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3.2复数代数形式的四则运算(两课时)


3.2 复数代数形式的四则运算

学习目标:
? ? ? ? 掌握复数的四则运算及加法的几何意义 理解共轭复数的概念并且会求共轭复数 重点:复数除法的计算和共轭复数 难点:复数除法的计算

我们规定,复数的加法法则如下:
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数,那么

(a+bi)+(

c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加.

实数加法的交换律、结合律在 复数集C中仍然成立.

如图所示:

???? ? ???? ? 设OZ1, OZ 2分别与

y
Z2(c,d)

Z

复数a + bi,c + di对应, ???? ? ???? ? 则OZ1 = (a,b),OZ 2 = (c,d).

由平面向量的坐标运算, Z1(a,b) ??? ? ???? ? ???? ? 得OZ = OZ1 + OZ 2 x ???? O ? ???? ? OZ1 + OZ 2 = (a + c,b + d). ???? ? ???? ? 这说明两个向量OZ1和OZ 2的和就是
复数(a + c) + (b + d)i对应的向量.

类比实数集中减法的意义,我们规定, 复数的减法是加法的逆运算
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数,那么

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的减法法则就是: 实部与实部,虚部 与虚部分别相减.

例1.计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)

解: (5 - 6 i) +(-2 - i) - (3 + 4 i) = (5 - 2 - 3) +(-6 -1- 4) i = -11i
计算 (1-3i )+(2+5i) +(-4+9i) 解:原式=(1+2-4)+(-3+5+9)i =-1+11i

练一练
1 、设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面 内对应的点位于( D )

A. 第一象限, B. 第二象限,
C. 第三象限, D.???? 第四象限 ???? . 2、设O是原点,向量 OA,OB 对应的复数分 ??? ? 别为2-3i,-3+2i,那么向量 BA对应的复数是 (D )

A. -5+5i, C. 5+5i,

B. -5-5i, D. 5-5i.

我们规定,复数的乘法法则如下:
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数,那么

(a ? bi )(c ? di ) 2 ? ac ? adi ? bci ? bdi

? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i

说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数;

(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在 运算过程中把 i 2换成-1,然后实、虚部分别合并.

易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律

即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有

z1 ? z2 ? z2 ? z1
例2.计算

,

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ),

z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 .

(?2 ? i)(3 ? 2i)(?1 ? 3i)
2

解:原式= (?6 ? 4i ? 3i ? 2i )(?1 ? 3i )

= (?8 ? i )(?1 ? 3i ) 2 = 8 ? 24i ? i ? 3i = 5 ? 25i

实数集中的完全平方公式、平方差公式 等在复数集中仍然适用.
例3:计算:
(1) (3 + 4i)(3 - 4i) = 3 2 - (4i) 2 = 9 - (-16) = 25. (2) (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 1 + 2i - 1 = 2i.

(平方差公式)

(完全平方公式)

知识要点
注意本例 (1) 3+4i 与 3-4i 两复数的特点. 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反 数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等
于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

复数z=a+bi的共轭复数记作z, 即 z = a -bi
若Z1,Z2,是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点 有怎样的位置关系? ( 关于实轴对称 )
(2)Z1Z2是一个怎样的数?( 实数 )

先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式

a ? bi (c ? di ? 0). (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di (a ? bi )(c ? di ) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? (c ? di )(c ? di) ? c2 ? d 2
分母实数化
ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i 2 2 c ?d c ?d

例题分析
例4:(1+2i) ÷(3-4i)
先写成分 式形式

解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4 i ) (1 ? 2i )(3 ? 4i ) 1 ? 2i ? ? 3 ? 4i (3 ? 4i )(3 ? 4i )

然后分母实 数化

?5 ? 10i ? 25 1 2 ?? ? i 5 5

3 ? 6i ? 4i ? 8i 2 ? 2 2 3 ?4
结果化简成 代数形式

练习.计算 ⑴ (7 ? i ) ? (3 ? 4i )
1? i 2 ) ⑵( 1? i 1 1 ? ⑶ 3 ? 2i 3 ? 2 i

1- i

-1

4 i 13

注:复数的四则混合运算类似于分式的运算,例如进行 通分、化简等.

高考链接
(广东卷)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚 数(i是虚数单位,b为实数),则 b=( )

1 1 A. - 2 B. C. D.2 2 2
解析:(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i, 故2-b=0,故选D.

(全国卷I)设a是实数, a 1+ i 且 + 是实数,则a = ( 1+ i 2 1 3 A . B.1 C. D.2 2 2 )

答案:B.

(湖北卷)复数z = a + bi,a,b ∈ R, 且b ≠ 0, 若z 2 - 4bz是实数,则有序实数对(a,b) 可以是( ). (写出一个有序实数对即可)

【分析】:z 2 - 4bz = (a + bi)2 - 4b(a + bi) = a - 4ab - b + 2b(a - 2b)i 是实数,所以a = 2b, 取(a,b) = (2, 1).
2 2


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