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高三数学复习中档题15


中档题 15 一、填空题 1. 已知集合 A ? {1, 2} , B ? {x | mx ? 2 ? 0} ,且 A U B ? A ,则实数 m 的值为 .

?| x ? 1| ?2 , | x |? 1, 1 ? 2. 设 f ( x) ? ? 1 则 f ( f ( )) = . 2 | x |? 1, ?1 ? x 2 , ? 3. 在可行域内任取

一点, 规则如流程图所示, 则能输出数对 ( x , y) 的概率为 . 4. 设向量 a= (1, 2 ? x) ,b= (1 ? x , 2) ,则“a∥b”是“x=1”的 条件.(填“充分不

必要”“必要不充分”“充分且必要”或“既不充分又不必要”) 、 、 5. 在△ABC 中, cos2 为 . . 条.
B a?c (a , b , c 分别为角 A, B, C 的对边) ,则△ABC 的形状 ? 2 2c

6. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , an?1 ? (2n ? ? )an (n ? 1, 2 ,3 , ???) ,则 a3 ? 7. 与圆 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有 8. 对于函数 f ( x) ?

x ,下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 1? | x | ① ?x ? R , f (-x) + f ( x) = 0 ;② ?m ? (0 ,1) ,使得方程 f ( x) ? m 有两个不等的实数解; ③ ?k ? (1, ? ?) ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 在 R 上有三个零点;

④ ?x1 , x2 ? R , 若 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ). 二、解答题 9. 据 市 场 调 查 , 某 种 商 品 一 年 内 每 件 出 厂 价 在 6 千 元 的 基 础 上 , 按 月 呈
f ( x) ? Asin(? x ? ? ) ? B 的模型波动(x 为月份, ? ? 0 , | ? |?

?
2

,单位为千元) ,已知 3

月份达到最高价 8 千元,7 月份价格最低为 4 千元,该商品每件的售价为 g(x)(x 为月份), 且满足 g(x)=f(x-2)+2. (1) 分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式; (2) 问哪几个月能盈利?

10. 在△ABC 中,C-A= (1) 求 sinA 的值;

? 1 ,sinB= . 2 3

(2) 设 AC= 6 ,求△ABC 的面积.

11. 如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 ?1右 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A , B, 点 P 为双曲线 C2 : ? 4 3 4 3

支上(x 轴上方)一点,连结 AP 交点 C1 于 C, 连结 PB 并延长交 C1 于点 D,且△ACD 与△PCD 的面积相等,求直线 PD 的斜率及直线 CD 的倾斜角.

12. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a5 ? a13 ? 34 , S3 ? 9 . (1) 求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2) 设 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为 bn ?
an ,问是否存在正整 t,使得 an ? t

b1 , b2 , bm (m ? 3 , m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说

明理由.

13. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O . (1) 证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (2) 设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED .

14. 已知函数 f(x)= ax ?
3

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a>0. 2

(1) 若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (2) 若在区间 ? ? , ? 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2?

? 1 1?

中档题 15
1. 0,1,2
8 .①④

2.

4 13

3.

1 ?

4 .必要不充分

5 .直角三角形

6 . 15

7 .4 条

4 ? ? ? 3? 以 f ( x) ? 2 sin( x ? ) ? 6 ( 1 ? x ? 12 , x 为正整数). g ( x) ? 2 sin( x ? )?8 4 4 4 4 ( 1 ? x ? 12 , x 为正整数).
(2)由 g ( x) ? f ( x) ,得 sin

9 .(1) f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? B ,由题意可得, A ? 2 , B ? 6 , ? ?

?
4

,? ? ?

?

,所

?
4

x?

2 3 ? 9 , 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ,所以 2 4 4 4

8k ? 3 ? x ? 8k ? 9 , k ? Z ,因为 1 ? x ? 12 , k ? Z ,所以, k ? 0 时, 3 ? x ? 9 ,所
以 x ? 4,5,6,7,8 ; ? 1 时, ? x ? 17 , 所以 x ? 12 , 所以 x ? 4,5,6,7,8,12 , 4,5,6,7,8,12 故 k 11 月份能盈利.

10 .(1)由 A ? B ? C ? ? 及 C ? A ?

?
2

, 得 2A ?

?
2

? B ,故 0 ? A ?

?
4

,并且

3 ? 1 . cos 2 A ? cos( ? B) ? sin B ,即 1 ? 2 sin 2 A ? ,得 sin A ? 3 2 3
(2)由(1)得 cos A ?

6 AC BC AC ? sin A .由正弦定理得 ,所以 BC ? ? ?3 2. 3 sin B sin A sin B

因为 C ?

?

? 6 ,因此 ? A ,所以 sin C ? sin( ? A) ? cos A ? 2 3 2

S ?ABC ?

1 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? AC ? BC ? cos A ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2. 2 2 2 3

11 .由题意得 C 为 AP 的中点,设 C ( x0 , y0 ) , A(?2,0) ,则 P(2 x0 ? 2,2 y 0 ) ,分别把 C 点

代入椭圆方程、 P 点代入双曲线方程可得

?

? x0 ?1 ? 3 3 ( 2 x0 ? 2 ) 2 ? 4 y 0 2 ?12 ,解之得 y 0 ? ? 2
3 x0 2 ? 4 y 0 2 ?12

,故

3 3?0 3 C (1, ) , P(4,3) .又因为 B(2,0) ,故直线 PD 的斜率为 ? ,直线 PD 的方程为 2 4?2 2

? y ? 3 ( x ? 2) ? 2 3 3 ? 2 2 y ? ( x ? 2) ,联立 x ? y ?1 解得 D(1,? ) ,直线 CD 的倾斜角为 90 ?4 3 2 2 ?
12 .(1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,由已知得 3 a 2 ? 9

o

.

?

a 5 ? a13 ? 34

?

a1 ? 8 d ?17 即 a1 ? d ? 3 ,解得

?

a1 ?1 2 d ? 2 ,故 a n ? 2n ? 1 , S n ? n .
(2)由(1)知 bn ?

2n ? 1 ,要使 b1 , b2 , bm 成等差数列,必须 2b2 ? b1 ? bm ,即 2n ? 1 ? t 3 1 2m ? 1 4 , 整理得 m ? 3 ? , 因为 m, t 为正整数, 所以 t 只能取 2,3,5 . 2? ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1
当 t ? 2 时,m ? 7 ; t ? 3 时,m ? 5 ; t ? 5 时,m ? 4 .故存在正整数 t , 当 当 使得 b1 , b2 , bm 成等差数列.

13.(1)因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,? PA ? BD 又 AC ? BD , PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,

? BD ? 平面 PAC , 而 BD ? 平面 PBD ,所以平面 PBD ⊥平面 PAC (2)? AC ? BE , AC ? BD , BE 和 BD 为平面 BED 内两相交直线, ? AC ? 平面 连接 EO ,? EO ? 平面 BED ,? AC ? EO , BED , ? PA ⊥平面 ABCD ,? AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PA , 又 AC , PA, EO 共面,? EO // PA , 又? PA ? 平面 BED , EO ? 平面 BED ,? PA // 平面 BED

14.(1)当 a=1 时,f(x)= x ?
3

3 2 x ? 1 ,f(2)=3; f ?(x) = 3x 2 ? 3x , f ?(2) =6. 2
1 . a

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (2) f ?(x) = 3ax ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令 f ?(x) =0,解得 x=0 或 x=
2

以下分两种情况讨论:

①若 0 ? a ? 2,则

1 1 ? ,当 x 变化时, f ?(x) ,f(x)的变化情况如下表: a 2
0

X

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

f ?(x)
f(x)

0 极大值

?

?

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) ? 0, ? 8 ? 0, ? ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,(x)>0 等价于 ? , 即? f ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?
解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . ②若 a>2,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时, f ?(x) ,f(x)的变化情况如下表: a 2
0

x

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

f ?(x)
f(x)

0 极大值

?

?

?

?5 ? a ? 1 ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, ? ? ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? , ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? a ? 2a 2 ? ?
解不等式组得

2 2 ? a ? 5或a ? ? ,则 2<a<5. 2 2

综合①、②,可知 a 的取值范围为 0<a<5.


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