n-1,a1+(bn-1)d=3d· 4n-1

∴bn=3· 4n-1-2 18.∴ a3=3b3 , ? a1+2d=3a1d2 , ? a1(1-3d2)=-2d ? a5=5b5, ? a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d
4

① ② bn=a1dn-1=- 5 · (

② 1 1 ? 5d 5 5 ,得 =2,∴ d2=1 或 d2= ,由题意,d= ,a1=- 5 。∴an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d 19.设这四个数为

5 n-1 ) 5

a , a, aq,2aq ? a q

?a ? ·a ? aq ? 216 则 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a) ? 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


由①,得 a3=216,a=6 ③


∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18× ( )n 1= n-1 = 2× 33 n. 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× 3 n 3. 9 9

21.解:(I)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得
3

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ? 22(I) :
2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

an?1 ? 2an ? ( 1 n ?,)N *

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ). 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .

(II)证法一:

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③ ④

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.

4

④-③,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。

5


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