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2013年4月杭州市重点高中2013高考数学命题比赛参赛试题(二)数 学 (文科)


试卷设计说明
题型 题号 试题来源 内容领域/ 知识内容
单选题 1 2 课本习题改编 湖北省荆州市 2011 届高中毕业班质量 检查试题改编 3 2011 年浙江高考参 考卷改编 4 原创 线面位置关 系判断 函数的零点 问题 5 原创 茎叶图中位 数问题 6 原题 向量与三角 的简单结合 7 2010 年浙江省高考 数学文科 10 改编 8 9 10 原题

09 年杭二摸卷改编 黄岗卷改编 概率 不等式 函数综合 掌握 理解 理解 应用 判断 理解 0.65 0.75 0.6 双曲线 掌握 分析 0.65 理解 判断 0.7 掌握 总结 0.7 理解 应用 0.8 了解 判断 0.85 集合 充要条件

知识深 度
理解 掌握

测量目标/ 行为目标
应用 应用

预估难度

0.85 0.85

填空题

11 12

原创 原创

复数化简 三视图及体 积计算

了解 理解

识记 识记

0.95 0.75

13 14 15

原题 原题 2010 年浙江样卷改

程序框图 数列问题 直线与圆

理解 掌握 理解

应用 组织 归纳

0.75 0.7 0.75

·1·

编 16 改编 线性规划求 最值 17 浙江省温州十校联 合体 2010—2011 学 函数问题 年度高三期末联考 改编 解答题 18 改编自 2013 届临汾 一中 19 改编海淀区期中 数列的通项 公式及二次 函数结合 20 改编自文科数学密 破仿真预测卷 21 改编自山东省德州 市 2013 届高三上学 期期末 22 改编自温州一模 解析几何 掌握 分析 0.6 导数 理解 分析 0.6 立体几何 理解 应用 0.7 掌握 应用 0.7 解三角形 掌握 应用 0.7 理解 应用 0.6 理解 组织 0.65

·2·

2013 年 4 月杭州市重点高中 2013 高考数学命题比赛 参赛试题 2
数 学 (文科)

注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的 位置上。 2.选择题部分每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上 3. 本试卷分选择题和非选择题两部分,考试时间 120 分钟,请考生按规定用笔将所有试题的答 案涂、写到答题纸上 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 棱柱体体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V ? Sh 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 S 表示棱锥底面积,h 表示棱锥的高 P(A· B)=P(A)· P(B) 棱台的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,

1 V ? Sh 3 1 V ? Sh(S1 ? S1S2 ? S2 ) 3
其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示梭台的高

那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 棱台的体积公式
k Pn (k ) ? C n P k (1 ? P) n ? k

球的表面积公式

S ? 4?R 2
球的体积公式
4 V球 ? ?R 3 3

其中 R 表示球的半径 选择题部分

一、选择题 1、 (课本习题改编) 设 U=R,集合 A ? y y ? 2 , x ? R , B ? x ? Z x ? 4 ? 0 ,则下列结论正确
x 2

?

?

?

?

的是 ( A



A ? B ? ?0,???

B ?CU A? ? B ? ?? ?,0?

C ?CU A? ? B ? ?? 2,1,0?

1 D ?CU A? ? B ? ? ,2?
a b c , ? ? sin B sin C sin A

2、 (湖北省荆州市 2011 届高中毕业班质量检查试题改编) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ,设命题 p: 命题 q: ?ABC 是等边三角形,那么命题 p 是命题 q 的 ( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件.
·3·

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

3、 (2011 年浙江高考参考卷改编) 设 m,n 是不同的直线, ? ? 是不同的平面,则下列四个命题, 其中正确的是 ( ) ①若 α∥β, m ? ? ,则 m∥β ②若 m∥α, n ? ? ,则 m ∥n ③若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β ④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 4、 (原创)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 有唯一零点,则存在零点的区间是(
3



A ? ? 2,? ?

? ?

3? 2?

B??

? 3 ? ,?1? ? 2 ?

C ? ? 1,?

? ?

1? ? 2?

D??

? 1 ? ,0 ? ? 2 ?

5、 (原创)某学校组织班班有歌声比赛,8 个评委为某个班级的打出的分数如茎叶图所示,则这些数 据的中位数是( ) A 84 B 85 C 88 D 86 7 9 8 445788 9 2 6、函数 y ? tan(

x ? ) 的部分图像如图所示, 4 2 则 OA ? OB ? AB ? ( ) A. 4 B. 6 C. 1 D. 2

?

?

?

?

y 1 O A B B x

7、 (2010 年浙江省高考数学文科 10 改编) 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交点 a 2 b2
( )

为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的离心率为 A、 5 B、 3 C、

2 3 3

D、2

8、已知数列 {a n } 满足条件:a1 ? 的概率为 A. ( B. ) C.

1 ? an 1 1 ,an ?1 ? ? n ? N ? ? ,则对 n ? 20 的正整数,an ? an?1 ? 1 ? an 2 6

1 20

1 4

1 5

D. 0

9、 (09 年杭二摸卷改编)若非零实数 x,y,z 满足 ? A. y ? xz且x ? 0
2

?x ? 2 y ? z ? 0 , 则有( ?4 x ? 4 y ? z ? 0
C. y ? xz且x ? 0
2

) D. y ? xz
2

B. y ? xz
2

10、黄岗卷改编) ( 函数 f (x) 的定义域为 D, 若对于任意 x1 , x2 ? D , x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 当
·4·

则 称 函 数 f (x) 在 D 上 为 非 减 函 数 , 设 f (x) 在 ?0,1? 上 为 非 减 函 数 , 且 满 足 以 下 条 件 :

x 1 (1) f (0) ? 0 : (2) f ( ) ? f ( x) : (3) f (1 ? x) ? 1 ? f ( x). 3 2
则 f ( ) ? f ( ) ?( A.

1 3

1 8

) C.1 D.

3 4

B.

1 2

2 3

非选择题部分 二、填空题 11、 (原创)若复数 z1 ? 1 ? 2i, z 2 ?
1 ,则 z ? z 在复平面上对应的点位于第______象限。 1 2 (1 ? i ) 2

12、 (原创)一空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为____________ 开始
1

k=1
2

S=0
正视图 侧视图

S≤2011? 是



1 1 俯视图

S=S+2k-1
第 12 题 图

输出k 结束

k=k+2

第 13 题图 13、如果执行下面的程序框图,那么输出的 k 的值为_________ 14、若在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? lg(1 ? n ?1 ) ,则 a10 ? _______ 15、 (2010 年浙江样卷改编)过点 P(0,1) 作直线 l 交圆 C : x ? y ? 4 与两点,过其中任一点 A 作直
2 2

线 l 的垂线交圆于点 B,当直线 l 绕点 P 转动时,则 AB 最长为___________

?x ? 0 ? 确定的平面区域内,则点N (a ? b, a ? b) 所在平面 16、已知点 M(a,b)在由不等式组 ? y ? 0 ?x ? y ? 2 ?
区域的面积是___________________ 17、 (浙江省温州十校联合体 2010—2011 学年度高三期末联考改编) 定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足:①对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) 成立;②

f (0) ? ?1 ; ③当 x ? (?1,0) 时,都有 f / ( x) ? 0 .
·5·

若方程 f ( x) ? 0 在区间 [a,3] 上恰有 3 个不同实根,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18) (2013 届临汾一中改 编 )(本题满分 14 分) 已知 ?ABC 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,其中 a ? 2 , c ? (Ⅰ)若 sin C ? (Ⅱ)设 f (C ) ?

3.

3 ,求 sin A 的值; 3
3 sin C cosC ? cos2 C ,求 f (C ) 的取值范围.

(19 ) ( 改编海淀区期中) (本题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? ?5 ,S5 ? ?20 . 且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 Sn ? an 成立的 n 的最小值. (20) ( 改 编 2013 高 考 文 科 数 学 密 破 仿 真 预 测 卷 ) 在 直 角 梯 形 ABCD 中

?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? ,BC=1,
AD=CD,把 △ DAC 沿 对 角 线 AC 折 起 后 如 图 所 示 点 D 记 为 点 P ) 点 P 在 平 面 ABC ( , 上 的 正 投 影 E 落 在 线 段 AB 上 , 连 接 P B.若 F 是 AC 的 中 点 , 连 接 P F,E F. (1) 求证:平面 PEF⊥AC. ( 2) 求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小.

D

P

C A A B E B
(21)(改编山东省德州市 2013 届高三上学期期末) (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

F

C

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a) x . 3 2
·6·

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值, 求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a ? ?1 , f ( x) 在区间 [0,1] 上的最大值. 求 (22)(改编温州一模) (本题满分 15 分) 已知点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 ? 4 x 上相异两点,且 满足 x1 ? x2 ? 2 . (Ⅰ)若 AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,求 ?AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

·7·

2013 年高考模拟试卷

参考答案

数学卷(文)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 B 9 B 10 A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11. ___二____ 12.

4 3
4

13.___ 65

14. 3

15.

2

16.

17.

(-3, 1?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

18. 解 (Ⅰ)由 正 弦 定 理 得 (Ⅱ)在 ?ABC 中,

a c a sin C ? ,? sin A ? ? sin A sin C c

2?

3 3 ? 2 ……6 3 3

由余弦定理, AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos C , ? 3 ? AC ? 4 ? 4 AC cos C , 即
2 2 2 2

AC 2 ? 4cos C ? AC ? 1 ? 0, 有 题 知 关 于 AC 的 一 元 二 次 方 程 应 该 有 解 , … … 9
2 令 ?=(4cosC)-4 ? 0,得 cos C ? - (舍去)

或者 cos ? C

1 ? ,所以 0 C ? ? 2 3

1 2

… … 12

f (C ) ?

3 1 ? cos 2C ? 1 sin 2C ? ? sin(2C ? ) ? 2 2 6 2

·8·

(?

?
6

? 2C ?

?
6

?

?

1 ),??1 ? f (C ) ? . 2 2

… … 14

19 解 : 设 {an } 的公差为 d , 依题意,有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 联立得 ? ………………2 分

? a1 ? d ? ?5 ?5a1 ? 10d ? ?20
………………5 分

解得 ?

? a1 ? ?6 ?d ? 1

所以 an ? ?6 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7

………………7 分

(II)因为 an ? n ? 7 ,所以 Sn ?

a1 ? an n(n ? 13) n? 2 2

………………9 分



n(n ? 13) ? n ? 7 ,即 n 2 ? 15n ? 14 ? 0 2

………………11 分

解得 n ? 1 或 n ? 14 又 n ? N* ,所以 n ? 14 所以 n 的最小值为 15 20. 解:1. ………………14 分

D

P

C A A B E B
·9·

F

C

? ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 1
? AB ? BC ? 3, AC ? 2, ?DAC ? 60?.? AD ? CD ? AC ? 2 ……………………2 分 ? tan 30
…………………………………………4 分

? PA ? PC,? PF ? AC.

?点E为点P在平面ABC上的正投影, PE ? 平面ABC ? PE ? AC ………………6 分 ?

? PF ? PE ? P.PF ? 平面PEF , PE ? 平面PEF ,? AC ? 平面PEF ………………7 分
2. ? PE ? 平面ABC ? PE ? BC …………………………………………8 分

? BC ? AB, PE ? AB ? E, PE ? 平面PAB,? BC ? 平面PAB
??CPB为直线PC与平面PAB所成的角.………………………………………10 分

在Rt? CBP中,BC=1,PC=DC=2, sin?CPB= ?

BC 1 = . PC 2

……………12 分 … 14 分

? 0? ? ?CPB<90? ,??CPB ? 30?. ?直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 30?
21.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a)
? ( x ? a)[ x ? (a ? 1)]

………………2 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? (a ? 1) , x2 ? a 所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

( ??, a )

a
0 极大值

(a, a ? 1)
?

a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)

?
?

?
?

?

………………4 分 所以 a ? 1 ………………6 分

(II) 因为 a ? ?1, 所以 a ? 1 ? 0, 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 对 x ? [0,1] 成立
2 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ?

1 6

………………9 分

当 0 ? a ? 1 时, 在 x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增 在 x ? (a,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减
·10·

1 3 1 2 所以当 x ? a 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2

………………10 分

当 a ? 0 时, 在 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 0 当 ?1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增
1 2 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ? , 6

………………11 分

当 ?1 ? a ? ? 当?

1 6 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6 6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 . 6

当a ? ?

………………14 分

综上所述,
1 6 2 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6 1 3 1 2 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2

当 a ? 1 或 ?1 ? a ? ?

当a ? ? 当?

6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6 22 解: (I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意,

所以可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入方程 y ? 4 x 得:
2

k 2 x 2 ? (2kb ? 4) x ? b2 ? 0
∴ x1 ? x2 ? 得: b ? ∵

4 ? 2kb ?2 k2

………………………………2 分

2 2 ∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? ?k k k AB 中 点 的 横 坐 标 为 1 , ∴ AB 中 点 的 坐 标 为
…………………………4 分

2 (1, ) k
∴ AB 的中垂线方程为 y ? ? ∵

1 2 1 3 ( x ? 1) ? ? ? x ? k k k k
线 经 过 点

AB







P(0, 2)





3 ?2 k





·11·

k?

3 2 3 1 x? 2 6

………………………6 分 ………………………7 分

∴直线 AB 的方程为 y ?

(Ⅱ)由(I)可知 AB 的中垂线方程为 y ? ?
2

1 3 x ? ,∴ M 点的坐标为 (3, 0) ……8 分 k k
2

因为直线 AB 的方程为 k x ? ky ? 2 ? k ? 0 ∴ M 到直线 AB 的距离 d ?

| 3k 2 ? 2 ? k 2 | k4 ? k2

?

2 k 2 ?1 |k|

…………………10 分

?k 2 x ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 k2 2 由? 得, y ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 , 2 4 ? y ? 4x
4 8 ? 2k 2 y1 ? y2 ? , y1 ? y2 ? k k2
1 4 1 ? k 2 k 2 ?1 | AB |? 1 ? 2 | y1 ? y2 |? k k2
∴ S ?AMB ? 4(1 ? …………………………12 分

1 1 ) 1? 2 , 2 k k

设 1?

1 ? t ,则 0 ? t ? 1 , k2
6 3

S ? 4t (2 ? t 2 ) ? ?4t 3 ? 8t , S ' ? ?12t 2 ? 8 ,由 S ' ? 0 ,得 t ?

S ? ?4t 3 ? 8t 在 (0,

6 6 6 时, S 有最大值 ) 上递增,在 ( ,1) 上递减,当 t ? 3 3 3
16 6 直线 AB 方程 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 ……………15 分 9

得: k ? ? 3 时, S max ?

·12·


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