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人教版高二数学理选修2-2测试题


高二下学期第一次月考数学(理科)试题 (人教版理科选修 2—2)
一. 选择题: 1. 化简

3?i ?( 1? i

) B.

A.1-2i 2. z ?

1+2i
)

C.

2+i

D.

/>2- i

1 , 则z 1? i

?(
B.

A. 3.

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

C. 1 ? i

D. 1 ? i )

0<a<1,0<b<1,a≠b,下列各数中最大的是(
A.

a 2 ? b2

B.

2 ab

C. 2ab )
x

D.

a?b

4.

下列函数中,在( 0,+∞ )上为增函数的是( A. y=sin x
2

B.

y=x3-x

C. y=xe )

D.

y=ln(1+x)-x

5. 设函数

f ( x) ? ?

2x , 则 f ( x) ( 1 ? x2

A. 在(-∞,+∞)上单调递增 C. 在(-1, 1 )上递增, 其余区间递减

B. 在(-∞,+∞)上单调递减 D. 在(-1, 1 )上递减, 其余区间递增

6. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线; 已知直线 b

面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的, 这是因为 ( ) A. 推理形式错误 B. 大前提错误 C. 小前提错误 D.非以上错误

? ?平

7. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若将 此若干个圈依此规律继续下去 , 得到一系列的圈 , 那么在前 100 个圈中的●的个数是 ( ) A.12 B. 13 C.14 D.15

图1

图2 图3 图4

8. 曲线 3x -y+6=0 在 x= ?
2

1 处的切线的倾斜角是( 6
C.

)

A.

3 ? ? 4

B. ?

?
4

? 4

D.

3 ? 4

x 2 ? 3x ? 2 + 9. x∈R , 则 f ( x ) ? x ? 1 的最小值是(
A.

). D.

6 ?1
2 ?1 2

B.

5?2
2 ?1

C.

2 6?5

2 5?4
)

10. 已知 a、b∈R+,且 2a+b=1,则 S= 2 A. B. C.

ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值为(
D.

2 ?1

2 ?1 2

二. 填空题: 11. 求值

?

2

1

1 dx ? ____________. x2

12. 在数列

?an ?中,

a1 ? 1, a n?1 ?

3a n , n? N* 3 ? an

?

?猜想数列的通项公式为_____.

13. 凸 n 边形的对角线条数 f( n )=

1 n( n ? 3) ,(n≥3,n∈N*)用数学归纳法证明时, 2

当 n=k 时, k 边形到 k+1 边形增加了________条对角线. 14. 在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由

6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六
边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝 构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 , 使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 , 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_______颗珠宝; 则第 n 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 ___________________颗. (结果用 n 表示) 三. 解答题: 15. 已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a , (I) 求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
3 2

16.求函数

y?

1 x与y ? x ? x 2 围成封闭图形的面积. 3

17. (1)

已知 z ? ?

2 1 ? 3i

, 求 1 ? z ? z 2 ? ? ? ? ? z 2009
3 2

的值;

(2) 已知 z=1+i 是方程 x -x +2=0 的一个根, 求其余的根.

18. 请你设计一矩形海报, 要求版心面积为 162dm , 上、下两边各空 2dm,左、右两边各 空 1dm. 如何设计海报的尺寸, 才能使四周空白面积最小?

2

19. 已知数列 ?an ? , (1) 求 a 2 ,

a1 ? 2, a n?1 ?

n?2 an , n ? N * n

?

?.

a3 , a4 ,

猜测通项公式;

(2) 用数学归纳法证明你的结论.

参考答案: 1—5 BADCD 11.

6—10 BADCA

3 1 ; 12. a n ? ; 13. k-1 ; 14. 66, n? 2 2 15. 解: (I) f ?( x ) =-3x2+6x+9.?????????1 分
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x<-1 或 x>3,????????3 分

2n2 ? n .

所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) .????5 分 (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).????????7 分 因为在(-1,3)上 f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增, 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2. ???8 分 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.??????????10 分 解:由 x ?1 ? x ? ?
2 3 0

16.

1 x, 3
2 3 0

得:

x ? 0, x ?

2 , 3

则 ? ? x ? x ?dx ? ?
2

1 xdx 3
2 3

1 ? ?1 ? 4 ?1 ? ? x2 ? x3 ? ? ? x2 ? ? 3 ? 0 ? 6 ? 0 81 ?2
故所求围成封闭图形的面积为
4 . 81

2 3

17. 解(1)

z??

2 1 ? 3i

??

1 3 ? i, 2 2

1? z ? z ? ??? ? z
2

2009

1 ? z 2010 1 ? z 3?670 1 ? 1 ? ? ? ?0 1? z 1? z 1? z

(2)

∵ ∴

z=1+i 是实系数方程 x3-x2+2=0 的一个根, z=1-i 也是方程的根.设第三个根为 a,


?x ? ?1 ? i ??? ?x ? ?1 ? i ??? x ? a ? ? 0



?x

2

? 2 x ? 2 ?x ? a? ? 0

?

,

x 3 ? ?a ? 2?x 2 ? 2?a ? 1?x ? 2a ? 0

,

∴ a=-1 , 故所求方程的其余两个根分别为 18. 解:设版心的高为 xdm,

1- i ;

-1 . 此时四周空白面积为

162 dm , 则版心的宽为 x

? 162 ? S ( x ) ? ( x ? 4)? ? 2 ? ? 162 x ? ?
? 2x ?
方法① 求导;

648 ?8 x

方法②基本不等式 解得: 当 x=18dm, S(x)有最小值.

故当版心高为 18dm, 宽为 9dm 时, 海报四周空白面积最小. 19. 解: a2=6;

a3=12; a4=20. 猜测通项公式 an ? n(n ? 1) , n∈N*.

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, a1=2, 显然成立; ②假设 n=k 时,(k∈N*) 有 ak=k(k+1). n=k+1 时,

a k ?1 ?

k?2 k?2 ak ? ? k ( k ? 1) ? ?k ? 1???k ? 1? ? 1?, k k

即 n=k+1 时, 通项公式也成立. 由①②可知, 对任意的 n∈N*, 恒有 an

? n(n ? 1) 成立.


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