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高一数学必修4(人教版)知识点—三角函数2


高一数学公式总结
基本三角函数 Ⅱ ? 终边落在 x 轴上的角的集合: ?? ? ? ?? , ? ? z ? ? 终边落在 y 轴上的角的集合:
? ? ? ? ? ? , ? ? z ? ? 终边落在坐标轴上的角的集合: ?? ? ? ? ,? ? z? ?? ? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ?
360 度 ? 2 ?
l ? ?

r l r ? 1 2

弧度

?

S ?

1 2

1

?

?

?
180
.

弧度 ? 180 度

?

r

2

? 基本三角函数符号记 忆: “一全,二正弦,三切,四 余弦” 或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

1

弧度
?

?
弧度

180

? ?

tan ? cot ? ? 1

?倒数关系: Sin ? Csc ? ? 1
Cos ? Sec ? ? 1

正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1

tan

2

?

? 1 ? Sec ?
2

平方关系: Sin ?
2 2

? Cos ?
2 2

?1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方 , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

1 ? Cot ?

? Csc ?

乘积关系: Sin ? ? tan ? Cos ? Ⅲ

诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Sin ?? ? 2 k ? tan ?? ? Cos ?? ? 2 k ?

? ? Sin ? ? ? Cos ? 2 k ? ? ? tan ?

, , ,

k ? z k ? z k ? z

?

角 ? 与角 ? ? 关于 x 轴对称

Sin Cos tan

? ? ? ? ? ? Sin ? ? ? ? ? ? Cos ? ? ? ? ? ? ? tan ?
??
? ?

?

角 ? ? ? 与角 ? 关于 y 轴对称

Sin ?? ? ? Cos tan ?? ?

? ? Sin ? ? ? ? Cos ? ? ? ? ? tan ?

?

角 ? ? ? 与角 ? 关于原点对称

Sin ?? ? ? Cos

??

? ?

tan ?? ?

? ? ? Sin ? ? ? ? Cos ? ? ? ? tan ?
?? ? Sin ? Cos?? ? ? Cos ? ? Sin ? 2 Cot ? tan ? ? ? Sec ?Csc ? ?? ? Cos ? ? ? ? ? ? Sin ? 2 ? ? ?? ? tan ? ? ? ? ? ? cot ? ? 2 ?

?角

?
2

? ? 与角 ? 关于 y ? x 对称

?? ? Sin ? ? ? ? ? Cos ? ? 2 ? ?? ? Cos ? ? ? ? ? Sin ? ? 2 ? ?? ? tan ? ? ? ? ? cot ? ? 2 ?

?



上述的诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” 周期问题
y ? ASin y ? ACos y ? y ? y ? y ? ASin ACos ASin ACos

?? x ?? x ?? x

? ?

? ? ?

, A ? 0 ,? ? 0 , , A ? 0 ,? ? 0 , , A ? 0 ,? ? 0 ,

T ? T ?

2?

?
2?

?

? ? ? ?

T ?

? ? ? ? ?
, , T ? T ? 2?

?? x ?? x ?? x

? ? ? ?

?

, A ? 0 ,? ? 0 , b b , A ? 0 ,? ? 0 , b

T ? ? 0

?? ??

?
2?

? ?

, A ? 0 ,? ? 0 , b ? 0

?

y ? A tan ?? x ? ?

? ? ? ?

, A ? 0 ,? ? 0 , , A ? 0 ,? ? 0 , , A ? 0 ,? ? 0 , , A ? 0 ,? ? 0 ,

T ? T ?

? ? ? ? ? ? ? ?

?

y ? A cot ?? x ? ? y ? A tan ?? x ? ? y ? A cot ?? x ? ?

T ? T ?

Ⅴ 性 质 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性

三角函数的性质

y ? Sin x

y ? Cos

x

R

R

?? 1,1?
2?

?? 1,1?
2?

奇函数
? ? ? ? 2 k? ? 2 ,2 k? ? 2 ?
? ? , k ? z , 增函数 ? ? ? , k ? z , 减函数 ?

偶函数

?2 k ? ? ? , 2 k ? ?, k ? ?2 k ? , 2 k ? ? ? ?, k ?

z , 增函数 z , 减函数

? 3? ? ? 2 k? ? 2 ,2 k? ? 2 ?

对称中心

? k ? , 0 ?, k ?
?
2

z

? ? ? ,0 ?, k ? z ? k? ? 2 ? ?
x ? k? , k ? z

对称轴

x ? k? ?

,k ? z

5



4
5

3
4

y
2
3

y
2

1


-π /2
-8

x
1

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-1

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

性 质 定义域

y ? tan x
? ? ? ,? ? z? ? x x ? ?? ? 2 ? ?

y ? cot

x

?x x ? ?? , ? ? z ?
R
?

值 域 周期性 奇偶性 单调性

R
?

奇函数
? ? ? ? , k? ? ? k? ? ? , k ? z , 增函数 2 2 ? ?

奇函数

?k ? , k ?

? ? ?, k ? z , 增函数

对称中心 对称轴

? k ? , 0 ?, k

? z

? ? ? ,0 ?, k ? z ? k? ? 2 ? ?


10 8

无 y
y

6

图 像
-15 -10 -5

4

2

x -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5
10 15

-2

0

x

-4

-6

-8

-10

?

怎样由 y ? Sinx 变化为 y ? ASin ?? x ? ? ? ? k



振幅变化: y ? Sinx
y ? ASin ? x

y ? ASinx

左右伸缩变化:
y ? ASin (? x ? ? )

左右平移变化
y ? ASin (? x ? ? ) ? k

上下平移变化

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量

a , a ? 0 , b , 如果有

?

?

一个实数 ? , 使得 b ? ? a , a ? 0 , 则 b与 a是共线向量;反之如果

?

?

b与 a是共线向量

那么又且只有一个实数

? , 使得 b ? ? a .

Ⅶ 线段的定比分点 点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比的定义式 线段定比分点坐标公式 x1 ? ? x 2
x ? 1? ?
y1 ? ? y 2 1? ? y ?

P1 P ? ? PP 2

. 线段定比分点向量公式
?

. OP ?

OP

1

? ? OP

2

1? ?

? 当? ? 1 时

? 当? ? 1 时

线段中点坐标公式
x ? x1 ? x 2 2
y1 ? y 2 2

线段中点向量公式

.

y ?

OP ?

OP

1

? OP 2

2



向量的一个定理的类似推广 向量共线定理:
b ? ?a

?a

? 0

?

? 推广

平面向量基本定理:

? 其中 e , e 为该平面内的两个 1 2 a ? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 , ? ? 不共线的向量 ?

? ? ? ?

? 推广
a ? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 ? ? 3 e 3 ,

空间向量基本定理:

? 其中 e , e , e 为该空间内的三个 1 2 3 ? ? ? 不共面的向量

? ? ? ?

Ⅸ一般地,设向量 a ? ? x 1 , y 1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ?且 a ? 0 , 如果 a ∥ b那么 x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 反过来,如果 x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 , 则 a ∥ b . Ⅹ 一般地,对于两个非零向量 a , b 有 a ? b ? a b Cos ? ,其中θ为两向量的夹角。
a?b a b ? x1 x1 x 2 ? y 1 y 2
2 ?

Cos ? ?

y1

2

x2

2

?

y2

2

特别的, a ? a ? a ? a
如果 特别的

2

2

或者 a ?

a?a



a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? 且 a ? 0 , 则 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 , a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0



若正 n 边形 A1 A 2 ? ? ? A n 的中心为 O , 则 O A1 ? OA 2 ? ? ? ? ? OA n ? 0

三角形中的三角问题 ?
A ? B ? C ? ? , A ? B ? C 2
Sin

?

?
2

,

A ? B 2

?

?
2

-

C 2

?A

? B ? ? Sin ?C

?

Cos

?A

? B ? ? ? Cos ? C ?

? A ? B ? ?C ? Sin ? ? ? Cos ? ? 2 ? ? ? 2 ?

? A ? B ? ?C ? Cos ? ? ? Sin ? ? 2 ? ? ? 2 ?

? 正弦定理:
a

a SinA
2

?
? b
2

b SinB
?c c
2 2

?

c SinC

? 2R ?
, b
2

a?b?c SinA ? SinB ? SinC
? a
2

余弦定理:

? 2 bcCosA
2

?c

2

? 2 acCosB

? a
2

?b

2

? 2 abCosC

CosA ?

b ?c ?a
2

2

, CosB ? ?b ?c
2 2

a ?c ?b
2 2

2

变形:

2 bc CosC ? a
2

2 ac

2 ab

?

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C

三角公式以及恒等变换 ? 两角的和与差公式:
Sin ?? ? ? Sin ?? ? ?

? ?

? Sin ? Cos ? ? Cos ? Sin ? ? Sin ? Cos ? ? Cos ? Sin ?

, S (? ? ? ) , S (? ? ? )

Cos ?? ? ? ? ? Cos ? Cos ? ? Sin ? Sin ? , C Cos ?? ? ? ? ? Cos ? Cos ? ? Sin ? Sin ? , C tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

(? ? ? )

(? ? ? )

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ?

, T (? ? ? ) , T (? ? ? )

变形:

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ?

??1 ? ??1 ?

tan ? tan ? tan ? tan ?

? ?

tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? tan ? 其中 ? , ? , ? 为三角形的三个内角

? 二倍角公式:

Sin 2 ? ? 2 Sin ? Cos ? Cos 2 ? ? 2 Cos tan 2 ? ?
2

? ? 1 ? 1 ? 2 Sin ? ? Cos
2 2

2

? ? Sin ?
2

2 tan ? 1 ? tan

?

? 半角公式:

Sin

?
2

? ? ? ?

1 ? Cos ? 2 1 ? Cos ? 2
tan

?
2

? ?

1 ? Cos ? 1 ? Cos ?

?

Sin ? 1 ? Cos ?

?

1 ? Cos ? Sin ?

Cos

?
2

? 降幂扩角公式: Cos

2

? ?

1 ? Cos 2 ? 2

,

Sin

2

? ?

1 ? Cos 2 ? 2

Sin ? Cos ? ?

1 2 1 2

? Sin ?? ? Sin ??

? ? ? ?

?? ??

Sin ?? ? ? Sin ?? ? ?

?? ?? ?? ??

? 积化和差公式: Cos ? Sin ?

?

Cos ? Cos ? ? Sin ? Sin ? ? ?

1 2 1 2

?Cos ?? ?Cos ??

? ? ? ?

?? ??

Cos ?? ? ? Cos ?? ? ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin ? ? Sin ? ? 2 Sin ? ? Cos ? ? 2 2 ? ? ? ?

?

?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin ? ? Sin ? ? 2 Cos ? ? Sin ? ? 和差化积公式: 2 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? Cos ? ? Cos ? ? 2 Cos ? ? Cos ? ? 2 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? Cos ? ? Cos ? ? ? 2 Sin ? ? Sin ? ? 2 2 ? ? ? ?
2 tan Sin ? ? 1 ? tan

S ? S ? 2 SC



S ? S ? 2 CS C ? C ? 2 CC C ? C ? ? 2 SS



?
2
2

?
2

? 万能公式:

1 ? tan Cos ? ? 1 ? tan

2

?
2

(

S ?T ?C ??

)

2 tan tan ? ? 1 ? tan

?
2
2

2

?
2

?
2

? 三倍角公式: Sin

3? ? 3 Sin ? ? 4 Sin ?
3 3

tan 3? ?

3 tan ? ? tan 1 ? 3 tan
2

3

?

Cos 3? ? 4 Cos

? ? 3 Cos ?

?

“三四立,四立三,中间横个小扁担” ?

1. 2.

y ? aSin ? ? bCos ? ? y ? aCos ? ? bSin ? ? ? a
2

a a

2

? b Sin ?? ? ?
2

? ?

其中 其中 其中

, , , , ,

tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ?

b a a b b a b a a b

2

? b Sin ?? ? ?
2

? b Cos ?? ? ?
2

?
a
2

3.

y ? aSin ? ? bCos ? ? ? ?

? b Sin ?? ? ?
2 2 2

? ?

其中 其中

a a

? b Cos ?? ? ? ? b Sin ?? ? ?
2 2 2

4.

y ? aCos ? ? bSin ? ?

2

? ?
其中 其中 , , tan ? ? a b b a

? ? ? 注 : 不同的形式有不同的化 求解最值问题 a

a
2

? b Sin ?? ? ?
2

? b Cos ?? ? ?

?

tan ? ?

归 , 相同的形式也有不同的 , 只要记忆 1.

化归 , 进而可以 , 其它

. 不需要死记公式 .

的推导即表达技巧

的就可以直接写出

一般是表达式第一项是 项是余弦的就用两角和

正弦的就用两角和与差 与差的与弦来靠

的正弦来靠 .

, 第一

. 比较容易理解和掌握

? 补充: 1. 由公式

tan ?? ? ? tan ?? ? ?

?? ??

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

, T (? ? ? ) , T (? ? ? )

可以推导 : 当 ? ? ? ? ?? ? 在有些题目中应用广泛。 2. 3.

?
4

时,? ? z ,

?1 ?

tan ? ??1 ? tan ?

??

2

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan ?? ? ?
2 2 2 2 2

?

柯西不等式 ( a ? b )( c ? d ) ? ( a c ? b d ) , a , b , c , d ? R .

补充 1.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0, 2.
?
2

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

) ,则 1 ? sin x ? co s x ?
2 2

2.

(3) | sin x | ? | co s x |? 1 .

sin (? ? ? ) sin (? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (平方正弦公式); co s(? ? ? ) co s(? ? ? ) ? co s ? ? sin ? .
2 2

a sin ? ? b co s ? =

a ? b sin (? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 的象限决
2 2

定, tan ? ?

b a

).
3

3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ? ? 4 sin ? sin (

?
3

? ? ) sin (

?
3

?? ) .

co s 3? ? 4 co s ? ? 3 co s ? ? 4 co s ? co s(
3

?
3

? ? ) co s(

?
3

?? ) .

tan 3? ?

3 tan ? ? tan ?
3

1 ? 3 tan ?
2

? tan ? tan (
1 2

?
3

? ? ) tan (

?
3

?? ).

4.三角形面积定理:(1) S ?

1 2

a ha ?

1 2

b hb ?

ch c ( h a、 hb、 h c 分别表示 a、b、c 边

上的高). (2) S ?
1 2 a b sin C ? 1 2 C 2 ? ca sin B . 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 2 2 (| O A | ? | O B |) ? ( O A ? O B ) . 2 1 b c sin A ? 1

(3) S ? O A B ? 5.三角形内角和定理

在△ABC 中,有
?
2
k? ? ?

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? (A ? B) ?

?

A? B 2
?
2 ??

? 2 C ? 2? ? 2 ( A ? B ) .

6. 正弦型函数 y ? A sin( ? x ? ? ) 的对称轴为 x
k? ? ?

?

(k ? Z )

;对称中心

为(

?

, 0 )( k ? Z ) ;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心;

〈三〉易错点提示: 1. 在解三角问题时, 你注意到正切函数、 余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、 余弦函数的有界性了吗? 2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 这些统称为 1 的代换) 常数 “1” 的种种代换有着广泛的应用. 3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现 特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( )


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