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2015杭州二中高三年级仿真考 理科数学 参考答案


2015 年杭州二中高三年级仿真考

数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9. (??,1) ? (2, ??) ; (3, ??) ; (??,3] 12. x 2 ? y 2 ? 1;相交; 三、解答题: 16. 解: (Ⅰ )因为 a, b, c 成等比数列,所以 b ? ac ,
2

1

C

2 D

3 A

4 C

5 D

6 B

7 D

8 B

10.

4 7 ;? 5 25 3 1 , ]; 2 2

11. ③②② ;

8 ; 3

13.

5 2 ; 2

14. [ ?

15.

5 2

由余弦定理可知: cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 1 c a ? ? ( ? ? 1) 2ac 2ac 2 a c

又 cos B ? 于是

1 c a 3 c 1 3 7 ,所以 sin B ? ,且 ( ? ? 1) ? ,解得 ? 2或 . 4 2 a c 4 a 2 4

1 1 cos A cos B sin C c 8 2 ? ? ? ? ? ? 7或 7. tan A tan B sin A sin B sin A ? sin B a ? sin B 7 7 3 3 (Ⅱ )因为 BA ? BC ? ,所以 ca cos B ? ,所以 ca ? 2 , 2 2 c 1 又 ? 2或 ,于是 c ? a ? 3 . a 2 3 3 3 2 【另解】由 BA ? BC ? 得 ca ? cos B ? ,由 cos B ? 可得 ca ? 2 ,即 b ? 2 2 2 4
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac ? cos B 得 a ? c ? b ? 2ac ? cos B ? 5
2 2 2 2 2 2

?a ? c?

2

? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9 ∴ a ? c ? 3 .

17. (Ⅰ )证明:显然 BD ? AC , PA ? 平面 ABCD,则 PA ? BD ,故 BD ? 平面PAC , QC ? 平面PAC ,则直线 QC ? 直线 BD; (Ⅱ)由已知和对称性可知,二面角 B ? QC ? A 的大小为 ? ,设底面 ABCD 的棱长为单位长度 2 ,
3

AQ ? x ,设 AC,BD 交于点 E,则有点 B 到平面 AQC 的距离 BE 为 1,过点 E 做 QC 的垂线,垂足设
为 F,则有

tan ?BFE ? tan

?
3

?

BE 3 2 3 ,BE=1,则 BE= ,点 A 到 QC 的距离为 ,则有 EF 3 3

2 3 6 . ? x 2 ? (2 3)2 ? x ? 2 3 ,得 x ? 3 2
过点 M 作 AB 的平行线交 AD 的中点为 G,则 GM=2, QG ? (

6 2 2 10 , ) ?1 ? 2 2

AM ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ?1?

2 1 6 34 , ? 7 ,则 QM ? ( )2 ? 7 ? 2 2 2

34 10 ?4? QM 2 ? GM 2 ? QG 2 4 ? 5 34 , cos ?QMG ? ? 4 2QM ? GM 34 34 2? ?2 2
即所求的 QM 与 AB 所成角的余弦值为

5 34 . 34

3 1 3 1 1 3 1 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? 2?3 2?3 2 ? 1, 2?3 18.(Ⅰ )证明: 3 3 3 3 3 a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 1 3 3 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 a2 ? ? ? 为首项, 为公比的等比数列。 3 2 2 6 a2( n ?1) ?
(Ⅱ )由(Ⅰ )得

3 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ( )n ?1 ? ? ? ( n),则 a2 n ? ? ? ( ) n ? ; 2 6 3 2 3 2 3 2 1 1 1 n ?1 15 由 a2 n ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3(2n ? 1) ? ? ? ( ) ? 6n ? , 3 2 3 2 1 1 n ?1 1 n 1 n 得: a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? [( ) ? ( ) ] ? 6n ? 9 ? ?2( ) ? 6n ? 9 , 2 3 3 3 a2 n ?

S2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ???? ? (a2n?1 ? a2n )
1 1 1 1 ? ?2[ ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ] ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) ? 9n 3 3 3 3 1 1 [1 ? ( )n ] 3 ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ?2 ? 3 1 2 1? 3 1 1 ? ( ) n ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ( ) n ? 3( n ? 1) 2 ? 2 3 3
显然,当 n ? N 时, {S2 n } 单调递减,
?

7 8 ? 0 , n ? 2 时 S 4 ? ? ? 0 ,则当 n ? 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9 3 1 n 5 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ? ? ( ) ? ? 3n 2 ? 6n , 2 3 2
当 n ? 1 时, S 2 ?

同理可得仅当 n ? 1 时, S2n?1 ? 0 , 综上,可得满足条件 Sn ? 0 的 n 的值为 1 和 2.

19.解: (Ⅰ )

x2 y 2 y2 ? ? 1, ? x 2 ? 1 ; 4 2 2

(Ⅱ )直线 MP 的方程为 y ? kx ? 2 ,联立椭圆方程得:

? x2 y 2 ?1 4 2k ? ? ,消去 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4 2kx ? 0 ,则 xP ? ,则点 P 的坐标为 2 ?4 2 2 k ? 1 ? y ? kx ? 2 ?

P:(

4 2k 2 2k 2 ? 2 , ) 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

同理可得点 Q 的坐标为:

Q:(

2 2k ? 2k ?2 ? 2 2 4 2k 8 2 k 2 ? 2 ? k ? 4 k ,又 ,则点 Q 为: , ) ( , ), k ?2 ? 2 k ?2 ? 2 8k 2 ? 1 8k 2 ? 1

k PQ

8 2k 2 ? 2 2 2k 2 ? 2 ? 2 2k 2 ? 1 ? ? 1 , ? 8k ? 1 2k 4 2k 4 2k ? 2 2 8k ? 1 2k ? 1

则直线 PQ 的方程为: y ?

2 2k 2 ? 2 1 4 2k ? ? ( x ? 2 ) ,即 2 2k ? 1 2k 2k ? 1

y?

1 2 2k 2 ? 2 1 4 2k x? 2, ? ? ( x ? 2 ) ,化简得 y ? ? 2 2k 2k ? 1 2k 2k ? 1

即当 x ? 0 时, y ?

2 ,故直线 PQ 过定点 (0, 2) .
x2 y 2 ? ? 1 上的任一点 T ( x0 , y0 ) 和曲线上两个关于中心的对称点 a 2 b2 b2 . a2

方法 2 :先证明一个结论:曲线

P( x?, y?),Q(? x?, ? y?) (T 不同于 P,Q)连线的斜率乘积为 ?

证明: kTP ? kTQ ?

x2 y 2 y0 ? y? y0 ? y? y0 2 ? y?2 ? ? ? ? 1 上,则 P ( x , y ) ,点 ,点 在曲线 T ( x , y ) ? ? 0 0 a 2 b2 x0 ? x? x0 ? x? x0 2 ? x?2

有:

x0 2 y0 2 x?2 y ?2 x0 2 ? x?2 y0 2 ? y?2 y0 2 ? y?2 b2 ? ? 1 ? ? 1 , , 两式相减得: , 则 ? ? 0 kTP ? kTQ ? 2 ?? 2 。 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b x0 ? x? a

回到本题,设点 N (0, 2) ,PN 与曲线 T2 交于点 Q? ,则有:

对曲线 T1 ,则有 k PM ? k PN ? ?

2 1 ?? , 4 2

对曲线 T2 ,则有 kQ?M ? kQ?N ? kQ?M ? k PN ? ?

k ? ?k k ? 2 ? ?2 ,则 Q M PN ? 4 ,则 Q M ? 4 ,又 1 kPM ? kPN k PM

kQM k? ,则 Q 与 Q? 重合,即直线 PQ 过定点 N (0, 2) . ?4? k kPM
20.解: (Ⅰ )依题意可设: F ( x) ? f ( x) ? b ? ? x2 ? ax ? 1 ? b

? ?( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 x1 ? x2 , x1 , x2 ?[1, 2] , F (?2) ? ?(?2 ? x1 )(?2 ? x2 ) ? ?(2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? (?16, ?9)
则 g (1) ? b ? 2a ? 1 ? b ? F (?2) ? 4 ? (?12, ?5) ; (Ⅱ )由题意,问题转化为(f(x ))max ? 对函数 g ( x) ?

g(x ),对 x ? [ ,1] 恒成立。

1 2

1 ax 2 ? x ? a ,令 ? t ? [1, 2] , 2 x x

ax 2 ? x ? a g ( x) ? ? h(t ) ? at 2 ? t ? a 则问题转化为: 2 x

( f ( x))max ? h(t ), t ?[1, 2] 恒成立.
??2a ? 3, a ? ?4 ? 2 ?a ? ? ? 1, ?4 ? a ? ?2 , ?4 ? ?? a, a ? ?2

显然: ( f ( x)) max

(1)当 a ? ?4 时,

?2a ? 3 ? at 2 ? t ? a 对 t ?[1, 2] 恒成立,则 a ? ?
4 a ? ? ,得 a ? ?4 ; 3 (2)当 ?4 ? a ? ?2 时,

t ?3 对 t ?[1, 2] 恒成立,得 t2 ? 2

a2 a2 ? 1 ? at 2 ? t ? a 对 t ?[1, 2] 恒成立,则 H (t) ? at 2 ? t ? a ? 1 ? ? 0 对 t ?[1, 2] 恒成立, 4 4
关于 t 的二次函数的对称轴在 [? , ? ] 之间,开口向下,则 H (1) ? 0 ,得 a ? 0, a ? 8 , 即得 ?4 ? a ? ?2 ; (3)当 a ? ?2 时,

1 4

1 8

?a ? a 2 t ? t?对 a t ?[1, 2] 恒成立,则 a ?

?t 对 t ?[1, 2] 恒成立,得 t ?2
2

a??

2 2 ,得 ?2 ? a ? ? ; 4 4
2 . 4

综上,得满足题意的 a 的范围是: a ? ?


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