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2014年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题


2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如需改动,先 划

掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式:① 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ② 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知函数 y ? lg x 的定义域为 A , B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B ? A. ? 0, ?? ? B. ? 0,1? C. ? 0,1? D. ? 0,1?

?

?

2.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 3 ? ? m ? 1? i 是纯虚数,则实数 m ?
2

?

?

A. ?3

B. ?3 或 1

C. 3 或 ?1

D. 1

3.设函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的最小正周期为 T ,最大值为 A ,则 A. T ? ? , A ?

2

B. T ? ? , A ? 2

C. T ? 2? , A ?

2

D. T ? 2? , A ? 2

4.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 1 所示,其中俯视图是 中心角为 60? 的扇形,则该几何体的体积为 A.

? 3
2

B.

2? 3

C. ?

D. 2?

5.给定命题 p :若 x ? 0 ,则 x ? 0 ; 命题 q :已知非零向量 a , b, 则 “ a ? b ”是“ a ? b = a ? b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是 A. p ? q C. ? ? p ? ? q 6.已知函数 f ? x ? ? ? A. [?1,0) B.

? ?p ? ? q
图1

D. ? ?p ? ? ? ?q ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0

2 ? x ? 2 x, x ? 0 B. ? 0,1?

.若 f (?a) ? f ? a ? ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是 C. ? ?1,1? D. ? ?2, 2?

7.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 22 ,则输出的 s 的值为
1

A. 232

B. 211

C. 210

D. 191

8.将 n 2 个正整数 1、 2 、 3 、…、 n 2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数 表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的 比值

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n ? 2 时, 数表 b

的所有可能的“特征值”最大值为 A. 3 C. 2 B.

4 3

D.

3 2

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已知乙层中每个个体被抽 到的概率都为

1 ,则总体中的个体数为 9

.

10. 不等式 x ? 3 ? 2 x ? 1 的解集为_________. 11.若 ( x ? 1) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? a3 x ? a 4 x , 则a0 ? a 2 ? a 4 的值为_______.
4 2 3 4

12.设 F1 , F2 是双曲线 x ?
2

y2 x2 y 2 ? 1 的两个焦点, P 是双曲线与椭圆 ? ? 1 的一个公共点,则 ?PF1 F2 的 24 49 24

面积等于_________.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.如果实数 x、y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若直线 x ? ky ? 1 ? 0 将可行域分成面积相等的两部分,则实数 k 的值 ?x ? 1 ?
为______. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.( 坐标系与参数方程 ) 在极坐标系中 , 设曲线 C1 : ? cos? ? 1与 C2 : ? ? 4cos ? 的交点分别为 A 、 B , 则

AB ?

.
C

15.(几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC , 已知 AD ? 3 , AC ? 3 3 ,圆 O 的半径为 5 ,则圆心 O 到 AC 的距离为 .
A B

O

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)
2

在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (Ⅰ) 求 cos B 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? B ? ,求 f ?

3 b,B?C. 2

?? ? ? 的值. ?6?

17.(本题满分 12 分) 佛山某中学高三 (1) 班排球队和篮球队各有 10 名同学 , 现测得排球队 10 人的身高 ( 单位 : cm ) 分别 是: 162 、 170 、171、182 、163 、158 、179 、168 、183 、168 ,篮球队10 人的身高(单位: cm )分别是:170 、

159 、 162 、 173 、 181、 165 、 176 、 168 、 178 、 179 . (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图 4 所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算); (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过 170 cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的 两人中身高超过 178 cm 的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
排球队 篮球队

18.(本题满分 14 分)

图4

如图 5 ,矩形 ABCD 中, AB ? 12 , AD ? 6 , E 、 F 分别为 CD 、 AB 边上的点,且 DE ? 3 , BF ? 4 ,将

?BCE 沿 BE 折起至 ?PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP 、 EF 、 PF ,其中 PF ? 2 5 . (Ⅰ)求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值.
D E

. .F

C D A
图6

P C F B

E

A
图5

B

19.(本题满分 14 分) 如图 7 所示,已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 ? ?1, 0 ? 、 F2 ?1, 0 ? ,且 F2 到直线 x ? 3 y ? 9 ? 0 的距离等
3

于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若圆 P 的圆心为 P ? 0, t ? ( t ? 0 ),且经过 F1 、 F2 , Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外,过 Q 作圆 P 的 切线,切点为 M ,当 QM 的最大值为 y

3 2 时,求 t 的值. 2

F1 O

.

. F

2

x

图7

20.(本题满分 14 分) 数列 ? an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等 比数列, n ? 1, 2,3,? . (Ⅰ)求 a2 、 b2 的值; (Ⅱ)求数列 ? an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ?

1 ln x . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的极值点; (Ⅲ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围

?

?

4

.

2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案

1
C

2
A

3
B

4
D

5
D

6
C

7
B

8
D

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 180 10. ? ?

? 2 ? ,4? ? 3 ?

11. 8

12. 24

13.

1 3

14. 2 3

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 【解析】解法 1:(Ⅰ) 因为 B ? C ,所以 c ? b ,……………………………………………………………2 分

3 b, 2 a 2 ? c 2 ? b2 所以 cos B ? , ………………………………………………………3 分 2ac 3 2 b ……………………………………………………………………4 分 ? 4 2 3b
又a ?

?

3 4

……………………………………………………………………5 分

3 3 b ,∴ sin A ? sin B ……………………………………………………2 分 2 2 3 sin B ………………………………………3 分 ∵ B ? C ,且 A ? B ? C ? ? ,所以 sin 2 B ? 2
解法 2:∵ a ? 又 2sin B cos B ?

3 sin B 2

………………………………………4 分

∵ sin B ? 0 , ∴ cos B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin B ? 1 ? cos B ?
2

3 .……………………………………………………………………5 分 4
13 ,………………………………………………………………7 分 4

(注:直接得到 sin B ? 所以 f ?

13 不扣分) 4
………………………………………………………………8 分 ………………………………………………10 分 …………………………………………………………11 分 …………………………………………………………12 分

?? ? ?? ? ? ? sin ? ? B ? ?6? ?3 ?

? sin
?

?
3

cos B ? cos

?
3

sin B

3 3 1 13 ? ? ? 2 4 2 4

?

3 ? 13 . 8

17.(本题满分 12 分)
5

【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4 分 (注:写对茎叶图 2 分,方差结论正确 2 分) (Ⅱ)排球队中超过 170 cm 的有 4 人,超过 178 cm 的有 3 人, 篮球队中超过 170 cm 的有 5 人,超过 178 cm 的有 2 人, (注:正确描述人数各 2 分,共计 4 分) 所以 X 的所有可能取值为 0,1,2 则……………………5 分 (注:正确写出 X 的值 1 分)
1 1 C1 C 3 P ( X ? 0) ? 1 3 ? , 1 C 4 C 5 20

排球队

篮球队

3 2 18

1 2 5 8 9

9 1 0 17 0 3 6 8 9

8 8 3 2 16 8 15

P ? X ? 1? ?
P ? X ? 2? ?

1 1 1 1 C1 C 2 ? C3 C3 11 ? , 1 1 20 C 4 C5 1 1 C3 C2 6 ? ,………………………………………………………………………………10 分 1 1 C 4 C 5 20

(注:正确写出概率表达式各 1 分,概率计算全部正确 1 分,共计 4 分,若概率计算错误超过两个,扣 1, 共计 3 分) 所以 X 的分布列为

X
P

0 3 20

1 11 20

2 6 20
……………………………………………11 分

所以 X 的数学期望 EX ? 0 ?

3 11 6 23 .……………………………………………12 分 ? 1? ? 2? ? 20 20 20 20

(注:若学生将 X 写成 ? 本次不扣分,但要告诉学生,在高考中会不得分) 18.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知, PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9 , 在 ?PBF 中, PF ? BF ? 20 ? 16 ? 36 ? PB ,所以 PF ? BF ………………………………………2 分
2 2 2

在图 1 中,易得 EF ? 62 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61 ,
2
2 2 2

………………………………………3 分

在 ?PEF 中, EF ? PF ? 61 ? 20 ? 81 ? PE ,所以 PF ? EF ………………………………………4 分 又 BF ? EF ? F , BF ? 平面 ABED , EF ? 平面 ABED ,所以 PF ? 平面 ABED . ………………6 分 z D A x P D A P C H F
解法二图

E F
解法一图

C y B

E B

(注:学生不写 BF ? EF ? F 扣 1 分)

(Ⅱ)方法一:以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示,则 A ? 6, 0, 0 ? , P 6,8, 2 5 ,
6

?

?

??? ? ??? ? ??? ? E ? 0,3, 0 ? , F ? 6,8, 0 ? ,所以 AP ? 0,8, 2 5 , FP ? 0, 0, 2 5 , EF ? ? 6,5, 0 ? , …………8 分

?

?

?

?

??? ? 5 ? ? ? ?2 5 ? z ? 0 ?x ? ? y ?n ? FP ? 0 设平面 PEF 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ??? ,即 ? ,解得 ? 6 ? ? ?6 x ? 5 y ? 0 ? ? ?n ? EF ? 0 ?z ? 0
令 y ? ?6 ,得 n ? ? 5, ?6, 0 ? ,………………………………………………………………………………12 分

??? ? AP ? n 8 1281 48 设直线 AP 与平面 PEF 所成角为 ? ,则 sin ? ? ??? . ? ? ? 427 84 ? 61 AP n
所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为 方法二:过点 A 作 AH ? EF 于 H , 由(Ⅰ)知 PF ? 平面 ABED ,而 AH ? 平面 ABED 所以 PF ? AH ,又 EF ? PF ? F , EF ? 平面 PEF , PF ? 平面 PEF , 所以 AH ? 平面 PEF , 所以 ?APH 为直线 AP 与平面 PEF 所成的角. ………………………………………………………9 分 在 Rt?APF 中, AP ?

8 1281 . ………………………………………………14 分 427

AF 2 ? PF 2 ? 64 ? 20 ? 2 21

…………………………………………11 分

在 ?AEF 中,由等面积公式得 AH ? 在 Rt?APH 中, sin ?APH ?

48 AF ? AD …………………………………………………13 分 ? EF 61

AH 16 3 8 1281 ? ? ? AP 427 61 2 21

所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为

8 1281 . ………………………………………………14 分 427

19.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 依题意, 2b ? 所以 b ? 2 又 c ? 1, 所以 a ? b ? c ? 5 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ), a 2 b2
……………………………………………………………………1 分 …………………………………………………………2 分 …………………………………………………………3 分 …………………………………………………………4 分 …………………………………………………………………………5 分

1? 9 2

? 4,

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 5 4

(Ⅱ) 设 Q ? x, y ? (其中
2

x2 y2 ? ? 1 ), ……………………………………………………………………6 分 5 4
2 2

圆 P 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1 ,………………………………………………………………………7 分 因为 PM ? QM , 所以 QM ?

PQ ? t 2 ? 1 ? x2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 …………………………………………………8 分
2 2

7

? ?

1 2 ? y ? 4t ? ? 4 ? 4t 2 4

…………………………………………………9 分

当 ?4t ? ?2 即 t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?2 时, QM 取得最大值, ……………………………………………10 分 2
3 2 3 1 ,解得 t ? ? (舍去). 2 8 2
………………………………………………11 分

max

? 4t ? 3 ?

当 ?4t ? ?2 即 0 ? t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?4t 时, QM 取最大值, …………………………………………12 分 2
3 2 2 1 1 ,解得 t 2 ? ,又 0 ? t ? ,所以 t ? .………………………………13 分 4 2 2 8

max

? 4 ? 4t 2 ?

综上,当 t ?

2 3 2 时, QM 的最大值为 . ……………………………………………………………14 分 4 2
…………………………………………………1 分

20.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 .
2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?
2 a2 ? 36 . b1

…………………………………………………………………2 分

(Ⅱ)因为 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …①. ………………………………………3 分
2 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 an ?1 ? bn bn ?1 ,

…………………………………4 分

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bn bn ?1 …②. 于是当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn …③. …………………………………………………………………4 分

将②、③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 , …………………………………………………………5 分 因此数列

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,
n

(注:学生不写上述陈述扣 1 分) 所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? . …………………………………………………6 分
2

由③式,可得当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? . …………………………………7 分
2

当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? .…………………………8 分 (注:学生从特殊到一般归纳猜想出 an , bn 的解析式各 1 分,正确证明通项公式各 2 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为 方法一:首先证明 因为

1 1 1 1 2 ? ? ?L ? 2 ? .…………………………9 分 7 23 47 4n ? 4 n ? 1 7

1 2? 1 1 ? ? ? ? ? ( n ? 2 ). 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ?
2

1 2? 1 1 ? 1 2 ? ? ? ? 2 ? 7n2 ? 7n ? 8n2 ? 8n ? 2 ?? 2 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ? 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n
2

? n2 ? n ? 2 ? 0 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 0 ,
所以当 n ? 2 时, 当 n ? 1 时,

…………………………10 分

1 1 1 1 2 ?? 1 1 ? 1 ?? 1 2 1 2 ?1 ? ?L ? 2 ? ? ?? ? ? ? L ? ? ? ? ? ? ? ? ? . …12 分 7 23 4 n ? 4 n ? 1 7 7 ?? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 7 7 2 7
……………………………………………………………………13 分

1 2 ? . 7 7

8

综上所述,对一切正整数 n ,有 方法二:

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? ? ……………………………14 分 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 4 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
2

当 n ? 3 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4 n ? 1
1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 4 ?? 5 9 ? ? 7 11 ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ?

?

?
当 n ? 1 时,

1 1 1?1 1? 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ……………………………………………………12 分 7 23 4 ? 5 7 ? 7 14 14 7
…………………………………………13 分

1 2 1 1 1 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7 (验证不写扣 1 分)

综上所述,对一切正整数 n ,有 方法三:

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ……………………………14 分 a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
2

当 n ? 4 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4 n ? 1
? 1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 47 2 ?? 7 9 ? ? 9 11 ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1 1 1 1 2 ……………………………………………………12 分 ? ? ? ? . 7 23 47 14 7 1 2 1 1 1 1 2 当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? ; 7 7 7 23 7 7 7 1 1 1 1 1 1 2 当 n ? 3 时, ? ……13 分 ? ? ? ? ? . 7 23 47 7 14 14 7 (验证不写扣 1 分) ?
综上所述,对一切正整数 n ,有 21.(本题满分 14 分) 【解析】 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .……………………………………………………………………………1 分

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ……………………………14 分 a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

1 (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? x ? x ? 1? ? ln x ,此时 f ?1? ? 2 . 2
1 5 ,所以 f ? ?1? ? , 2x 2 5 所以切线方程为 y ? 2 ? ? x ? 1? ,即 5x ? 2 y ?1 ? 0 . 2
因为 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ? …………………………………………………2 分 ……………………………………………3 分

1 (Ⅱ)由于 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , x ? ? 0, ?? ? . 2
9

1 ⑴ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x , 2
f ?? x ? ? 2x ? a ? 1 4 x 2 ? 2ax ? 1 , ? 2x 2x
……………………………………………4 分

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) 4 4 且当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 所以 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增, f ? x ? 的极小值点为 x ?

?a ? a 2 ? 4 . …5 分 4



1 ? 2 x ? ax ? ln x, x ? ?a ? ? 2 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? . ?? x 2 ? ax ? 1 ln x,0 ? x ? ?a ? 2 ?

……………………………………6 分

① 当 x ? ?a 时, f ? ? x ? ? 若 若

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 4 x 2 ? 2ax ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? ? ?a (舍去). 4 4 2x

?a ? a 2 ? 4 2 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?a, ?? ? 上单调递增; ? ?a ,即 a ? ? 4 2 ?a ? a 2 ? 4 2 ? ?a ,即 ? ? a ? 0 , 则当 x ? ? ?a, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 4 2

所以 f ? x ? 在区间 ? ?a, x1 ? 上是单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增. ……………………………………7 分 ② 当 0 ? x ? ?a 时, f ? ? x ? ? ?2 x ? a ?

1 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 . ? 2x 2x
……………………………………8 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4x2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? 4a2 ? 16 ,

若 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?a ? 上单调递减; 若 ? ? 0 ,即 a ? ?2 时,则由 f ? ? x ? ? 0 得 x3 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x4 ? 且 4 4

0 ? x3 ? x4 ? ?a ,
当 x ? ? 0, x3 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x3 , x4 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x4 , ?a ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, x3 ? 上单调递减,在 ? x3 , x4 ? 上单调递增;在 ? x4 , ? a ? 上单调递减. ………………9 分 综上所述,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? 当 ?2 ? a ? ? 当a ? ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 和 x ? ?a ,极大值点为 x ? ; 4 4

2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ?a ; 2

?a ? a 2 ? 4 2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? .…………………………………………………10 分 4 2

(Ⅲ)函数 f ? x ? 的定义域为 x ? ? 0, ?? ? . 由 f ? x ? ? 0 ,可得 x ? a ?

ln x …(*) …………………………………………………11 分 2x ln x (ⅰ)当 x ? ? 0,1? 时, ? 0 , x ? a ? 0 ,不等式(*)恒成立; 2x

10

ln x ? 0 ,即 1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 ;…………………………………………………12 分 2x ln x ln x (ⅲ)当 x ? 1 时,不等式(*)恒成立等价于 a ? ? x ? 恒成立或 a ? ? x ? 恒成立. 2x 2x
(ⅱ)当 x ? 1 时, 令 g ? x? ? ?x ?

ln x ? x2 ? 1 ? ln x 1 1 ? 2 x2 2 ? ? x ? ? x ? 1 ? ln x ,则 g ? ? x ? ? . 令 , 则 ? x ? ? 2 x ? ? ? 0, ? ? ? ? x x 2 x2 2x
? x 2 ? 1 ? ln x ? 0, 2 x2

而 ? ?1? ? ?12 ? 1 ? ln1 ? ?2 ? 0 ,所以 ? ? x ? ? ? x 2 ? 1 ? ln x ? 0 ,即 g ? ? x ? ? 因此 g ? x ? ? ? x ? 所以 a ? ? x ?

ln x 在 ?1, ?? ? 上是减函数,所以 g ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上无最小值, 2x

ln x 不可能恒成立. 2x ln x 1 ? ln x ?2 x 2 ? 1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? ?1 ? ? ? 0 ,因此 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数, 2 x2 2 x2 2x

令 h ? x? ? ?x ?

所以 h ? x ? ? h ?1? ? ?1 ,所以 a ? ?1 .又因为 a ? ?1 ,所以 a ? ?1 . 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?1, ?? ? .…………………………………………………………14 分

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