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第九章第6课时知能演练轻松闯关


S 1.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是________. 4 1 1 解析:如图,要使 S△PBC> S△ABC,只需 PB> AB. 4 4

3 答案: 4 2.已知实数 x,y 可以在 0<x<2,0<y<2 的条件下随机地取值,那么取出的数对(x,y)满 足(x-1)2+(y-1)2<1 的概率是

________. 解析:D 为 0<x<2,0<y<2 表示的正方形区域,d 为(x-1)2+(y-1)2=1 围成的圆面.

π 答案: 4 3.已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一数作为 a 和 b,求 函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

?x+y-8≤0 ? (2)设点(a,b)是区域?x>0 ?y>0 ?
的概率.

内的随机点,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数

2b 解:(1)因为函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= ,要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区 a 2b 间[1,+∞)上为增函数,当且仅当 a>0 且 ≤1,即 2b≤a.若 a=1,则 b=-1;若 a=2, a 则 b=-1,1;若 a=3,则 b=-1,1. 5 5 1 所以事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5,即所求事件的概率为 = = . 3×5 15 3 (2)由(1),知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 依条件,可知试验的全部结果所构成的区域为

? ??a,b?? ? ?

?a+b-8≤0 ? ?a>0 ?b>0 ?

? ?. ?

2b ? ? a ≤1 ? ? 构成所求事件的区域为??a,b? ?a>0 ? ?b>0 ?

? ? ?. ? ?

?a+b-8=0, ? 16 8 由? a 得交点坐标为? 3 ,3?, ? ? ?b=2, ?
1 8 ×8× 2 3 1 所以所求事件的概率为 P= = . 1 3 ×8×8 2 一、选择题 → → → 1.(2012· 绵阳质检)已知 P 是△ABC 所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随 机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) 1 1 A. B. 4 3 2 1 C. D. 3 2 解析:选 D.由题意可知,点 P 位于 BC 边的中线的中点处. 记黄豆落在△PBC 内为事件 D, S△PBC 1 则 P(D)= = . S△ABC 2 2.用一平面截一半径为 5 的球得到一个圆面,则此圆面积小于 9π 的概率是( ) 4 1 A. B. 5 5 1 1 C. D. 3 2 解析:选 B.依题意得截面圆面积为 9π 的圆半径为 3,球心到该截面的距离等于 4,球的截 5-4 1 面圆面积小于 9π 的截面到球心的距离大于 4,因此所求的概率等于 = . 5 5 3.在区间[-5,5]内随机地取出一个数 a,则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x2+ax-a2<0 的 一个解的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析:选 D.由已知得 2+a-a2<0,∴a>2 或 a<-1. 故当 a∈[-5,-1)∪(2,5]时,1 是关于 x 的不等式 2x2+ax-a2<0 的一个解. ?-1+5?+?5-2? 7 故所求概率为 P= = =0.7. 10 5-?-5? 4.若在区间[-5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=2 有公 共点的概率为( ) 2 2 A. B. 5 5 3 3 2 C. D. 5 10 |1-2+a| |a-1| 解析:选 B.若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离 d= = ≤ 2,解得- 2 2 4 2 1≤a≤3.又 a∈[-5,5],故所求概率为 = ,故选 B. 10 5

6 5.(2012· 石家庄质检)在区间(0,1)上任取两个数,则两个数之和小于 的概率是( 5 12 16 A. B. 25 25 17 18 C. D. 25 25

)

?0<x<1 ? 解析:选 C.设这两个数是 x,y,则试验所有的基本事件构成的区域是? 确定的平面 ?0<y<1 ?

?0<x<1 ?0<y<1 区域,所求事件包含的基本事件是由? ?x+y<6 ? 5

确定的平面区域,如图所示阴影部分的面

1 4 17 积是 1- ×?5?2= , 2 ? ? 25 6 17 所以两个数之和小于 的概率是 . 5 25 二、填空题 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中随机取一点,则该点落在四棱锥 O-ABCD(O 为正方体对 角线的交点)内的概率是________. 解析:所求概率即为四棱锥 O-ABCD 与正方体的体积之比. 1 答案: 6 7.在长为 18 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形的 面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为________. 3 1 解析:设 AM=x,则 0≤x≤18.由 x2∈[36,81]得 x∈[6,9],故所求概率为 = . 18 6 1 答案: 6 8.在区间[0,1]上随意选择两个实数 x,y,则使 x2+y2≤1 成立的概率为________. 解析:D 为直线 x=0,x=1,y=0,y=1 围成的正方形区域,而由 x2+y2≤1,即 x2+ 1 π×12 4 π 2 y ≤1(x≥0, y≥0)知 d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆), 故所求概率为 = . 1×1 4 π 答案: 4 三、解答题 9.如右图所示,在单位圆 O 的某一直径上随机地取一点 Q,求过点 Q 且与该直径垂直的弦 长长度不超过 1 的概率.

3 , 2 而 Q 点在直径 AB 上是随机的,事件 A={弦长超过 1}. 3 ×2 2 3 由几何概型的概率公式得 P(A)= = . 2 2 3 ∴弦长不超过 1 的概率为 1-P(A)=1- . 2 3 所求弦长不超过 1 的概率为 1- . 2 ?0≤x≤6 ?0≤x≤6 ? ? 10.设不等式组? 表示的区域为 A,不等式组? 表示的区域为 B. ? ? ?0≤y≤6 ?x-y≥0 (1)在区域 A 中任取一点(x,y),求点(x,y)∈B 的概率; (2)若 x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域 B 中的概率. 解:(1)设集合 A 中的点(x,y)∈B 为事件 M, 区域 A 的面积为 S1=36,区域 B 的面积为 S2=18, S2 18 1 ∴P(M)= = = . S1 36 2 (2)设点(x,y)在区域 B 为事件 N, 甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x,y)的个数为 36, 解:弦长不超过 1,即|OQ|≥ 其中在区域 B 中的点(x,y)有 21 个, 21 7 故 P(N)= = . 36 12 11.(2012· 贵阳调研)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率. 解:(1)设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y. 基本事件空间为 Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0), (1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含 12 个基本事件; 其中 A={(0,0),(2,1)},包含 2 个基本事件. 2 1 1 则 P(A)= = ,即向量 a∥b 的概率为 . 12 6 6 (2)设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角,可得 a· b<0,即 2x+y<0, 且 x≠2y.

基本事件空间为

? ??-1≤x≤2 ? Ω=??x,y??? ? ??-1≤y≤1 ?

? ?, ?

? ??-1≤x≤2 ? ?-1≤y≤1 B=??x,y??? 2x+y<0 ?x≠2y ? ?? ?

? ? ?, ? ?

1 ?1 3? × + ×2 μB 2 ?2 2? 1 则 P(B)= = = , μΩ 3 3×2 1 即向量 a,b 的夹角是钝角的概率是 . 3


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