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第4章 流体阻力和水头损失


China University of Petroleum

第4章 流体阻力和水头损失

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第4章 流体阻力和水头损失
实际流体在运动过程中要产生能量损失:

z1 +

p1

γ

+

α1V12<

br />2g

= z2 +

p2

γ

+

α 2V2 2
2g

+ hw1? 2

产生能量损失的原因是由于流体受到阻力作用。流体流动阻力产生的原因 是什么,以及怎样来确定因流动阻力而产生的水头损失的计算方法,则是 本章研究的内容。

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第4章 流体阻力和水头损失
§4.1 管路中流动阻力产生的原因及分类
1、产生流动阻力的原因

外因
① 流道断面几何参数的影响
a、与流体接触的断面周长

与流体接触的断面周长。 湿周χ:与流体接触的断面周长 与流体接触的断面周长

χ ↑ ,一定长度管路与流体的接触面积越大,产生的阻力 ↑
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第4章 流体阻力和水头损失
b、过流面积的大小

A ↑,阻力 ↓; A↓,阻力↑ 因此,要综合考虑A、χ 两个因素,引入水力半径R。 水力半径: 水力半径 R =
A

χ

,流道过流面积与湿周之比 流道过流面积与湿周之比。 流道过流面积与湿周之比

R ↑,阻力 ↓; R↓,阻力↑ 例子: 例子: 充满圆管的流动

π
A

d R= = 4 = χ πd 4

d2

d

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第4章 流体阻力和水头损失
对非圆形管路,其当量直径 水力直径 当量直径(水力直径 当量直径 水力直径): d当 = 4 R 充满矩形管路的流动
R= A

χ

=

ab 2(a + b )
a

b

2ab d当 = 4 R = a+b
矩形明渠流动 A bh R= = χ b + 2h

h

d当 = 4 R =

4bh b + 2h

b
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第4章 流体阻力和水头损失
圆环形管路的流动 π 2 π 2 D ? d A 4 1 4 R= = = (D ? d ) 4 χ πD + πd

d

D

d当 = 4 R = D ? d
② 壁面粗糙度对流动阻力的影响 管壁上突起的高度,叫绝对粗糙度 绝对粗糙度。而把它的平均值叫平均粗糙度 平均粗糙度,用 绝对粗糙度 平均粗糙度 “?”表示,单位:mm。
? 称为相对粗糙度 相对粗糙度,是一无因次量。 相对粗糙度 d

? ↑,引起涡流而消耗能量,阻力↑
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第4章 流体阻力和水头损失
③ 管路长度对流动阻力的影响 l ↑,接触面积↑,阻力↑

内因
根本原因应该从流体内部的运动特性去说明。 流体流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象,都会使流体的能量产生损失。 因此,质点摩擦所表现的粘性 粘性,以及质点发生撞击引起运动速度变化表现的 粘性 惯性,是流动阻力的根本原因。 惯性

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第4章 流体阻力和水头损失
2、流动阻力的分类
实际工程中管路都是由许多直管段和通过各种管件联接的管系。 沿程阻力:流体沿直管段产生的阻力。 沿程阻力 沿程水头损失:为了克服沿程阻力而引起的水头损失,记为hf 。 沿程水头损失 局部阻力:流动中流体遇到局部障碍而产生的阻力。 局部阻力 局部水头损失:克服局部阻力所引起的水头损失,记为hj 。 局部水头损失 总水头损失: 总水头损失 hw =

∑h + ∑h
f

j

一般地,hf是主要的,占全管路总损失的90%;hj占10%,对室内管线, 有时hj可达30%。
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第4章 流体阻力和水头损失
§4.2 两种流态及转化标准
关于流动阻力的研究,首先是从观察流动状态的变化开始的。 1883年,英国物理学家雷诺 雷诺(O. Reynolds)总结了大量的试验结果,发现 雷诺 任何实际流体运动都存在层流 紊流(湍流)两种不同的流动状态,并找 层流和紊流 层流 紊流(湍流) 出了划分两种流态的标准。

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第4章 流体阻力和水头损失
1、雷诺试验

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第4章 流体阻力和水头损失
有色液体

节 门 逐
水 金属网 节门

渐 开 大

玻璃管 排水 进水

层流: 层流 分层流动,有条不紊,互不掺混 临界状态: 临界状态:颤动,不稳定 紊流(湍流) 紊流(湍流): 杂乱无章,相互掺混
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第4章 流体阻力和水头损失
临界流速:指流态转化时,临界状态的流速。用Vc表示。 临界流速

注意:上述试验从大流速到小流速进行,也会出现相反的类似变化过程。 问题:如何来划分层流和紊流? 问题:如何来划分层流和紊流? 2、流速与沿程损失的关系
从表面上看,流动状态的改变与流速大小有直接关系,能否用流速作为区分 层流与紊流的标准呢? 为说明这个问题,下面我们来研究一下流速与沿程水头损失的关系。

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第4章 流体阻力和水头损失

试验是在雷诺试验装置的管段上,接出两根相距为l的测压管,如图。 列伯诺利方程:
2 2

V p V z1 + + 1 = z 2 + 2 + 2 + h f γ 2g γ 2g
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p1

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∵ ∴

z1 = z 2 , V1 = V2
hf = p1 ? p2

γ

Q A 调节阀门,得到不同的V、hf,将各组试验结果整理在双对数坐标纸 双对数坐标纸上,得 双对数坐标纸

同时,根据实测流量Q和管子断面面积A,求得平均流速:V =

到不同斜率的直线。 图中,从层流到紊流和从紊流到层流经 过的路线不同。 层流区 可分三个区 过渡区(临界区 过渡区 临界区) 临界区 紊流区
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第4章 流体阻力和水头损失
直线方程是: lg h f = lg k + m lg V 式中: lgk —— 直线的截距; m —— 直线的斜率,且m=tgθ;

大量试验证实: 大量试验证实:
层流时: 层流时 θ1=45°,m=1 紊流时: 紊流时 θ2>45°,m=1.75~2

lg h f = lg k1 + lg V
∴ h f = k1V

lg h f = lg k 2 + m lg V
m ∴ h f = k 2V

故,层流时 hf ∝ V ;紊流时 hf ∝ V1.75~2
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第4章 流体阻力和水头损失
上临界流速 Vc′ :由层流转化为紊流时对应的流速。 下临界流速 Vc :由紊流转化为层流时对应的流速。

因为过渡区流体不稳定,稍微受干扰,就有可能变成紊流,因此, 规定:对确定的流体介质和管路直径,以下临界流速 作为判别流态的依据。 规定 对确定的流体介质和管路直径,以下临界流速Vc作为判别流态的依据 对确定的流体介质和管路直径
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3、流态判定标准
试验中进一步发现:临界流速 管径d有关 有关。当变换管径 试验中进一步发现 临界流速Vc与流体性质?、管径 有关 临界流速 或变换流动介质时,临界流速就要发生变化。因此,只用临界流速 c来判 只用临界流速V 只用临界流速 别流态是不全面的。 别流态是不全面的 大量试验证明: 大量试验证明:不同流体通过不同直径的管路时,虽然临界流速Vc各不相 同,但下面组合量却大致相同:

ρVc d Vc d Re c = = = 2000 ~ 2300 ? ν
Re c 叫临界雷诺数 临界雷诺数,是一无因次量。 临界雷诺数

ρVd Vd = 一般情况下,圆管内的雷诺数计算式: Re = ? ν
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习惯上取 Re c = 2000 作为标准。 当 Re≤2000,层流 Re>2000,紊流 雷诺数的物理意义:表示流体运动中惯性力与粘性力之比。 雷诺数的物理意义 表示流体运动中惯性力与粘性力之比。 表示流体运动中惯性力与粘性力之比 Re小时,粘性力为主; Re大时,惯性力为主。

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例题: 例题:
管内径d=100mm,水的流速V=0.5m/s,水的ν=10-6m2/s,问水在 管中呈何种 流态?如果管中为油,V不变,ν=31×10-6m2/s,则又呈何流态? 解:水的雷诺数:
Re = Vd

ν

=

0 .5 × 0 .1 = 5 ×10 4 > 2000 10 ?6

故,水在管中呈紊流状态。 油的雷诺数:
Re = Vd

ν

=

0 .5 × 0 .1 = 1610 < 2000 ?6 31×10

故,油在管中呈层流状态。
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第4章 流体阻力和水头损失
实际流体运动微分方程( 方程) §4.3 实际流体运动微分方程(Navier-Stokes方程) 方程
在第三章中,导出了理想流体运动微分方程,即欧拉运动方程式。
X? 1 ?p du x = ρ ?x dt

1 ?p du y Y? = ρ ?y dt
Z? 1 ?p du z = ρ ?z dt

实际流体与理想流体的区别仅在于存在内摩擦力或粘性力。因此,在分析 实际流体与理想流体的区别仅在于存在内摩擦力或粘性力 方法上,仍与推导理想流体运动微分方程时相同,采用微元分析法 采用微元分析法 采用微元分析法,即取 一块正交六面体的流体微元来分析其平衡状况,所不同的仅是表面力中除 所不同的仅是表面力中除 法向力外,应再加上切向力。 法向力外,应再加上切向力 20

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1、以应力形式表示的实际流体运动微分方程
在运动的实际流体中,取一微元正交六面体 微元正交六面体,边长分别为dx、dy、dz。其 微元正交六面体 质量为 M = ρdxdydz ,去掉其外界一切,加上力。 角码规定: 角码规定:例如 τ xy :x(第一个字母)——在垂直于x轴的平面上; y(第二个字母)——应力沿着y轴方向。
z

p xx :在垂直于x轴的平面上,沿着x轴方向。
τ xz +
p xx

?τ xz dx ?x ?p xx dx ?x
?τ xy ?x dx

τ xz

τ xy

dz

p xx +
dx

m

dy

τ xy +

x
y

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(1)垂直于x轴的两个平面上的表面力: 法向应力: p xx , ? ? p xx + ? 切向应力:? τ xy

?p xx ? dx ? ?x ? ? ?τ , ? τ xz , ?τ + xy dx ? , ?τ + ?τ xz dx ? ? xy ? ? xz ? ? ? ?x ?x ? ? ? ?

(2)垂直于y轴的两个平面上的表面力: ?p ?p ? ? 法向应力: p yy , ? ? p yy + yy dy ? ? ? ?y ? ? 切向应力:? τ yx , ? τ yz

?τ yx ? ? , ?τ yx + dy ? , ? ? ?y ? ?

?τ yz ? ? ?τ yz + dy ? ? ? ?y ? ?

(3)垂直于z轴的两个平面上的表面力: ?p 法向应力: p zz , ? ? p zz + zz dz ? ? ? ?z ? ? 切向应力: ? τ zx , ? τ zy

?τ ? ? , ?τ zx + zx dz ? , ?z ? ?

?τ zy ? ? ?τ zy + dz ? ? ? ?z ? ?

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第4章 流体阻力和水头损失
共18个应力分量,沿每个轴向有6个。例如,沿x轴向: 法向: p xx , ? ? p xx +
? ?? τ yx , ? 切向:? ?? τ , ? zx ?

? ?

?τ yx ? ? ?τ yx + dy ? ? ? ?y ? ? ?τ ? ? τ zx + zx dz ? ? ?z ? ?

?p xx ? dx ? ?x ?

设单位质量的质量力分别为X、Y、Z,根据牛顿第二定律,得:
? 1 ? ?p xx ?τ yx ?τ zx ? du x ?X ? ? ? ?x ? ?y ? ?z ? = dt ? ρ? ? ? ? 1 ? ?p yy ?τ zy ?τ xy ? du y ? ?Y ? ? ? ?y ? ?z ? ?x ? = dt ? ρ? ? ? ? ?τ ? ? ?Z ? 1 ? ?p zz ? ?τ xz ? yz ? = du z ρ ? ?z ? ?x ?y ? dt ? ? ?

(1)

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第4章 流体阻力和水头损失
此式为应力形式的实际流体运动微分方程 应力形式的实际流体运动微分方程。方程中未知数共有12个:9个应 应力形式的实际流体运动微分方程 力分量、3个速度分量。

2、把(1)式中的应力化为速度梯度形式的运动方程(N-S方 式中的应力化为速度梯度形式的运动方程( 方 程):
切应力与速度梯度的关系

du dθ =? 仿照: τ = ? dy dt
? ?u z ?u x ? ? τ zx = τ xz = ? ? + ?? ?z ? ? ? ?x ? ?u y ?u x ?? ? 有: τ yx = τ xy = ? ? ?? + ? ?x ?y ?? ? ? ? ?u z ?u y ? ? ? τ zy = τ yz = ? ? ? ?y + ?z ? ? ? ? ??

(2) —— 广义牛顿内摩擦定律
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第4章 流体阻力和水头损失
法向应力之间的关系 实际流体中一点压强各向不同: 实际流体中一点压强各向不同:

p xx ≠ p yy ≠ p zz
(3)

?u y ?u x ?u z 令 = p yy + 2 ? = p zz + 2 ? =p 经过坐标变换可证出: p xx + 2? ?x ?y ?z

? ?u x ?u y ?u z ? 三者之和: p xx + p yy + p zz + 2? ? ? ?x + ?y + ?z ? = 3 p ? ? ?
∵ ∴ ∴
?u x ?u y ?u z + + = 0 (不可压缩流体的连续性方程) ?x ?y ?z

3 p = p xx + p yy + p zz
p= 1 ( p xx + p yy + p zz ) 3
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故p为三个方向正应力的平均压强,称p为水动压强。

第4章 流体阻力和水头损失
把(2)、(3)式代入(1)式,得: x向:
1?? ? ?u x ? ? ? ? ?u y ?u x ?? ? ? ? ?u x ?u z ?? ? du x ? ? ?? ? ? ? ? X ? ? ? p ? 2? + + ? ? ?? ? ?? ? = ρ ? ?x ? ?x ? ?y ? ? ?x ?y ?? ?z ? ? ?z ?x ?? ? dt ? ? ? ?

展开:
2 1 ?p 2? ? 2u x ? ? u y ? ? 2u x ? ? 2u x ? ? 2u z du x X? + + + + + = 2 2 2 ρ ?x ρ ?x ρ ?y?x ρ ?y ρ ?z ρ ?z?x dt



? =ν ρ

? ? 2u x ? 2u x ? 2 u x ? 1 ?p ? ? ?u x ?u y ?u z ? du x +ν ? 2 + 2 + 2 ? +ν ? ∴ X? ? ?x + ?y + ?z ? = dt ? ? ?x ? ?y ?z ? ?x ? ρ ?x ? ?
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第4章 流体阻力和水头损失


?u x ?u y ?u z + + =0 ?x ?y ?z

? ? 2u x ? 2u x ? 2u x ? du x ? 1 ?p +ν ? 2 + 2 + 2 ? = X? ∴ ? ρ ?x ? ?x ?y ?z ? dt ? ? ? ? ? 2u y ? 2u y ? 2u y ? du y ? 1 ?p ? 同理: Y ? +ν ? 2 + 2 + 2 ? = ? ρ ?y ? ?x ?y ?z ? dt ? ? ? ? ? ? 2u z ? 2u z ? 2u z ? du z ? 1 ?p Z? +ν ? 2 + 2 + 2 ? = ρ ?z ? ?x ?y ?z ? dt ? ? ? ?
?2 ?2 ?2 拉普拉斯算子:? = 2 + 2 + 2 ?x ?y ?z
2

此为N-S方程 方程。 方程

? v ? v ? v j+ k 哈密顿算子: ? = i + ?z ?x ?y

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第4章 流体阻力和水头损失
∴ 上述方程亦可写成:

du 1 ?p ? + ν? 2 u x = x X? ? dt ρ ?x ? du y ? 1 ?p 2 + ν? u y = ?Y ? dt ρ ?y ? ? 1 ?p du Z? + ν? 2 u z = z ? dt ρ ?z ?

v ?u v v v 1 2v 矢量形式: + (u ? ? )u = f ? ?p +ν? u ρ ?t

单位质量流体所受的粘性力

?ui ?ui 1 ?p ? ? 2ui 张量形式: + u = fi ? + j ?t ?x j ρ ?xi ρ ?x j ?x j
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第4章 流体阻力和水头损失
物理意义:单位质量流体所受的质量力、表面力(法向力和切向力)和惯性 物理意义 力相平衡。 适用条件:不可压缩实际流体 适用条件 若为理想流体,ν = 0,方程化为欧拉运动方程; 若流体静止, u x

= u y = u z = 0,方程化为欧拉平衡方程。

故,N-S方程更具有普遍意义。 方程的可解性:方程中包含有4个未知数:p,ux,uy,uz, 求解N-S方程是 方程的可解性 流体力学的一项重要任务。许多层流问题,如圆管层流、平行平板间层流、 同心圆环间层流问题都可以用N-S方程式求出精确解。更复杂的问题(紊 流问题)还不能用纯数学分析的方法解出。
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第4章 流体阻力和水头损失
§4.4 因次分析和相似原理
理论上讲,实际流体的流动问题可通过求解N-S方程来解决。象一些简单的 层流问题可以通过解N-S方程得出精确解,而对一些复杂的问题,目前还不 能通过解方程得到解析解,多是靠实验或实验与数学分析相结合的方法来 处理的。实验研究方法的理论基础是因次分析与相似原理 实验研究方法的理论基础是因次分析 实验研究方法的理论基础是因次分析与相似原理。 “一个漂亮的实验往往比从我们头脑中想出来的二十个公式更有价值” 一个漂亮的实验往往比从我们头脑中想出来的二十个公式更有价值” —— 爱因斯坦

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第4章 流体阻力和水头损失
1、因次分析
单位、因次、 单位、因次、因次表达式 单位:衡量物理量大小采用的基准。 单位 例如:光在真空中299792458分之一秒所经过的行程作为量度长 度的标准,称为“米”,1米的百分之一为“厘米”。 因次:描述物理量的单位所属类型的符号,用“[ ]”表示。 因次 长度:m,cm,mm,km 时间:s,min,h 质量:kg,kgf·s2/m 为长度因次 [L] 为时间因次 [T] 为质量因次 [M]

无因次量:没有单位的常数,因次为[1]。 无因次量 例如: δ,i ,Re
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第4章 流体阻力和水头损失
基本因次:在某一单位制中,基本单位对应的因次为基本因次。 基本因次 例如:国际单位制中,[L]、[T]、[M] 工程单位制中,[L]、[T]、[F] 物理单位制中,[L]、[T]、[M] 导出因次:对应于导出单位的因次。 导出因次 例如, 面积: [A] =[L2] 速度: [V] =[LT-1] 加速度: [a] =[LT-2] 力: [F] =[ma] =[MLT-2] 应力: [τ] =[F/A] =[ML-1T-2]



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第4章 流体阻力和水头损失
因次表达式:任何一个物理量的因次,可以用基本因次来表示。 因次表达式 力:[F] = [MLT-2]
du 速度梯度:[ ] =[T-1] dy

? ? ? τ ? ? ML?1T ? 2 ? = ML?1T ?1 动力粘度: [? ] = ? ? = ? ? ?1 ? du ? ? T ? ? ? ? dy ? 因次的齐次性(和谐性) 因次的齐次性(和谐性) 任何一个完整的物理方程中每项的因次相同,称为因次的齐次性。否则方程 任何一个完整的物理方程中每项的因次相同,称为因次的齐次性 是错的。

[

]

例: p = p0 + γh

? MLT ?2 ? ? MLT ?2 ? ? MLT ?2 ? ? L? 国际单位制中:? ?=? ?+? 2 2 3 ? L ? ? L ? ? L ?


[ML T ] = [ML T ]+ [ML T ]
-1 ?2 -1 ?2 -1 ?2

方程是齐次的。

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第4章 流体阻力和水头损失
两点说明: 两点说明: ① 方程的因次齐次,方程形式不随单位制变化。 如: G=mg ② 方程中的无因次常数不随单位制变化。有因次常数随单位制变 化。 国际单位:9.8 m/s2 如: G=mg中的g 物理单位:980 cm/s2 应用: 应用: ① 用以检验物理方程是否正确。 ② 可以检查经验公式中经验系数的因次。 π p1 ? p2 Q = α d 2 2g 例:孔板流量计公式 4 γ

[α ] =

[L T ]
3 ?1

[L ][LT ]
2

1 ?2 2

? ML?1T ? 2 ? ? ML?3 ? LT ? 2 ? ? ?

1 2

= [1]
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第4章 流体阻力和水头损失
因次分析方法 —— π定理 将有因次的函数关系化为无因次的函数关系式的方法。无因次函数式 不受单位制的影响。 π定理的内容: 定理的内容: 任一个物理过程,如包含n个物理量,涉及到m个基本因次(m≤3),则 这个物理过程可由这 n 个物理量组成的( n-m )个无因次量(积)所 表达的关系式来描述。

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第4章 流体阻力和水头损失
π定理的应用步骤: 定理的应用步骤: ① 研究某一物理现象,全面、准确地确定所包含的n个物理量。 α1、 α2、 ……, αn。 ② 选取m(m≤3)个基本物理量(相对独立的)。例:取α1、 α2、 α3为基 本物理量。流体力学中,常取ρ、V、d。 [ρ] =[ML-3] [V] =[LT-1] [d] =[L] ∵ 其因次系数行列式:
1 ?3 0 0 1 ?1 = 1 ≠ 0 0 1 0

满足ρ、V、d独立的条件是因次表达式中因次系数 的行列式的值不等于零。

∴ ρ、V、d 相互独立。

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第4章 流体阻力和水头损失
③ 从基本物理量以外的(n-m)个物理量中,每次选取一个与m个基本物 理量组成一个无因次量,共( n-m)个。

π i = α1k α 2 k α 3 k α i
1 2 3

i = 4, 5, 6, L , n
n-m个

④ 根据因次的齐次性,确定k1、k2、k3。

[π ] = [M 0 L0T 0 ] = [1]

⑤ 写出函数关系式 f (π 1 , π 2 , K , π n ?m ) = 0 。

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第4章 流体阻力和水头损失
例:研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力P,与桨直径D、推进速度V、 转数n、重力加速度g、流体密度ρ和流体运动粘度ν有关。试确定推力P的 表达式。 解:写出各物理量的因次表达式(用国际单位制),n=7
[P] =[MLT-2] [D] =[L] [V] =[LT-1] [n] =[T-1] [g] =[LT-2] [ρ] =[ML-3] [ν] =[L2T-1]

选ρ、V、D三个基本物理量。因共有7个物理量,则共有7-3=4个无因次量π。 组合无因次量:
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第4章 流体阻力和水头损失
π1 = ρ k V k Dk ? P
1 2 3

k 因次方程式: [M 0 L0 T 0 ] = [ML?3 ] [LT ?1 ] [L ] [MLT ? 2 ] k1 k2
3

对于M: 0 = k1 + 0 + 0 + 1 L: 0 = ?3k1 + k 2 + k3 + 1 T: 0 = 0 ? k 2 + 0 ? 2 解得: k1 = ?1, k 2 = ?2, k3 = ?2 故: π 1 =

P ρV 2 D 2

同理:π = ρ k1V k 2 D k3 ? g 2 解得: k1 = 0, k 2 = ?2, k3 = 1 Dg π2 = 2 ∴ V

如何求解? 如何求解? 请课下练习一下! 请课下练习一下!

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第4章 流体阻力和水头损失
k k k 又 π 3 = ρ 1V 2 D 3 ?ν

解得: k1 = 0, k 2 = ?1, k3 = ?1 ∴ π3 =

ν
VD

k k k 而 π 4 = ρ 1V 2 D 3 ? n

解得: k1 = 0, k 2 = ?1, k3 = 1 ∴ π 4 = nD V ? φ? 故,无因次方程为: ? 或: ∴

P Dg ν nD ? ?=0 , 2, , 2 2 ? ? ρV D V VD V ?

P ? Dg ν nD ? = f? 2 , , ? V VD V ? ρV 2 D 2 ?

? Dg ν nD ? P = ρV 2 D 2 f ? 2 , , ? ? V VD V ?

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第4章 流体阻力和水头损失
Dg ν nD , 从上例中可以看出:实验中,只考虑三个无因次量( 2 , ),求出 从上例中可以看出 V VD V

f(

) 来,P的公式就可以得到,而不必考虑每一个物理量对P的影响。

这样把有因次量化为无因次量,使实验工作量大大减少了。

补充: 补充:
雷利法(Rayleigh): 雷利法 当变量(即物理量)不超过4个,则可以直接应用因次的齐次性原理来分 析,这时可组成一个无量纲数。

π = α 2 k α 3 k α 4 k α1
1 2 3

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第4章 流体阻力和水头损失
2、相似原理
工程上许多流体力学问题,需要用实验的方法来进行研究。大多数情况下, 实验都是利用模型来进行的,为了能够在模型流动上表现出实物流动的主要 现象和性能,也为了能够从模型流动上预测实物流动的结果,必须使模型流 动与其相似的实物流动保持相似关系。 相似:是指实物流动与模型流动在对应点上对应物理量都应该有一定的比例 相似: 关系。具体来说,在流体力学中,两个现象的相似必须满足以下几个条件: 几何相似 运动相似 动力相似 符号规定: 符号规定:模型参数用脚码“m”表示; 原型(实物)参数用脚码“n”表示。

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第4章 流体阻力和水头损失
几何相似
原型与模型中对应的几何线性尺寸成比例,对应的几何角度相等 原型与模型中对应的几何线性尺寸成比例,对应的几何角度相等。 几何长度比尺: δ l =

ln lm
2

正好等于因次之比! 正好等于因次之比!

A l 面积比尺: δ A = n = n 2 = δ l 2 Am lm V l 体积比尺: δ V = n = n 3 = δ l 3 Vm lm
3

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第4章 流体阻力和水头损失
运动相似
原型与模型中对应点的运动参数(速度、加速度)的方向一致,大小成比例 原型与模型中对应点的运动参数(速度、加速度)的方向一致,大小成比例。

tn 时间比尺: δ t = tm
速度比尺:δ v =

vn l n t n δ l = = vm l m t m δ t
2

δ a l t 加速度比尺:δ a = n = n n 2 = l2 am lm t m δt

44

第4章 流体阻力和水头损失
动力相似
原型与模型中对应点上受力的方向一致,大小成比例 原型与模型中对应点上受力的方向一致,大小成比例。

Fn M n an ρ nVn an 3 δl 2 2 力的比尺:δ F = = = = δ ρδ l 2 = δ ρδ l δ v Fm M m am ρ mVm am δt


Fn ρ n l n vn = Fm ρ mlm 2 vm 2
2 2

密度比尺

上式亦可以写为:

Fn Fm = 2 2 ρ n l n vn ρ m l m 2 vm 2
定义: Ne =

F ρl 2 v 2

称为牛顿数 牛顿数,为一无因次数。 牛顿数
45

第4章 流体阻力和水头损失
Ne的物理意义 的物理意义:为作用力与惯性力之比。 的物理意义 ∴

Nen = Nem

两个几何相似的流动, 结论:两个几何相似的流动,如果动力相似,则牛顿数必相等; 两个几何相似的流动 如果动力相似,则牛顿数必相等; 反之,牛顿数相等的两个几何相似的流动,必为动力相似。 反之,牛顿数相等的两个几何相似的流动,必为动力相似。 注意:牛顿数中的力 泛指流动所受外力的总和 注意:牛顿数中的力F泛指流动所受外力的总和 泛指流动所受外力的总和,其中可能包括:重力、 粘性力、压力、表面张力等。由于若干实际条件的限制,要使所有的力都 满足牛顿数相等 ,往往是不可能的。因此,在进行模型实验时,常只考虑 在进行模型实验时, 在进行模型实验时 在某现象中起主要作用的某一种力,使其满足牛顿数相等的关系, 在某现象中起主要作用的某一种力,使其满足牛顿数相等的关系,而忽略 其他的力,做到近似的(或局部的)动力相似。 其他的力,做到近似的(或局部的)动力相似 完全动力相似:所有外力都满足牛顿数相等。 完全动力相似 近似(局部)动力相似:部分外力满足牛顿数相等。 近似(局部)动力相似
46

第4章 流体阻力和水头损失
根据所研究的对象不同,常用的有以下几个局部动力相似准数: (1) 雷诺数(Reynolds number) 雷诺数( ) 当在流动中粘性力起主要作用 粘性力起主要作用时。例如:对完全封闭的流动,如管道、流 粘性力起主要作用 量计、风扇、泵、透平中,或在流动中物体完全淹没,如车辆、潜水艇、飞 机和建筑物。 粘性力的因次:

? du ? ? 2 v ? [T ] = ??A ? = ??L ? = [?Lv] L? ? dy ? ?
代入牛顿数表达式:

Fn Fm = ρ n l n 2 v n 2 ρ m l m 2 vm 2

47

第4章 流体阻力和水头损失
用T替换 替换F,得: 替换 ∵ ∴

? n l n vn ? l v = m m m2 ρ n l n 2 v n 2 ρ m l m 2 vm

? =ν ρ

νn
vn l n
vl

=

νm
vm l m

倒过来:

vn l n

νn

=

vm l m

νm

令 Re =

ν

, 称为雷诺数 雷诺数,为一无因次量。 雷诺数 这里 l为特征长度,v为特征速度, 物理意义: 物理意义:惯性力与粘性力之比。

则: Re n = Re m
48

第4章 流体阻力和水头损失
(2)富劳德数(Froude number) 富劳德数( 富劳德数 ) 当在流动中,重力起主要作用 重力起主要作用时。例如:在具有自由表面的液流中,重力 重力起主要作用 是起主要作用的力。研究船舶或水上飞机外壳产生的表面波,以及明槽中的 流动情况。 重力的因次:

[G ] = [Mg ] = [ρVg ] = [ρL3 g ] = [ρgL3 ]
代入牛顿数表达式:

ρ n g n ln 3 ρ m g m lm 3 = 2 2 ρ n l n vn ρ m l m 2 vm 2


g n ln g m lm = 2 2 vn vm
49

第4章 流体阻力和水头损失
v v 倒过来: n = m g n ln g m l m
2 2

v2 令 Fr = , 称为富劳德数 富劳德数,为一无因次量。 富劳德数 gl
物理意义:惯性力与重力之比。 物理意义: 则: Frn = Frm

50

第4章 流体阻力和水头损失
(3)欧拉数(Euler number) 欧拉数( 欧拉数 ) 当压力起主要作用 压力起主要作用时。例如:研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压 压力起主要作用 强分布时,压力成为起主要作用的力。 压力的因次:

[P] = [ pA] = [pL2 ]
代入牛顿数表达式:

pn l n pm l m = ρ n l n 2 v n 2 ρ m l m 2 vm 2


2

2

pn pm = 2 ρ n vn ρ m vm 2
51

第4章 流体阻力和水头损失
令 Eu =

p , 称为欧拉数 欧拉数,为一无因次量。 欧拉数 2 ρv
物理意义: 物理意义:压力与惯性力之比。

则: Eu n = Eu m 以上三个相似准数是判断原型与模型动力相似的准则数,但要在同一个 物理现象中同时满足所有准则数是很困难的。

例如,雷诺数和富劳德数就不易同时满足: 例如,雷诺数和富劳德数就不易同时满足:
欲使Re相等,将有:

vn l n

νn

=

vm l m

νm

vn lm ν n δν ? = ? = vm l n ν m δ l
1 2

?l ? v v v 欲使Fr相等,将有: n = m ? n = ? n ? g n ln g m lm vm ? l m ? ? ?
2 2

? gn ? ? ?g ? ? ? m?

1

2

= δl

1

2

52

第4章 流体阻力和水头损失
为此,若同时满足Re和Fr相等,则在比尺上必须满足:
1 δν = δl 2 δl

即:

δν = δ l

3

2

3 νn 如果取 δ l = 5 ,则 δν = =5 2 νm

即: ν m = 0.0894ν n 这在技术上很难甚至不可能做到!

53

第4章 流体阻力和水头损失
例1: :
利用内径50mm的管子通过水流来模拟内径500mm管子内的标准空气流,若 气流速度为2m/s,空气运动粘度为0.15cm2/s。水的运动粘度为0.01cm2/s,为 保持动力相似,则模型管中的水流速度应为若干? 解:管内流动,粘性力起主要作用。取内径D为特征长度,平均流速V为特征 速度,根据雷诺数相等,有

Re n = Re m
即:

Vn Dn

νn

=

Vm Dm

原型: 原型:空气流 模型: 模型:水流

νm

已知: Dn = 500mm

Dm = 50mm

ν n = 0.15 cm s
2

ν m = 0.01cm 2 s
54

Vn = 2 m s

第4章 流体阻力和水头损失


Dn ν m Vm = Vn ? ? Dm ν n = 2× = 500 0.01 × 50 0.15

4 (m s ) 3
4 m s。 3

则模型中水流速度应保持

55

第4章 流体阻力和水头损失
例2: :
有一直径为0.15m的输油管,管中通过油的流量为0.018m3/s,油的运动粘度 为0.05×10-4m2/s,现用水通过直径为0.05m的管路做模型实验。如水的运动 粘度为0.013×10-4m2/s,问水的流量应该是多少才能达到相似? 解:取管直径d为特征长度,平均流速V为特征速度,根据雷诺数相等,有

Re n = Re m
即: ∴ 又

Vn d n

νn

=

Vm d m

νm

原型: 原型:油 模型: 模型:水

Vm = Vn ?
Vn =

dn ν m ? dm ν n
=

π

Qn dn
2

π
4

0.018 × 0.152

= 1.02(m s )
56

4

第4章 流体阻力和水头损失
∴ ∴
0.15 0.013 ×10 ?4 Vm = 1.02 × × = 0.796(m s ) ?4 0.05 0.05 ×10
Qm = Vm ?

π
4

d m = 0.796 ×
2

π
4

× 0.052 = 0.00156 m 3 s

(

)

57

第4章 流体阻力和水头损失
§4.5 圆管层流分析
当Re<2000时,管内流动为层流。本节着重从理论上分析圆管中层流的几 个特点,以及沿程水头损失的计算方法。 如图:在水平等径管内, 如图:在水平等径管内,充分发展 的稳定层流流动,不可压缩流体。 的稳定层流流动,不可压缩流体。 建立圆柱坐标系如图所示。 在管中围绕管轴取一半径为r、长度为L的液柱。作用于液柱两端的平均水动 压强分别为p1、p2,作用于液柱侧面上的切应力为τ。 根据力的平衡条件,沿x轴方向受力平衡,则有:

( p1 ? p2 )πr 2 = 2πrL ?τ

58

第4章 流体阻力和水头损失


τ=

( p1 ? p2 )r
2L du ,代入上式,得: dr

又根据牛顿内摩擦定律, τ = ? ?

( p ? p2 )r du =? 1 dr 2 ?L
积分,得: u = ?

p1 ? p2 2 r +C 4 ?L
p1 ? p2 2 R 4 ?L

当r=R时,u=0,得:C = ∴

u=

p1 ? p2 2 2 R ?r 4 ?L

(

)
59

记 ?p = p1 ? p2 ,为压降

第4章 流体阻力和水头损失


u=

?p 2 2 R ?r 4 ?L

(

)

此式表明:在园管层流过水断面上,速度是按旋转抛物面分布 旋转抛物面分布的。 旋转抛物面分布

(1)最大流速 最大流速 当r=0时,得轴心处最大流速为:

um =

?p 2 ?p R = D2 4?L 16 ?L

R=

D 2

60

第4章 流体阻力和水头损失
(2)流量 流量 在过水断面上半径r处取一厚度为dr的微小圆环面积, 通过此圆环面积的流量为:

dQ = u ? 2πrdr
整个管中流量:Q = ∫A dQ = ∫0 u ? 2πrdr
?p 2 2 R ? r 2πrdr 0 4 ?L ?pπ R 2 2 = ∫0 R ? r ? rdr 2 ?L ?pπ 4 = R 8?L =∫
R R

(

)

(

)



Q=

?pπ 4 ?pπ R = D4 8?L 128?L

哈根-泊谡叶定律 哈根 泊谡叶定律(Hagen-Poiseuille’s law) 泊谡叶定律
61

第4章 流体阻力和水头损失
(3)平均流速 平均流速
Q ?pπ V= = D4 A 128?L

π

?pD 2 D = 4 32?L
2

与最大流速 um =
1 V = um 2

?p D 2 相比较,得: 16 ?L
测 um V

(4)切应力 切应力 牛顿内摩擦定律: τ = ± ?

du , 对管流,r↑,u↓,故取“-”号。 dr

du d ? ?p 2 2 ? ?pr R ?r ? = = ?? ? ∴ τ = ?? dr dr ? 4 ?L ? 2L

(

)

为线性分布 线性分布。 线性分布
62

第4章 流体阻力和水头损失
可见:r=0时,τ=0 ;

?pR r=R时,τ w = τ 0 = ,管壁处的切应力。 2L
(5)沿程水头损失 f 沿程水头损失h 沿程水头损失 水平等径管稳定流时,由能量方程,得: p1 ? p2 ?p hf = =

γ

γ

?pD 2 由 V= 32?L

? ?p =

32?LV D2



hf =

?p

γ

=

32?LV γD 2

hf ∝ V

与雷诺试验结果一致。
63

第4章 流体阻力和水头损失
V2 2V 习惯上,hf用流速水头 的倍数表示,上式同乘以 , 2g 2V

hf = =

32?LV 2V ? γD 2 2V 64? L V ? ? ρVD D 2 g
2

γ = ρg
Re =

64 L V 2 = ? ? Re D 2 g

ρVD ?

令 λ=

64 ,称为沿程阻力系数 沿程阻力系数。 沿程阻力系数 Re



L V2 hf = λ D 2g

注意: 注意: 该公式对非水平 管路同样适用! 管路同样适用!

达西公式
64

第4章 流体阻力和水头损失
※ 下面说明达西公式也适用于非水平管路的情况
对非水平管路:

? p ? ? p ? h f = ? z1 + 1 ? ? ? z 2 + 2 ? ? γ ? ? γ ? ? ? ? ? ( p + γz1 ) ? ( p2 + γz2 ) = 1

γ

= =

? p1? ? p2

γ

令 p ? = p + γz ,称为折算压强 折算压强

?p ?

γ
65

第4章 流体阻力和水头损失
围绕管轴取一半径为 r 的流体柱, 根据轴向受力平衡:

( p1 ? p2 ) ? πr 2 = 2πrL ?τ + γπr 2 L cosθ


( p1 ? p2 ? γL cosθ ) ? πr 2 = 2πrL ?τ
L cos θ = z 2 ? z1

又∵ ∴ ∴

[( p1 + γz1 ) ? ( p2 + γz2 )]r = τ

(p

? 1

?p r =τ 2L

? 2

)

2L

?p ? r 即: =τ 2L
66

第4章 流体阻力和水头损失
然后,再结合牛顿内摩擦定律 τ = ? ?

du 求得速度u的分布表达式: dr

?p ? 2 2 u= R ?r 4 ?L

(

)
? ?p ? = 32?LV D2

?p ? D 2 于是求出平均流速V的表达式:V = 32?L

将 ?p ? 代入 h f =

?p ?

γ

,即可得到达西公式:

L V2 hf = λ D 2g

67

第4章 流体阻力和水头损失
计算h 的步骤: 计算 f 的步骤:
① 先求出平均流速V,计算Re,确定流态; ② 若为层流,λ =
64 ; Re

L V 2 ,计算出h 。 ③ 代入达西公式 h f = λ f D 2g

68

第4章 流体阻力和水头损失
例题: 例题:
相对密度为0.9、动力粘度为18厘泊的原油沿管径d=100mm的管路输送,全 长L=1000m,流量为200吨/天,求管路上的沿程水头损失。 解: Q =
V=
200 ×1000 ≈ 2.57 ×10 ?3 m 3 s 0.9 × 1000 × 24 × 3600

(

)

π

Q d2

=

2.57 × 10 ?3

π

4

4

× 0.12

≈ 0.3276(m s )

Re =

ρVd 0.9 ×1000 × 0.3276 × 0.1 = = 1638 < 2000 ?3 ? 18 × 10
64 64 = ≈ 0.039 Re 1638

层流

∴ λ= ∴

LV2 1000 0.32762 hf = λ = 0.039 × × ≈ 2.135(m ) d 2g 0.1 2 × 9.8

69

第4章 流体阻力和水头损失
柱坐标系中的基本方程: 柱坐标系中的基本方程: 1 ? (rur ) 1 ?uθ ?u z + + =0 连续性方程: 连续性方程
连续性方程
r ?r r ?θ ?z

z

(r, θ , z )
z

?ur ?u u ?u u ?u + ur r + θ r ? θ + u z r ?t ?r r ?θ r ?z ? ? 2ur 1 ?ur ur 1 ? 2u r 2 ?uθ ? 2ur 1 ?p = fr ? +ν ? 2 + ? 2+ 2 ? 2 + 2 2 ? ?r ρ ?r r ?r r r ?θ r ?θ ?z ?
2

O

θ

? ? ? ?

r

?uθ ?u u ?u u u ?u + ur θ + θ θ + r θ + u z θ ?r r ?θ r ?z N-S方程 方程: ?t 方程 ? ? 2uθ 1 ?uθ uθ 1 ? 2uθ 2 ?ur ? 2uθ 1 ?p = fθ ? +ν ? 2 + ? 2+ 2 + 2 + 2 2 ? ?r ρr ?θ r ?r r r ?θ r ?θ ?z ? ?u z ?u u ?u u u ?u + ur z + θ z + r θ + u z z ?z ?t ?r r ?θ r ? ? 2u z 1 ?u z 1 ? 2u z ? 2u z ? 1 ?p = fz ? +ν ? 2 + + 2 + 2 ? 2 ? ?r ?z ? ρ ?z ? r ?r r ?θ ?

? ? ? ?

70

第4章 流体阻力和水头损失
利用柱坐标下的基本方程讨论圆管层流流动规律
如图示,圆管内粘性流体在压力梯 度 dp 的作用下作稳定的、充分发 dz 展的层流流动,试求速度分布。 采用圆柱坐标系 (r , θ , z ) ,层流时 u r = uθ = 0 ,只有在z方向的流速 u z = u (r ) z 存在。 由连续性方程:
1 ? (ru r ) 1 ?uθ ?u z + + =0 r ?r r ?θ ?z
0 0 说明: 说明:考虑重力影响的 推导过程详见潘文全 流体力学基础》 《流体力学基础》下册 131页 第131页。

?u z =0 ?z 如果管路直径并不十分大,管中具有一定的压力,则重力的影响可以忽略, 重力的影响可以忽略, 重力的影响可以忽略 即: f r = 0, fθ = 0, f z = 0 71

得:

第4章 流体阻力和水头损失
则,N-S方程可化简为:
? 1 ?p ?? =0 ρ ?r ? ? 1 ?p ? =0 ?? ? ρr ?θ ? 1 ?p ? ? 2u 1 ?u ? ?? ?=0 +ν ? 2 + ? ?r r ?r ? ? ρ ?z ? ? ?

(a ) (b ) (c )

?p dp = 由 (a)、(b) 两式可知 p只与 z 坐标有关,而与 r、θ 无关,则 ?z dz 求速度 u 的分布表达式用 (c) 式,即:

? ? 2u 1 ?u ? dp 1 ? ? ?u ? ? 2+ ?=? = ?? ?r ? ? dz r ?r ? r ?r ? ?r ? ? ?r
72

第4章 流体阻力和水头损失
即:
? ? ?u ? 1 dp ?r ?r ? = ?r ? ?r ? ? dz

积分上式,得:
r? ?u 1 dp 2 = r + C1 ?r 2? dz

同除以r ,得 ?u 1 dp C = r+ 1 ?r 2? dz r 再积分,得:

u=

1 dp 2 r + C1 ln r + C2 4 ? dz

当 r = 0 时,u应为有限值,因此只能 C1=0
73

第4章 流体阻力和水头损失
当 r = R 时,u=0 ∴ ∴
C2 = ? 1 dp 2 R 4 ? dz

圆管层流问题是N 圆管层流问题是N-S方 程精确解的一个典型 的例子! 的例子!

u=?

1 dp 2 2 R ?r 4 ? dz ?p 2 2 = R ?r 4 ?L

(

)
? dp ?p = dz L

(

)

即,速度为抛物面分布。 关于压力梯度: 关于压力梯度:

?p p2 ? p1 p ? p2 ?p = =? 1 =? ?z L L L
74

第4章 流体阻力和水头损失
紊流(湍流) §4.6 紊流(湍流)的理论分析
1、紊流发展历史
从1883年雷诺提出流动时存在两种流态:层流、紊流后,层流从理论上很 快得到解决,而紊流问题太复杂,至今有100多年,在理论上还未得到解决。 之后有Prandtl、Karman、Howarth、Taylor、林家翘、周培源等人进行了 大量研究工作,但是到目前为止还没有一整套关于紊流运动的严密理论,有 待于今后更进一步地进行研究。 湍流是自然科学的经典难题,诺贝尔奖获得者海森堡临终时在病榻上说: 湍流是自然科学的经典难题,诺贝尔奖获得者海森堡临终时在病榻上说: 我要带着两个问题去见上帝:相对论和湍流。 “我要带着两个问题去见上帝:相对论和湍流。我相信对第一个问题已有 了答案”。在21世纪将依旧是科学界最具挑战性的方向之一。 了答案” 21世纪将依旧是科学界最具挑战性的方向之一。 世纪将依旧是科学界最具挑战性的方向之一 —— 摘自中国力学学会《2006-2007力学学科发展报告》
75

第4章 流体阻力和水头损失
2、重要性
自然界的流动绝大多数是紊流,工业、农业、……都离不开紊流。若是层流, 人类也无法生存。工厂的毒气、垃圾箱、厕所、汽车的废气一层层的在地面 上,扩散不出去,人类寿命不会太长,靠紊流扩散才行,故人们还在研究紊 流。

3、紊流的基本特征
流体质点之间互相混掺、碰撞,杂乱无章,无规律。运动速度的大小、方 向随时间变化,具有时空随机性、不可重复性。

紊流不规则性与分子热运动的区别: 紊流不规则性与分子热运动的区别
? 巨量分子的不规则运动; ? 空间和时间尺度远大于分子热运动; ? 质量、动量和能量的输运远强于分子热运动。

76

第4章 流体阻力和水头损失
18 15 12 9 uθ(t) (m/s) 6 3 0 -3 -6 -9 -12 -15 0.0 5.0x10
5

1.0x10

6

1.5x10 t (?s)

6

2.0x10

6

2.5x10

6

3.0x10

6

LDV测量的一点的瞬时速度随时间的变化——脉动现象 脉动现象

77

第4章 流体阻力和水头损失
4、紊流的统计平均方法
(1)时间平均法
1 t +T A ( x, y, z , t ) = ∫ A( x, y, z , t ′)dt ′ T t

式中,T是时间平均的周期,它既要求比湍流的脉动 周期大得多,以保证得到稳定的平均值,又要求比 流体作非定常运动时的特征时间小得多,以免取平 均后,抹平整体的非定常性。 准稳定流(定常湍流 准稳定流 定常湍流): A ( x, y , z ) = 定常湍流
1 T



t +T

t

A(x, y, z , t ′)dt ′

例如:圆管紊流中保持流量和驱动压差不变,则管内是准稳定流。
78

第4章 流体阻力和水头损失

79

第4章 流体阻力和水头损失
(2)空间平均法
A ( x, y , z , t ) =

∫∫∫ A(x′, y′, z′, t )dx′dy′dz′ τ τ
1 1

, τ 是体积

均匀湍流: 均匀湍流 A (t ) =

∫∫∫ A(x′, y′, z′, t )dx′dy′dz′ τ τ

例如:风洞工作段的核心区。

模拟空天环境的低(变)湍流风洞

80

第4章 流体阻力和水头损失
(3)系综平均法 对于非定常非均匀的湍流流动,则只能采用对于随机变量的系综平均法, 即对重复多次的实验进行算术平均。
1 A ( x, y , z , t ) = N A(i ) ( x , y , z , t ) ∑
i =1 N

81

第4章 流体阻力和水头损失
平均运算法则: 平均运算法则:
物理量的分解: q = q + q′ 平均值的平均等于平均值本身: q = q 脉动值的平均等于零: q′ = 0 脉动量的一次式与任何平均量乘积的平均值为零: f q′ = 0

′ 脉动量乘积的平均值一般不等于零: f q′ ≠ 0
平均运算与求和运算、求导运算和积分运算可交换次序:

f +g= f +g,

?f ? f = , ?t ?t

?f ? f = , ?xi ?xi

∫ fds = ∫ f ds
82

第4章 流体阻力和水头损失
两瞬时量积的平均等于两瞬时量平均的积加上脉动量积的平均 :

ab = a b + a′b′

雷诺分解: 雷诺分解:
对湍流场的运动参量而言,瞬时量等于平均量与脉动量之和:

ui = ui + ui′ ,
瞬时速度 平均速度

i = 1, 2, 3
脉动速度

p = p + p′
……
83

第4章 流体阻力和水头损失
5、不可压缩紊流平均运动的基本方程
连续性方程 瞬时运动的连续性方程: ?u x ?u y ?u z + =0 + ?x ?y ?z 取平均,得:
?u x ?u y ?u z + + =0 ?x ?y ?z

—— 平均运动的连续性方程

u x = u x + u′ ? x ? u y = u y + u′y ? 代入瞬时运动的连续性方程,得: 将 ? u z = u z + u′ ? z
84

第4章 流体阻力和水头损失
? (u x + u ′ ) ? (u y + u′y ) ? (u z + u ′ ) x z + + =0 ?x ?y ?z



? ?u x ?u y ?u z ? ? ?u ′ ?u ′y ?u′ ? ? ?+? x + + + + z ?=0 ? ?x ?y ?z ? ?y ?z ? ? ?x ? ? ? ?

减去平均运动的连续性方程,得:
?u′ ?u ′y ?u ′ x + + z =0 ?x ?y ?z

—— 瞬时脉动的连续性方程

因此,湍流时连续性方程有两个!

85

第4章 流体阻力和水头损失
平均运动方程 —— 雷诺方程

X = X + X ′? u x = u x + u′ ? x ? ? u y = u y + u ′ ? , p = p + p′ , Y = Y + Y ′ ? 雷诺分解: y ? Z = Z + Z′ ? u z = u z + u′ ? z ?
将以上各式代入N-S方程,并进行平均。经过一系列推导,得到雷诺方程 雷诺方程: 雷诺方程

86

第4章 流体阻力和水头损失
X? ? 1 ? ? ?u x ? 1 ? ? ?u x ? 1 ?p 1 ? ? ?u x ?? ?? ?? + ? ρ u′ u′ ? + ? ρ u ′ u ′y ? + ? ρ u′ u′ ? x x? x x z? ? ρ ?z ? ?z ρ ?x ρ ?x ? ?x ρ ?y ? ?y ? ? ? ? ? ? = ?u x ?u ?u ?u + ux x + u y x + uz x ?t ?x ?y ?z

雷 诺 方 程
Y?

? 1 ? ? ?u y ? 1 ? ? ?u y ? 1 ?p 1 ? ? ?u y ?? ?? ?? + ? ρ u ′ u ′y ? + ? ρ u′ u′ ? + ? ρ u′ u′ ? x y y y z ? ρ ?y ? ?y ? ρ ?z ? ?z ? ρ ?y ρ ?x ? ?x ? ? ? ? ? ? = ?u y ?t + ux ?u y ?x + uy ?u y ?y + uz ?u y ?z

Z?

? 1 ? ? ?u z ? 1 ? ? ?u z ? 1 ?p 1 ? ? ?u z ?? ?? ?? + ? ρ u′ u′ ? + ? ρ u ′y u ′ ? + ? ρ u′ u′ ? x z? z ? z z? ? ? ρ ?z ρ ?x ? ?x ? ? ρ ?y ? ?y ? ρ ?z ? ?z ? = ?u z ?u ?u ?u + ux z + uy z + uz z ?t ?x ?y ?z

87

第4章 流体阻力和水头损失
以上雷诺方程比N-S方程多出9个量,其中6个是独立的:

? ρ u′ u′ , ? ρ u′ u′ , ? ρ u ′ u ′ , ? ρ u′ u′ , x y x x y y z z
附加法向应力 雷诺应力 雷诺应力是由脉动速度引起的。 故,紊流中总的应力包含两部分 紊流中总的应力包含两部分:平均运动 紊流中总的应力包含两部分 产生的应力和紊流脉动引起的雷诺应力。

? ρ u′ u′ , ? ρ u ′ u ′ x z y z

附加切向应力

例如,对于简单平行流(如水平圆管,见右图): 例如

τ =?

?u x + ? ρ u′ u′y x ?y

(

)

88

第4章 流体阻力和水头损失
雷诺方程中共有10个未知量: x , u y , u z , p 及6个雷诺应力分量,而方程共 u 有4个(3个运动方程+1个连续性方程),方程组不封闭,无法求解。因 此,需要建立有关雷诺应力项的方程或表达式,以使方程组封闭,这就是 湍流模式理论的由来。 湍流模式理论 例如: 例如: 布森涅斯克(Boussinesq)涡粘性系数法 du ? ρ u ′ u′y = ρε ε —— 涡运动粘度 x dy Prandtl 混合长度理论

? ρ u ′ u ′y = ρl 2 x

du du dy dy

l —— Prandtl 混合长度

89

第4章 流体阻力和水头损失
二方程模式(k-ε模式) RNG k-ε模式 雷诺应力模式 …… ……
90

第4章 流体阻力和水头损失
6、圆管内的紊流结构
l

当圆管内流动是紊流时,由于管壁的限制,在靠近管壁的地方始终有一层 流体质点作层流运动。紊动程度越大,这层流体越薄,这层流体称为“层 层 流边层”,也叫“层流底层 流边层 层流底层”,或“粘性底层 粘性底层”。 层流底层 粘性底层

91

第4章 流体阻力和水头损失
层流边层的厚度 δl 可用经验公式确定:

δ l = 30
式中,d —— 管内径;

d Re λ

λ —— 紊流时沿程阻力系数;
Re —— 雷诺数。 在管子中间部分属于紊流核心 紊流核心。在紊流核心与层流边层之间存在一过渡 紊流核心 过渡 由于过渡区很薄, 区,由于过渡区很薄,通常和紊流核心合称为紊流核心 由于过渡区很薄 通常和紊流核心合称为紊流核心。即: 层流边层 紊流结构: 过渡区 紊流核心 紊流核心
92

第4章 流体阻力和水头损失
近壁处的层流边层对流体阻力有直接影响! 近壁处的层流边层对流体阻力有直接影响! 当雷诺数较小时,近壁处层流边层完全覆盖住管壁粗糙突起,这时粗糙 度对紊流不起作用,相当于紊流在光滑的层流表面上流动,这种状态称为 水力光滑。处于这种流态的管子叫水力光滑管 水力光滑管。 水力光滑 水力光滑管 当雷诺数增大时,层流边层变薄,粗糙突起高出层流边层之外时,粗糙突 起会加剧紊动,粗糙突起突出越高,阻力越大,这种状态称为水力粗糙 水力粗糙。处 水力粗糙 于这种流态的管子叫水力粗糙管 水力粗糙管。 水力粗糙管

?

δl δ (a) l > ?

?

δl
δ (b) l < ?
93

水力光滑和水力粗糙

第4章 流体阻力和水头损失
思考题: 思考题:
管壁粗糙度大的管子,叫水力粗糙管。对吗? 答案:错误。

94

第4章 流体阻力和水头损失
7、圆管紊流时流速分布
Re = 10 6

Re = 10 4

Re< 2000

由于紊流时流体质点之间的相互碰撞和混掺,即由于紊流的脉动性,引 起各流层间质点动量的交换,因而产生附加切应力(雷诺应力),同时 使得流速的分布趋于均匀化。

95

第4章 流体阻力和水头损失
一般将整个有效断面分为层流边层 紊流核心区 层流边层和紊流核心区 层流边层 紊流核心区两个区域进行讨论。

τ0 y (1)在层流边层内: u = ?

即在近壁处速度为线性分布 线性分布。 线性分布

u 1 = ln y + C (2)在紊流核心区: u? k
其中, ? = u 况,由实验确定。

即为对数分布 对数分布。 对数分布

切应力速度;常数k、C要根据具体流动情 τ 0 ρ ,称为切应力速度 切应力速度

96

第4章 流体阻力和水头损失
实验表明,紊流中的流速分布也可近似地用下面指数公式 指数公式表示: 指数公式

? y? u = um ? ? ?r ? ? 0?

n

式中, u m—— 管轴处最大流速; y —— 自管壁算起的径向距离; r0 —— 圆管半径; n —— 指数。

1 ; 7 1 5<Re<4×105时,可取 n = 当10 8 1 对水力粗糙管:可取 n = 10
对水力光滑管:当Re<105时,可取 n =

97

第4章 流体阻力和水头损失
§4.7 圆管紊流沿程水力摩阻的实验分析
圆管层流 hf 的计算从理论上很好地得到解决:

L V2 64 hf = λ , λ= Re D 2g
而对紊流问题,由于紊流的复杂性,圆管内沿程水力摩阻尚不能从理论上 很完善地解决。 下面通过用因次分析方法,综合影响水力摩阻的各项因素,组成无因次积 的关系式,然后再进行实验,得出计算管内沿程水头损失的经验公式。

98

第4章 流体阻力和水头损失
1、管内沿程水头损失的通式
由前面讨论可知,管路中能量消耗反映为水头损失,形成管路内的压降?p, 根据理论和实验分析,影响压降?p的因素有: 管径d、管长L,粗糙度?、流速V、流体密度ρ、动力粘度? 先求压降?p的表达式。 的表达式。 先求压降? 的表达式 写出各物理量的因次: [?p] =[ML-1T-2] [d] =[L] [L] =[L] [?] =[L] [V] =[LT-1]
99

[ρ] =[ML-3] [?] =[ML-1T-1]

第4章 流体阻力和水头损失
选ρ、V、d为基本物理量,n=7,m=3,共7-3=4个π。 则:

π 1 = ρ k V k d k ?p
1 2 3

[M L T ] = [ML ] [LT ] [L] [ML T ]
0 0 0 ?3 k1 ?1 k 2 k3 ?1 ?2

对 M: k1 + 1 = 0 L: ? 3k1 + k 2 + k3 ? 1 = 0 T: ? k 2 ? 2 = 0 解得: k1=-1,k2=-2,k3=0 ∴

?p π1 = ρV 2

100

第4章 流体阻力和水头损失
同理可得:

π2 =


L ? ? , π3 = , π4 = d d ρVd

?L ? ? ? ?p = f1 ? , , 2 ? d d ρVd ? ? ρV ? ? ?L ? ? ? ?p = ρV f1 ? , , ? d d ρVd ? ? ? ?
2



对水平等径管路:(对非水平管路,?p换成?p* )

ρV 2 ? L ? ? ? hf = = f1 ? , , ? d d ρVd ? ? γ γ ? ?
?p V2 ?L ? ? ? ? = f1 ? , , g ? d d ρVd ? ? ?
101

第4章 流体阻力和水头损失
实验证明: 实验证明 h f ∝

L ,把 L 提出。 d d

L V2 ?? ? ? ∴ hf = ? f? , ? d ρVd ? ? d g ? ? ?? ? ? L V2 =2f? , ? d ρVd ? ? d ? 2 g ? ? ? 2 ?? 1 ? L V =2f? , ?? ? d Re ? d 2 g ?
?? 1 ? 令 λ =2f? , ? , ? d Re ?

λ —— 沿程阻力系数(沿程水力摩阻系数) 沿程阻力系数(沿程水力摩阻系数)
达西公式

L V2 则: h = λ f D 2g

此为计算hf的通式,对层流和紊流都适用,只是λ值不同而已。

102

第4章 流体阻力和水头损失
2、计算沿程阻力系数λ的经验公式
? ?? 1 ? 由λ = 2 f ? , ? 知:λ是雷诺数Re和相对粗糙度 的函数。 d ? d Re ?

? 及Re的关系,科学工作者曾 d 进行了大量的实验。其中以尼古拉兹 尼古拉兹(Nikuradse)实验最有代表性。尼古 尼古拉兹

为了确定实际工程管路中不同流态下的λ和

拉兹于1932年和1933年用人工砂粒粗糙的办法对圆管流动进行了系统、 深入的实验。 实验的基本做法如下: 实验的基本做法如下

103

第4章 流体阻力和水头损失
在具有一定粗糙度?的水平管路上,调节阀门B,得到不同的流量Q,从 Vd ?p 而计算出平均流速V,进而求得 Re = ,并测出 h f = = ?h。 ν γ L V2 由 hf = λ ,把V、hf 代入,可求出: D 2g

2 gd h f λ= L V2
变更不同的流量,即可得出一组Re和λ的对应关系。 以λ为纵坐标,Re为横坐标,在双对数坐标纸上 绘出各实验点,就得到对应相对粗糙度 ? 下的 d 一条曲线。 更换不同粗糙度的管子,可得出多组Re和λ的对 应关系。把所有的实验曲线绘在同一张图上,称 为莫迪图 莫迪图。 莫迪图

104

第4章 流体阻力和水头损失

莫迪图 (Moody) )

105

第4章 流体阻力和水头损失
图中曲线可分为五个阻力区: 图中曲线可分为五个阻力区:

① ab线:Re<2000,层流区 层流区; 层流区 ② bc线:层流向紊流过渡区 过渡区; 过渡区 ③ cd线:是一条斜线,水力光滑区 水力光滑区; 水力光滑区 ④ cd-fg之间区域:混合摩擦区 混合摩擦区; 混合摩擦区 ⑤ fg线以右区域:水力粗糙区 阻力平方区 水力粗糙区(阻力平方区 水力粗糙区 阻力平方区)。

106

第4章 流体阻力和水头损失
关于各个区域如何判别以及λ值如何计算,由于各人进行的实验条件不同, 所以各种文献上所介绍的计算λ的经验公式和区域的划分标准也有不同。现 现 将我国输油部门常用的计算公式列出: 将我国输油部门常用的计算公式列出: ① ab线:层流区
Re ≤ 2000

λ =

64 Re

λ = f (Re )

② bc线:过渡区
Re = 2000 ~ 3000

很不稳定,应避免,一般凭经验参照光滑区选择。

③ cd线:水力光滑区
3000 < Re < 59.7

ε

8

ε=

7

? 2? = r0 d

布拉修斯公式: λ =

0.3164 4 Re

λ = f (Re )

107

第4章 流体阻力和水头损失
④ cd-fg线间区域:混合摩擦区
59.7

ε

8

< Re <

665 ? 765 lg ε

7

ε

伊萨耶夫公式: 1

? 6.8 ? ? ?1.11 ? = ?1.8 lg ? +? ? ? λ ? ? Re ? 3.7 d ? ? ?

?? ? λ = f ? Re, ? d? ?

⑤ fg线右边区:水力粗糙区(阻力平方区)
Re > 665 ? 765 lg ε

ε

尼古拉兹公式:λ =

1 3.7d ? ? ? 2 lg ? ? ? ?
2

λ = f? ?

??? ?d ?

以上各经验公式汇集到教材P125页表4-7中。

108

第4章 流体阻力和水头损失
某些管表面的平均绝对粗糙度? 某些管表面的平均绝对粗糙度?的参考值
管道 清洁无缝钢、铝、玻璃管 新无缝钢管 精制镀锌钢管 普通镀锌钢管 通用输油钢管 普通钢管 涂柏油钢管 生锈钢管 水管 新铸铁管 ? (mm) 0.0015~0.01 0.04~0.17 0.15 0.39 0.14~0.15 0.19 0.12~.0.21 0.50~0.60 0.25~1.25 0.25~0.40 管道 普通铸铁管 生锈铸铁管 结垢钢管 光滑水泥管 粗造水泥管 橡皮软管 陶土排水管 砖砌风道 混凝土管 ? (mm) 0.50~0.85 1.0~1.5 1.5~3.0 0.30~0.80 1.0~2.0 0.01~0.03 0.45~6.0 5~10 0.3~3.0

109

第4章 流体阻力和水头损失
3、非圆形管路的水力摩阻计算
方法:把非圆管等效成圆管来计算 方法: 原则:水力半径R相等,阻力相同 原则:

d当=4 R

R——水力半径 d当——当量直径

L V2 hf = λ d当 2 g
Re = Vd当

注意: 注意:V ≠

π

Q d当
2

ν

4 必须用实际过流面积来计算。

110

第4章 流体阻力和水头损失
4、计算沿程水头损失hf的步骤 计算沿程水头损失
① 想办法计算出Re,判别流态; ② 根据流态选取计算λ的公式(或查莫迪图),求出λ ;

LV2 ③ 代入达西公式 h f = λ ,计算出hf 。 d 2g

111

第4章 流体阻力和水头损失
例题: 例题:
一铸铁输油管,已知管长L=300m,直径d=0.25m,绝对粗糙度?=0.5mm, 管内流量Q=1200m3/h,油的运动粘度ν=2.5×10-6m2/s,求单位重量流体 通过此管道时的能量损失hf。
Q 1200 3600 解: V = = ≈ 6.79(m s ) π 2 π 2 4 d 4 × 0.25

Re =

Vd

ν

=

6.79 × 0.25 = 679000 2.5 ×10 ?6

紊流

? 0.5 ×10 ?3 = = 0.002 d 0.25

ε=

2? = 0.004 d
112

第4章 流体阻力和水头损失
59.7

ε

8

= 32846

7

665 ? 765 lg ε

ε


=

665 ? 765 lg 0.004 ≈ 624856 0.004

Re >

665 ? 765 lg ε

ε
1 1 3.7 × 0.25 ? ? 2 lg ? ? 0.5 ×10 ?3 ? ?
2

∴ 此流动属于水力粗糙区

λ=

3.7d ? ? 2 lg ? ? ? ? ?

2

=

≈ 0.0234

(亦可以查莫迪图,得λ=0.023)

LV2 300 6.79 2 = 0.0234 × × ≈ 66.1(m ) ∴ hf = λ d 2g 0.25 2 × 9.8
113

第4章 流体阻力和水头损失
§4.8 局部水力摩阻
全管路水头损失: hw =

∑h + ∑h
f

j

沿程水头损失 的计算在前一 节已讲过

局部水头损失 的计算在本节 讲述

114

第4章 流体阻力和水头损失
1、局部水头损失产生的原因
在管路中有各种各样的管件,如下图。这些管件几何形状复杂,对流体会 产生阻碍作用,造成流体的水头损失为局部水头损失。
分离区 分离区 分离区

突然扩大
分离区

三通汇流
分离区

闸阀
分离区

分离区

突然缩小

管道弯头

管道进口
115

第4章 流体阻力和水头损失
管件的类别繁多,几何形状各不相同,对流体产生的阻力也不相同。但是 产生局部水头损失的原因,归纳起来有以下三个原因: (1)液流中流速重新分布 液流中流速重新分布; 液流中流速重新分布 (2)旋涡中的粘性力作功 旋涡中的粘性力作功; 旋涡中的粘性力作功 (3)液体质点的混掺引起的动量变化 液体质点的混掺引起的动量变化。 液体质点的混掺引起的动量变化

2、突然扩大管的局部阻力
局部水头损失,从理论上推导一般是较为困难的,仅有极少量的局部阻力 可用理论分析方法计算,最有代表性的是管路突然扩大的情况,而绝大多 数的局部阻力都需要实验方法来确定。

116

第4章 流体阻力和水头损失
如图,由于过流断面突然扩大, 流线与边界分离并发生旋涡和流 速重新分布,从而造成局部损失。

以管轴为基准面,对1-1、2-2两断面列伯诺利方程:
p1 V1 p2 V2 + = + + hj γ 2g γ 2g p1 ? p2
2 2



hj =

γ

V ? V2 + 1 2g
2

2

117

第4章 流体阻力和水头损失
由动量方程:
p1 A1 ? p2 A2 + p( A2 ? A1 ) = ρQ(V2 ? V1 )

实验证明:涡流区环形面积上压强 p ≈ p1 ,则上式变为: Q p1 ? p2 = ρ ? (V2 ? V1 ) = ρV2 (V2 ? V1 ) A2 ∴

ρV2 (V2 ? V1 ) V12 ? V2 2 hj = + γ 2g
V (V ? V ) V ? V2 = 2 2 1 + 1 g 2g
2 2 2

2V2 (V2 ? V1 ) + V1 ? V2 = 2g V ? 2V1V2 + V2 = 1 2g
2 2

2

(V1 ? V2 )2 =
2g

118

第4章 流体阻力和水头损失
即:
hj

(V1 ? V2 )2 =
2g

包达( 包达(Borda)公式 )

此式表明:断面突然扩大的局部损失,等于两管中速度差计算的流速水头。 此式表明

用实验方法确定局部水头损失时,通常写成:
V2 hj = ζ 2g

ζ —— 局部阻力系数 局部阻力系数,由实验确定,即测出 h j → ζ
V —— 特征流速
119

第4章 流体阻力和水头损失
用连续性方程将包达公式中的V1或V2化成同一流速,

V1 A1 = V2 A2


V2 =

A1 V1 A2



V1 =

A2 V2 A1

∴ 包达公式变为:

hj

(V1 ? V2 )2 =
2g

? ?A ? A ? ?1 ? 1 ? V12 ? 2 ? 1? V2 2 ? A ? ?A ? 2 ? ? ? 1 ? = = 2g 2g

2

2

令: ? A ? 2 ?1 ? 1 ? = ζ 1 ? A ? 2 ? ?
? A2 ? ? ? 1? = ζ 2 ?A ? ? 1 ?
2

120

第4章 流体阻力和水头损失
则得到:
V1 V2 hj = ζ1 =ζ2 2g 2g
2 2

∴ 局部阻力系数要指明对哪一个特征流速!习惯上取出口流速 2作为特征 局部阻力系数要指明对哪一个特征流速!习惯上取出口流速V 流速。 流速。 在工程实际中,为了方便把局部水头损失和沿程水头损失合并计算,有时 把hj换算为相当某L当管长的沿程水头损失。 写成:
hj = λ L当 V 2 d 2g

L当 —— 当量长度

L当 V2 与通式 h j = ζ 相比较,可得: ζ = λ 2g d


ζ L当 = d λ

即,已知ζ

求L当 。
121

第4章 流体阻力和水头损失
3、局部水头损失hj的计算方法 局部水头损失
若求出ζ hj 对于输水管,求ζ可查附录Ⅱ(教材P295页) 对于输水管 对于输油管,查表4-8(教材P130页),可得ζ0 对于输油管 此处,ζ0 —— 是当λ=0.022紊流过程时做实验得到的局部阻力系数, 而实际管路中的沿程阻力系数为λ,需按比例折算一下。 紊流时: 紊流时 ζ = ζ 0

λ
0.022

层流时: 层流时 ζ = ?ζ 0 式中,? —— 层流时水力摩阻修正系数,与Re有关,查表4-9 (教材P131页)得到。 122

第4章 流体阻力和水头损失
例题: 例题:
图示为一油的循环系统。油的运动粘度ν=4×10-6m2/s,相对密度为0.75,镀 锌钢管,直径d=50mm,两个圆弯头(R=3d),流量Q=0.2m3/min。 求:① 阀门局部阻力系数; ② 全管路水头损失; ③ 泵的扬程和功率。 解: ① V=

π

Q d2

=

π

0.2 60 × 0.052

≈ 1.7(m s )

4

4

列B、C断面的伯诺利方程:

VB pC VC zB + + = zC + + + hj 2g 2g γ γ

pB

2

2

123

第4章 流体阻力和水头损失
依题意知: z B = zC , VB = VC ∴ hj =

pB ? pC

γ

=

(γ 汞 ? γ )?h = (13.6 × 9800 ? 0.75 × 9800)× 0.15 = 2.57(m )
γ
0.75 × 9800

V2 由 hj = ζ 2g



ζ =

hj V 2g
2

= 2.57

1.7 2 2 × 9 .8

= 17.43



hw = ∑ h f + ∑ h j LV2 V2 =λ + (ζ 进 + ζ + 2ζ 弯 ) d 2g 2g
124

第4章 流体阻力和水头损失
L = 3.25 + 2.95 + 3.9 + 6.8 + 0.4 = 17.3(m )
Re = Vd

ν

=

1.7 × 0.05 = 21250 ?6 4 × 10

紊流

查表(4-6)得,对普通镀锌钢管, = 0.39mm ? ∴

? 0.39 ×10 ?3 = = 0.0078 d 0.05

查莫迪图,得:λ = 0.036 查表(4-8)得: ζ 0 进 = 0.5 ,ζ 0弯 = 0.5 ∴ 实际的局部阻力系数为:

ζ进 =ζ弯 =ζ0

λ
0.022

= 0.5 ×

0.036 = 0.82 0.022

125

第4章 流体阻力和水头损失


17.3 1.7 2 1.7 2 hw = 0.036 × × + (0.82 + 17.43 + 2 × 0.82 )× 2 × 9.8 0.05 2 × 9.8 ≈ 4.77(m )
2

③ 列油箱液面与管路出口两断面的伯诺利方程:

V2 z1 + H = z 2 + + hw 2g
∴ 泵的扬程为:

V2 1.7 2 H = (z 2 ? z1 ) + + hw = (3.9 ? 0.4 ? 2 ) + + 4.77 = 6.42(m ) 2g 2 × 9 .8
泵的有效功率为:

0.2 N 泵 = γQH = 0.75 × 9800 × × 6.42 = 157.29(W ) 60
126

第4章 小结
1、流动阻力产生的原因及分类; 2、层流与紊流的特点及判别标准; 3、N-S方程及物理意义; 4、圆管内层流流动的规律; 5、因次的齐次性原理; 6、π定理; 7、常用的相似准数及其物理意义; 8、圆管内紊流结构及近管壁处的两种状态; 9、计算沿程水头损失和局部水头损失的方法及步骤。

127

第4章作业
作业: 作业:4-6,4-8、4-9,4-10,4-13,4-17,4-19, 4-23 课下练习: 课下练习: 4-1,4-2,4-3,4-4, 4-7, , 4-11,4-12 ,

128


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