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2012高考数学热点考点精析:43导数及其运算(大纲版地区)


考点 43 导数及其运算
一、解答题 1、 (2011·四川高考理科·T22)已知函数 f ( x ) ? x ? , h( x ) ? x . (Ⅰ)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? h( x ), 求 F ( x ) 的单调区间与极值; ( Ⅱ ) 设
a? R

2 3

1 2

>,







x







3? ?3 log4 ? f ( x ? 1) ? ? ? log 2 h(a ? x ) ? log 2 h(4 ? x ); 4? ?2

(Ⅲ)试比较 f (100)h(100) ? ? h(k ) 与 的大小.
k ?1

100

1 6

【思路点拨】 (Ⅰ)函数问题定义域优先,由 F ' ( x) ? 0 求出极值点,利 用极值点两侧导数值异号判断函数的单调性. (Ⅱ)首先利用对数的运算性质化简方程,最后转化为
?1 ? x ? 4, ? 2 也即转为 y ? a 的图象与 y ? ? (x ? 3) +5 的图象交点个数, ? x ? a, ? 2 (x ? 3)+5. ?a ? ?

结合图象求解. (Ⅲ)构造一个新的数列 ?an ? ,设其前 n 项和 Sn ? f ( n)h(n) ? (n ? N ? ). 当 2 ? k ? 100 时, ak ? sk ? sk ?1 ?
2 3

1 6

4k ? 3 4k ? 1 k? k ? 1 . 判断 ak ? k ? 0. 6 6
1 2

【精讲精析】 (Ⅰ) F ( x) ? x ? ? x ( x ? 0),
2 1 ? F ( x) ? ? x 2 . 3 2
' 1

令 F ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x?? ?0,

9 . 16

9? ' ? 时, F ( x) ? 0 ; 16 ? ?

当 x?( ∴ F ( x)在 ? ?0,
F ( x)在 x ?
3 2

9 , ?? ) 时, F ' ( x) ? 0 . 16

9 9? ? 上为减函数,在 (16 , ?? ) 上为增函数. ? 16 ?

9 1 9 处取极小值 F ( )= . 16 8 16
3 4

(Ⅱ) f ( x ? 1) ? ? x ? 1; 原方程可化为
log4 ( x ?1) ? log2 4 ? x ? log2 a ? x,

即 log2 x ?1 ? log2 4 ? x ? log2 a ? x,
? x ? 1 ? 0, ?1 ? x ? 4, ? 4 ? x ? 0, ? ? ?? ? ? x ? a, a ? x ? 0, ? ? 2 (x ? 3) +5. ?a ? ? ? ( x ? 1)(4 ? x ) ? a ? x . ?

( 1)当1 ? a ? 4时,原方程有一解x ? 3 ? 5 ? a;

(2)当4 ? a ? 5时,原方程有两解x1,2 ? 3 ? 5 ? a;
(3)当a ? 5时,原方程有一解x ? 3; (4)当a ? 1或a ? 1时,原方程有无解.

(Ⅲ)由已知得 ? h(k ) ? ? k
k ?1 k ?1

100

100

设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且 Sn ? f (n)h(n) ? (n ? N ? ). 从而有 a1 ? S1 ? 1, 当 2 ? k ? 100 时, ak ? sk ? sk ?1 ?
4k ? 3 4k ? 1 k? k ?1 . 6 6

1 6

又ak ? k ?

1? (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 ? ? 6? 1 (4k ? 3)2 k ? (4k ? 1)2 ( k ? 1) ? 6 (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 ? 1 1 ? 0. 6 (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1

即对任意的 2 ? k ? 100 ,有 a k ? k . 又∵ a1 ? 1 ? 1, ∴ ? ak ? ? k .
k ?1 k ?1 100 100

故 f (100)h(100) ? ? h(k ) ? .
k ?1

100

1 6

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