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高中物理奥赛典型例题


物理奥赛、自招典型例题
一、力学部分
质点运动学
1. 试求图 1 中物体 B 的速度. 2. 试求图 2 中物体 A 的速度. d d α v B C 图1 A 图2 A

v α

v

α

3. 图 3 中,v1 与 M 线垂直,v2 与 N 线垂直,试求 M 线

与 N 线交点的速度. y V2 N v0 M V1 图3 图4 x

θ

4. 图 4 中,圆周的半径为 R,细杆以速率 v0 向右运动,t=0 时,细杆与 y 轴重合,试 求细杆未离开圆周前,它与圆周在第一象限的交点的向心加速度与时间的关系. m 5. 一小球 m 位于倾角为θ 的光滑斜坡 A 点的上方,小球 离 A 点的距离为 h,斜坡 B 处有一小孔,A 与 B 的距离为 s, h 如图 5 所示.若小球自由下落后与斜坡的碰撞是完全弹性碰撞. 欲使小球恰能掉进小孔,则 h 应满足什么条件? 6. 离地面高度为 h 处,有一小球以初速度 v0 做斜上抛运动, v0 的方向与水平方向成θ 角,如图 6 所示,那么当θ 角为多大时, 才能使小球的水平射程最大,这最大的水平距离是多少?

·
A A

θ 图5

·B



v

0

v
d B● d d

θ h

v


C

图6 7. 两两相距都是 d 的三个小孩 A、B、C,从 t=0 开始相
1

v
图7

互追逐,运动速率都是 v . 追逐过程中,A 始终向着当时 B 所在的位置运动,B 始终向着当 时 C 所在的位置运动, C 始终向着当时 A 所在的位置运动,如图 7 所示.试问这三个小孩何 时相遇在一起?开始时他们的加速度大小是多少? 8. 如图 8 所示,线轴沿水平面做无滑滚动,并且线端 A 点的速度为 v,方向水平. 以 铰链固定在 B 点的木板靠在线轴上,线轴的内、外半径分别为 r 和 R,试求木板的角速度ω 与角α 的关系.

A
C A B α 图8 v

·
L

F

v1 v2

B

· D


图9

9. 如图 9 所示,一只狐狸以恒定的速度 v1 沿 AB 直线逃跑,一只猎犬以恒定速率 v2 追 击这只狐狸,运动方向始终对准狐狸,设某时刻狐狸位于 F 处,猎犬位于 D 处,DF=L, DF?AB,试求: (1)这时猎犬的加速度大小及曲率半径; (2)猎犬追上狐狸所用的时间. 10. 试用物理方法求抛物线 y ? Ax2 上任一点处的曲率半径. .

静力学

1. 如图 1 所示,长为 2 m 的匀质杆 AB 的 A D F A 端用细线 AD 拉住,固定于墙上 D 处,杆的 B 端搁于光滑墙壁上,DB=1m,若杆能平衡,试 求细线 AD 的长度. B 2. 如图 2 所示,放在水平地面 A 上的两个圆柱体相互接触,大、小圆 图2 图1 柱的半径分别为 R 和 r,大圆柱体上 缠有绳子,现通过绳子对大圆柱体施加一水平力 F,设各接触处 C 的静摩擦因数都是μ ,为使大圆柱体能翻过小圆柱体,问μ 应满 30° 足什么条件? 3. 如图 3 所示,三个完全一样的小球,重量均为 G,半径 为 R=10cm,匀质木板 AB 长为 l=100cm,重量为 2G,板端 A 用光滑铰链固定在墙壁上,板 B 端用水平细线 BC 拉住,设各接 A 触处均无摩擦,试求水平细线中的张力. 图3 4. 如图 4 所示,一长为 L 的轻梯靠在墙上, B C 梯与竖直墙壁的夹角为 θ,梯与地面,梯与墙壁 θ 之间的摩擦系数都是 μ,一重为 G 的人沿梯而上, 问这人离梯下端的距离 d 最大是多少时梯仍能保 θ A 持平衡? A B 5. 如图 5 所示,一长为 l 重为 W0 的均匀水 图4 图5 平杆 AB 的 A 端顶在竖直粗糙的墙壁上,杆端与 墙壁的静摩擦系数为 μ,B 端用一强度足够而不可伸长的绳子悬挂,绳的另一端固定在墙壁
2

B

的 C 点,绳与杆的夹角为 θ,(1)求能保持平衡时,μ 与 θ 满足的条件;(2)杆平衡时,杆上有 一点 P 存在,若在 A 点与 P 点间任一点悬挂一重物,则当重物的重量 W 足够大时总可以使 平衡破坏,而在 P 点与 B 点之间任一点悬挂任意重的重物,都不可能使平衡破坏,求出这 一 P 点与 A 点的距离. 6. 半径为 r,质量为 m 的三个相同的球放在水平桌面上,两两相互接触,用一个高为 1.5r 的圆柱形圆筒(上下均无底)将此三个球套在筒内,圆筒的半径取适当的值,使得各 球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触. 现取一质量也为 m、半径为 R 的第四个球, 放 在三球的上方正中,设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成,其相互之间 的最大静摩擦因数为 ? ?

3 15

? 0.775,问 R 取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能

将四个球也一起提起来? 7. 如图 6 所示,边长为 a 的均匀立方体对称地放在一个半径为 r 的半 圆柱面顶部,假设静摩擦力足够大,足以阻止立方体下滑,试证明这立方 体稳定平衡的条件是: r ?

a . 2

图6

8. 如图 7 所示,质量一样的两个小木块由一根不可伸长的轻绳相连 放在倾角为?的斜面上,两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为?1 和?2,且 ?1>?2,tan?=

?1? 2 ,求绳子与斜面上最大倾斜线 AB 之间的夹角?应满足

什么条件,两木块才能在斜面保持静止? 9. 长方形风筝如图 8 所示,其宽度 a=40cm,长度 b=40cm, 质量 M=200g(其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量 M ? =20g,纸球可当作质点) ,AO、BO、CO 为三根绑绳,AO=BO, C 为底边的中点,绑绳以及放风筝的牵绳均不可伸缩,质量不计, 放风筝时,设地面的风速为零,牵绳保持水平拉紧状态,且放风 筝者以速度 v 持牵绳奔跑,风筝单位面积可受空气作用力垂直于 风筝表面,量值为 p=kvsin?, k ? 8N ? s ? m ,?为风筝平面与 水平面的夹角,风筝表面为光滑平面,各处所受空气作用力近似 认为相等,取 g ? 10m ? s
?2
?3

2●

A ? ●1 B ? 图7 A a D B b

O ? C ● 图8

,放飞场地为足够大的平面,试求:

(1)放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑,风筝才能作水平 飞行?这时风筝面与水平面的夹角应为何值?假设通过调整绑绳 长度可使风筝面与水平面成任意角度?.
?1

M?

(2)若放风筝者持牵绳奔跑速度为 v ? 3m ? s ,调整绑绳 CO 的长度等于 b,为使风筝能水 平稳定飞行,AO 与 BO 的长度应等于多少? 10. 有一半径为 R 的圆柱体 A,静止在水平地面上,并与竖直 墙壁相接触,现有另一质量与 A 相同、半径为 r 的较细圆柱体 B, 用手扶着圆柱 A,将 B 放在 A 的上面,并使之与竖直墙壁接触, 如图 9 所示,然后放手.已知圆柱 A 与地面的摩擦系数为 0.20, 两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30,若放手后两圆柱能保持图示的 平衡,问圆柱 B 与墙壁的静摩擦系数和圆柱 B 的半径 r 的值各应
3

B

A

图9

满足什么条件?

力、牛顿运动定律与质心运动定理
1. 如图 1 所示,两斜面重合的楔形块 ABC 和 ACD 的 质量都是 M,AD、BC 两面成水平,E 为质量为 m 的小滑块, 楔形块的倾角为α ,各面均光滑,整个系统放在水平台角 上,从静止开始释放,求两斜面分离前 E 的加速度.

A

E α α 图1

D

B

C

2. 如图 2 所示,设 m1 ? m2 ? m3 ,不考虑滑轮质量,求各物体的加速度. A C α m3 m2 图2 m1 图3 B

3. 如图 3 所示, 长为 2 l 的刚性轻棒 AB 的 B 端沿水平地面向右匀速运动, 速度为 v , A 端沿墙壁竖直下滑,棒的中点处固定一质量为 m 的小球 C,试求当 ? ? 45? 时,小球的 加速度和小球对棒的作用力. 4. 如图 5 所示,小圆筒 A 的底部有一半径为 r 的圆孔,大圆筒套于 h A ?1 A 的外面,一半径为 r 的不透液体的球盖着圆孔,里外圆筒中分别盛有 密度分别为?1 和?2 的液体,两圆筒的液面相平,且距小圆筒的底部为 h, 试求球所受的浮力. ?2 5. 三个质点 A、B、C 组成一个边长为 d 的等边三角形,质点间有万 有引力作用,为保持这三角形形状不变, (1)若三个质点的质量都等于 图4 m,那么它们应以多大的角速度绕过质心 O 且垂直三角形平面的轴转动? (2)若它们的质量互不相等,那么它们又应以多大的角速度绕过质心 O 且垂直三角形平面 的轴转动? 6. 如图 5 所示,长为 3m,质量为 4kg 的小车静止 在光滑水平面上,车两端的护栏上各装有质量不计的钉 A B 子,小车上距车右端 1m 处放着质量分别为 m A =3kg,

m B =2kg 的小滑块 A 和 B,小滑块 A 和 B 的宽度都可
忽略.A 和 B 之间有质量和长度都不计的已压缩的弹簧. 现释放这弹簧,滑块 A 和 B 相对小车沿相反方向运动, 最后都碰到车护栏上的钉子而被钉住,试求小车在整个过程中通过的位移. 图5

7. 质量为 M、厚度可以忽略的薄板静止地置于长为 L 的水平桌面上,其一端 A 与桌的一 边对齐,薄板上距 A 端为 l 处 放一质量为 m 的木块,
4

如图 6 所示.一水平恒力 F 作用于板上,把木板从小木 块下抽出,为了使木板抽出后木块 m 不致于从桌上掉 下地面,则 F 至少为多大?已知各接触面之间的摩擦系 数均为μ . 8. 如图 7 所示,平面σ 与水平面成夹角 φ,两平面的 交线为 AB,在σ 平面上有一个以 AB 为底、半径为 R 的固 定光滑半圆环.设环的一端 A 处有一个小球以初速度 v0 沿环 的内侧运动,若小球与环光滑接触,小球与平面σ 之间的摩 擦系数为μ ,试求能使小球在环的最高处继续沿环的内侧运 动的 v0 的取值范围. 9. 如图 8 所示,赛车在水平赛道上作 90°转弯,其内、外车 道转弯处的半径分别为 r1 和 r2 ,车和路面间的动摩擦系数和静摩

A

l

m
m1
L

M

F

图6

σ

φ
A
图7

B

擦系数都是μ ,试问竞赛中车手应选择内道还是外道转弯?在上 述的两条转弯路径中,车手的正确选择较错误选择赢得的时间是 多少? 10. 质量分别为 m1 和 m2 的两个小球,分别系于一根细绳中的一点 和一端, ,细绳的另一端悬挂在固定处,已知上、下两端绳子的长度 分别为 r1 和 r2,如图 9 所示.开始时两球静止,细绳处于竖直位置, 现给小球 m1 一个打击,使它突然在水平方向上获得一个速度,试求 小球 m1 获得速度前后瞬间,上、下两段绳子张力改变量的比值. 设 小球获得速度后瞬间,绳子仍处于竖直位置.

内道 外道 图8 r1 m1 ● r2 m2 ● 图9

力学守恒定律
1. 如图 1 所示,一截面为圆形的细管被弯成半径为 R 的圆环,此圆环的内外半径几乎 相同,现把这圆环固定在竖直平面,一小球原来位于环中最低处,小球在拉力 F 作用下以 匀速率 v 沿圆环从最低点运动到最高点, 拉力 F 的方向始终沿圆环的切线方向, 若小球与管 内外壁的摩擦因数为μ ,管内内壁光滑,试求小球沿圆环从最低点到最高点过程中,拉力 F 所做的功. P

Q

F 图1

图2

2. 如图 2 所示,质量分布均匀的细链,长为 L=10m,质量为 10kg,其一端系于天花 板的 P 点处,人提着另一端,P、Q 两点的高度差为 h =2m,设人的提拉力 F=100N,试求 天花板对细链的作用力. 3. 足球运动员在离球门 11m 处罚点球,球准确地从球门的横梁下沿飞进球门. 设横梁 下沿离地面的高度 h=2.5m,足球的质量为 m=0.5kg,不计空气阻力,那么运动员必须传递
5

给这个足球的最小能量是多少? 4. 如图 4 所示,四个质量都是 m 的质点,用同样长的不可伸长的细线连结成一菱形 ABCD,静止地放在水平光滑的桌面上,若突然给质点 A 一个历时极短沿 CA 方向的冲击, 当冲击结束时刻,质点 A 的速度为 v,其它质点也同时获得一定的速度, ?BAD ? 2? ,

??

?
4

,试求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量.

5. 如图 5 所示,质量为 m 的物体可沿足够长的竖直轨道 A、B 上下运动,物体正下 B


A


B d v0 θ S0 图4 图5

v

A


C



D 图3

方放置一个轻弹簧,物体与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力都是 f ?

1 mg ,现在物体 2

在距离弹簧为 d 高度处由静止开始下落,试求: (1)物体下落达到的最低位置与弹簧劲度系数 k 的关系. (2)物体由最低位置第一次弹回的高度与 k 的关系. 6. 如图 5 所示,军训中战士距墙 S0 处以速度 v0 起跳,再用脚蹬墙面一次,身体变为竖 直向上的运动,以继续升高,墙面与鞋底之间的静摩擦系数为μ ,求能使人体重心有最大总 升高的起跳角θ . 7. 如图 6 所示,A、B 是静止在水平地面上完全一样的两块长木板,A 的左端与 B 的右 端相接触,两板的质量都是 M=2kg,长度都是 l=1m,C 是一质量为 m=1kg 的小物体,现 给它一初速度 v0=2m/s,使它从 B 板的左端开始向右滑动,已知地面是光滑的,而 C 与 A、 B 之间的动摩擦因数都是μ =0.1,求最后 A、B、C 各以多大的速度做匀速运动,取 g=10m/s2 . v0 C B 图6 A B A F

图7

8. 如图 7 所示,在长为 l=1m,质量为 mB=30kg 的车厢 B 内的右壁处,放一质量为 mA=20kg 的小物块 A(可视为质点). 向右的水平力 F=120N 作用于车厢 B,使之从静止开 始运动,测得车厢 B 在最初 2s 内移动的距离为 S=5m,且在这段时间内小物块 A 未与车厢 壁发生过碰撞. 假定车厢与地面的摩擦可忽略不计,小物块 A 与车厢壁的碰撞是弹性碰撞, 求车厢开始运动后 4s 时车厢和小物块的速度. 9. 如图 8 所示,长为 l、线密度为λ 的链条由 图示位置(底端距离地面为 h)从静止开始下落,试 l 求链条落下过程中地面对链条的支持力.假设落到地面 处的那部分链条速度马上变为零. 10. 质量足够大的长木板从 t=0 时刻开始在水平 h 方向上自静止出发朝右作匀加速运动,加速度大小为 图8
6



a,在板上方 H 高度处由一静止小球,如图 9 所示.在 t=0 时 H 刻小球自由落下,而后与板发生碰撞.设小球与平板接触 a 时的滑动摩擦系数μ =0.1,小球反弹高度也是 H,将小球 反弹离开平板时相对地面参考系的速度方向与朝右的水平 图9 方向的夹角记为β ,试求 tgβ 与 a 的关系,并作 tgβ -a 曲线. 11. 质量都是 m 的两质点 A 和 B 用长为 2l 的不可伸长的轻绳连接, 开始时 A、 B 位于同 一竖直线上,且离地足够远,B 在 A 的下方 l 处,在给 A 以一水平速度 v0 的同时,由静止 释放 B,问经过多长时间后,A 与 B 第一次恰好位于同一水平线上? 12. 在水平地面上一质量为 M 的运动员手持一质量为 m 的物块,以速度 v0 沿与水平面 成α 角的方向向前跳跃,为了能跳得更远一点,运动员可在跳远全过程中的某一位置处,沿 某一方向把物块抛出, 物块抛出时相对运动员的速度大小 u 是给定的, 物块和运动员都在同 一竖直平面内运动. (1)若运动员在跳远全过程中的某一时刻 t0, 沿与水平向后方向成某θ 角的方向抛出物块, 试求运动员从起跳到落地所经历的时间. (2)在跳远的全过程中,运动员在何处把物块沿水平向后方向成θ 角的方向抛出,能使自 己跳得更远?若 v0 和 u 一定,那么在什么条件下可跳得更远?并求出运动员跳的最大距离. 13. 长为 2l 的轻绳两端各系有一质量为 m 的弹性小球,中点处系有质量为 M 的弹性小 球,三球成一直线静止于光滑水平面上,绳处于伸直状态,现对小球 M 施加一水平冲力, 使其获得与绳垂直的初速度 v0, (1)试求两小球 m 相碰时绳中的张力 T; (2)若从小球 M 开始运动到两小球 m 相碰历时为 t,求在此期间小球 M 经过的距离 SM; (3)试求当三小球 再次在同一直线上时,绳子的张力; (4)试求运动过程中,小球 m 的最大动能和这时两段 绳子的夹角. 14. 如图 10 所示,一柔软绳子总长 R 度为 l,它从静止出发由高度为 H 的光 H 滑平台沿光滑的斜面滑下,全部进入光 滑水平面后,再经一半径为 R 的固定在 图 10 竖直平面内的光滑圆环,l>2π R,欲使 v l ● ● 绳子能全部通过圆环,平台的高度 H 至少多高? α A B l ● 15. 质量都是 m 的三个小球置于光滑的水平桌面上,并用长度都为 C l 的轻刚性杆连接,如图 11 所示,整个系统以速度 v 沿 AB 方向运动, 图 11 运动方向与 BC 成α 角,当小球 C 与桌上垂直 AB 的竖直、光滑完全非 m 弹性固定壁相碰撞时,试求此壁所受到冲量的大小. ● v0 v0 16. 如图 19 所示,A 是一个质量为 M、半径为 R 的均匀 A v0 ’ 球体,O 是其球心.在离球心 O 很远的 O 点附近有一质点,它 O 以 v0 的初速度沿与 O’O 平行的方向射向球 A,以 l 表示质点与 ? O M l O’O 线的垂直距离,要使这质点能够与球 A 的表面相碰,试求 v0 l 的最大值. 图 12 17. 从地球表面向火星发射火星探测器,设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运 动,火星轨道半径 Rm 是地球轨道半径 Re 的 1.5 倍,简单而又比较节省能量的发射过程可分 为两步进行:第一步,在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之获得足够的动能,从而脱 离地球的引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造行星; 第二步是在适当时刻点燃与探测器 连在一起的火箭发动机,在短时间内对探测器沿原方向加速,使其速度数值增加到适当值, 从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好 射到火星上. 问:
7

(1)为使探测器成为沿地球轨道运行的人造行星,必须加速探测器,使之在地球附近 获得多大的速度(相对地球)? (2)当探测器脱离并沿地球公转轨道稳定运行后,在某年 3 月 1 日零时测得探测器与 火星之间的角距离为 60 ? , 那么应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探 测器刚好落在火星表面?(时间计算仅需精确到日) 已知地球半径为 Re ? 6.4 ? 10 m ,重力加速度取 g ? 9.8m / s 2 .
6

18. 利用天文望远镜作长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,双星系统由 两个星体组成, 其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离, 一般双星系统距离其它星 体很远,可以作孤立系统处理. 现根据某一双星系统的光度学测量,该系统的每个星体的质 量都是 M,两者的距离为 L,它们正在绕系统的质心做圆周运动. (1)试计算双星系统的运动周期 T1. (2)若实际上观测到运动周期为 T2,且 T1∶T2=1∶ N (N>1) ,为了解释 T2 与 T1 的不同, 目前有一种流行的理论认为, 在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质, 作为一种简 化模型, 我们假设在这两个星体连线为直径的球体内均匀发布着这种暗物质, 而不考虑其它 暗物质的影响,试根据这一模型和上述观测结果,确定该星系间暗物质的密度.

振动和波
1. 如图 1 所示的振动系统,轻弹簧的劲度系数为 k,滑轮的质量为 M,细线与滑轮之间无摩擦,两个小物块的质量分别为 m1 和 m2,m1> m2, 试求滑轮的振动周期. 2. 如图 2 所示,物体的质量为 m,用弹簧悬挂吊于水平轻杆上, 杆的一端与光滑铰链相连,另一端用弹簧悬挂,已知 k1、k2、m 及尺寸 a、 b,试求物体 m 的振动周期. O k2 k1 图2 A 2l l C O m
● ●

k M

m1 B 图1

m2

a O

b

αα

图3

R

3. 如图 3 所示,质量为 m 的小球 C 由细绳 AC 和 BC 共同悬挂,已知 AC=l, 图4 BC=2l,∠ACO=∠BCO=30?,试求小球 C 在垂直纸面方向上的微振动周期. 4. 半径为 R 的轻圆环上固定两个质相同的小重物,在环上与两个 O ● v0 小重物距离相等的 O 处钻一小孔,将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而把 B 圆环挂起来,使圆环可以在竖直平面上作微振动,两小重物的位置关系 可以用它们之间的角距离 2α 表示,如图 4 所示,试求圆环微振动的周期. 5. 如图 5 所示,在水平光滑桌面的中心有一个光滑小孔 O,一条劲度 系数为 k 的细弹性绳穿过小孔 O,绳的一端系于小孔 O 正下方地面的 A A 处,另一端系一质量为 m 的小物块,弹性绳的自然长度等于 OA,现将小 图5 物块沿桌面拉至 B 点处,OB=L,并给小物块一个与 OB 垂直的初速度 v0
8

沿桌面射出,试求:(1)小物块绕 O 点转过 90 ? 到达 C 点所需要的时间;(2)小 C 物块到达 C 点时的速度及 CO 的长度. l l 6. 三根长为 l=2.00m 的质量均匀的直杆构成一个等边三角形 框架 ABC,C 点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转动, A B l 杆 AB 是一导轨,一电动玩具松鼠可在导轨上运动,如图 6 所示,现 图6 观测到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动,试证明松鼠的运动应 是一种什么样的运动. 7. A 是某种材料制成的小球,B 是某种材料制成的均匀刚性薄球壳,假 设 A 与 B 的碰撞是完全弹性的,B 与桌面的碰撞是完全非弹性的. 已知球 B 壳质量为 m,内半径为 r,放置在水平无弹性的桌面上,小球 A 的质量也为 A ● m,通过一自然长度为 r 的柔软弹性绳悬挂在球壳内壁的最高处,且有

kr ?

9 mg ,起初将小球 A 拉到球壳的最低点,如图 11 所示,然后轻轻释放, 2

图7

试详细地、定量地讨论小球 A 以后的运动. 8. 如图 8 所示,一只狼沿半径为 R 的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动, 当狼经过岛边缘某点时,一只猎犬以相同速率从岛中心 O 出发追赶狼,设在 追赶过程中狼、猎犬、中心 O 三者始终在同一直线上,问猎犬应沿何种曲线 追赶?它在何处可以追上狼? 9. 到了晚上,地面辐射降温使空气层中产生温度梯度,温度随高度递增,

·O 图8

这导致声速 v 随高度 y 变化,假定变化规律为 v ? v0 (1 ? a 2 y 2 ) ,其中 v0 是地面(y=0) 处的声速, a 为比例常数, 今远方地面上某声源发出一束声波, 发射方向与竖直方向成 ? 0 角, 假定在波的传播范围内 ay <<1,试求该声波在空间传播的轨迹,并求地面上听得最清楚的 地点与声源的距离.

二、热学部分
1. 假设一颗行星的质量为 M 半径为 r,它被均匀的大气所包围,大气的摩尔质量为μ , 若大气层的厚度为 h(h<<r) ,试求该行星表面上大气的温度. 2. 一辆质量为 M、长度为 L 的车厢可以无摩擦地沿直水平轨道运动,车厢内充满气体, 正中间由一块可动的竖直隔板分开,气体的初始温度为 T,右半侧车厢内装有加热器,使这 侧的气体的温度加热到 2T。左半侧车厢内气体的温度保持初温不变,试求车厢发生的位移. 设气体的总质量为 m. 3. 一球形热气球,其隔热很好的球皮连同吊篮等装载的总质量为 300kg,经加热后,气 球膨胀到最大体积,此时它的直径为 18m,球内外的气体成分相同,而球内气体的压强稍稍 高过大气压,试求刚好能使热气球上升时,球内空气的温度. 已知此时大气温度为 27?C, 压强为 1atm,标准状态下空气的密度为 1.3kg/m3. 4. 一气缸初始体积为 V0,其中盛有 2mol 的空气和少量的水(水的体积可忽略) ,平衡时 气体的总压强是 3 大气压,经等温膨胀使其体积加倍,在膨胀结束时,其中的水刚好全部消 失,此时总压强为 2 大气压,若让其继续做等温膨胀,使其体积再次加倍,试计算此时 (1)气缸中气体的温度;(2)气缸中水蒸气的摩尔数;(3)气缸中气体的中压强.
9

F 5. 在一具有绝热壁的刚性圆筒形封闭气缸内,有一装有小阀 A B 门 L 的绝热活塞,在气缸的 A 端装有电热器 H,可用来加热气 H L 体,起初活塞紧贴着气缸的 B 端的内壁,小阀门关闭,整个气 缸内盛有一定质量的某种理想气体,其温度为 T0,活塞与气缸 图1 壁之间无摩擦. 现设法把活塞压至气缸中央,并用销钉 F 把活塞 固定,从而把气缸分成体积相等的左右两室,如图 1 所示,在上述压缩气体的过程中,设对 气体做功为 W,气体温度上升到 T,再开启小阀门,经足够长的时间后将其关闭,然后拔 除销钉,让活塞可以自由移动,并用加热器加热气体,加热完毕并经一定时间后,得知左室 内气体的压强变为加热前的 1.5 倍, 右室气体的体积变为原来的 0.75 倍, 试求电热器传给气 体的热量. 6. 在大气压为 76cmHg 的环境中, 把一根长为 76cm 的粗细均匀的玻璃管竖直倒置在水银 槽面上,管口恰在水银面,设在某一温度下,已有一部分水银进入管内,管内水银柱上方封 闭的空气有 0.001mol,现把玻璃管的温度缓慢降低 10?C,试求管内空气放出的热量.已知每 摩尔空气的内能为 U=CVT,常数 CV=20.5J/mol·K. 7. 空气是混合气体,各组分质量百分比约为:氮气占 76.9%,氧气占 23.1%,其它组分可 忽略不计,现有一气缸,缸内充有空气,并装有一些极细的钢丝,气缸的活塞能自由无摩擦 地移动, 使气缸内的气体的压强恒为 1 大气压, 缸内有非常缓慢的化学反应, 假定生成 1mol 的 Fe2O3 后氧气耗尽, 已知这个过程是在 1atm、 300K 的条件下进行的, 系统放热 8.24×105J, 已知氧和氮的摩尔内能均为

5 RT ,细钢丝的体积可忽略,试求这过程中(1)整个系统内 2

能的改变量; (2)气缸内气体内能的改变量; (3)气缸内氮气密度的改变量. 8. 如图 2 所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨,处于恒定磁场中,磁场 方向与导轨所在平面垂直.一质量为 m 的均匀 导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导 轨无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略不 v0 R0 计.导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝相连, 电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不计. 容器与一水平放置的开口细管相通,细管内有一 截面为 S 的小液柱(质量不计) ,液柱将 1mol 气 图2 体(可视为理想气体)封闭在容器中.已知温度升高 1K 时,该气体的内能的增加量为 5 R 2 (R 为普适气体常量) ,大气压强为 p0,现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到 平衡时细管中液柱的位移. 19. 一质量为 m 的平薄长方形匀质 玻璃板,用两根等长细线悬挂起来,如 金属薄膜 图 3 所示,玻璃板每一侧面的半个表面 2a b 对称地涂了一层化学性质活泼的金属薄 a a 膜,其质量可忽略不计,整个装置竖直 b c 地悬挂在空的容器中,并向容器通入压 b b 金属薄膜 强为 p 的氯气,设某一氯气分子遇金属 图3 分子发生化合反应的概率 q<1,且在讨 论的时间范围内 q 为恒量, 生成的氯化物留在玻璃板上, 整个装置中的线量均已在涂中标出, 平衡时玻璃板将绕它的中央竖直轴转过一个小角度α ,试求这α 值.

10

三、电磁学部分
静电场
1. 一根电荷线密度为λ 的无限长均匀带电导线弯成图 1 所示形状,左边是一半径为 R 的半圆形,右边是两根相距为 2R 的平行半无限长直线,试求圆心处的电场强度. UA M A B A M 图1 图2 图3 B N 图4 A U0 0 T 2T t

-2U0 图5

2. 半径为 R 的细圆环所带电量为 Q,若这圆环的其中一直径 AB 上的场强处处为 0,如 图 2 所示,试求圆环上电荷线密度λ 的分布规律. 3. 质量为 M=2m 的均匀带电球的半径为 R,带电量为 Q,开始时静止在光滑水平面上, 现沿直径开一条很小的绝缘光滑通道,如图 3 所示,并在球的最左端 A 处由静止开始释放 一质量为 m、带电量为-Q 的带电粒子 N,若只考虑静电力,不考虑万有引力,当带电粒子 N 到达球心处时,球 M 和粒子 N 的速度各是多少? 4. 如图 4 所示,A 和 B 是真空中的两块面积很大的平行金属板,加上周期为 T 的的交 流电压,在两板间产生交变的匀强电场,已知 B 板的电势为零,A 板的电势 UA 随 时 间 变 化的规律如图 5 所示,其中 UA 的最大值为 U0,最小值为-2 U0. 在图 34 中虚线 MN 表示 与 A、B 板平行等距的一个较小的面,MN 面到 A、B 的距离都是 l,在此面所在处,不断 产生电量为 q,质量为 m 的带负电的微粒,各个时刻产生带电粒子的机会均等. 这种微粒 产生后,从静止出发在电场力的作用下运动. 设微粒一旦碰到金属板,它就附在板上,不再 运动,且其电量同时消失,不影响 A、B 板的电压. 已知上述的 T、U、l 、q、m 等各量的 值正好满足等式: l ?
2

3 U0q T 2 ? ( ) . 若在交流电压变化的每个周期 T 内,平均产生 320 16 2m 2
T 这段时间内产生的微粒中,有多 2
A Q

个上述微粒,试论证在 t=0 到 t ?

少个微粒可到达 A 板?(不计重力,不考虑微粒之间的相互作用力) 5. 如图 6 所示,三根完全一样的绝缘、均匀带电的细棒组成 P 一个等边三角形 ABC,P 点是三角形的中心,Q 点与三角形共面, B 图6 且与 P 点关于 AC 棒对称,若测得 P、Q 两点的电势分别为 UP、 UQ.. 现把 BC 棒取走,而 AB、AC 棒的电荷分布不变,求这时 P、 U Q 两点的电势分别是多少? 6. 正电荷 Q1 和 Q2 分别置于相距为 L 的两点 A 和 B,现以 AB 为直径作半圆,试求在这半圆周上电势最低点 P 的位置. x0 α x0 7. 两个点电荷位于 x 轴上,在它们形成的电场中,若取无 0 限远处的电势为零,则在正 x 轴上各点的电势如图 7 中的曲线所 示,当 x →0 时,电势 U →∞,当 x →∞时,电势 U →0,电势 -U0 为零的坐标为 x0,电势为极小值-U0 的点的坐标为α x0(α >2) , 图7 试根据图线提供的信息,确定这两个点电荷所带电荷的荷号、电量

C

x

11

的大小以及它们在 x 轴上的位置. ☉2 8. 如图 8 所示, 在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同的金属球, 1 ☉ 球心分别位于边长为 r(r>>a)的正方形的四个顶点上. 首先让球 1 带电量 为 Q(Q>0) ,然后,取一细金属丝,一端固定在球 1 上,另一端分别依次 4☉ ☉3 与球 2、球 3、球 4、大地接触,每次接触的时间足以使它们达到静电平衡, 图8 设分布在金属丝上的电荷可以忽略不计,试求流入大地的电量. 9. 如图 9 所示,O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的 球心,O1、O2、O3 为位于球内的三个半径皆为 r 的球形空腔 的球心,它们与 O 共面,已知 OO1 ? OO2 ? OO3 ? 在 OO1、OO2 的连线上距 O1、O2 为 O1 P1 O P R R P2 O2 图9

R . 2

O3 r

r 的 P1、P2 点处分 2

别放置带电量为 q1 和 q2 的线度很小的导体(视为点电

荷) ,在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷,设法使 q1、q2 和 q3 固定不动.在导体球外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷,P 点与 O1、O2、O3 共面,位于 O3O 的延长线上,到 O 的距 离 OP ? 2 R .(1)求 q3 的电势能.(2)将带有电量 q1、q2 的小导体释放,当重新达到静电平衡 时,各表面上的电荷分布有何变化? 此时 q3 的电势能为多少? 10. 一平行板电容器,电容为 C0=300pF,极板 A1 接在一电源正 极,A2 接在另一电源的负极,两电源的电动势都是 150V,电源的 另一极都接地,取一厚金属板 B 插入电容器间的正中央,金属板的 A1 B A2

1 面积与 A1 及 A2 相同,厚度为电容器两极板间距离的 ,如图 10 所 3
示,(1)取一电动势为 50V 的电源 E,负极接地,正极与 B 板相连, 图 10

E

问此时由电源 E 输送到 B 板的总电量的多少?(2)在上述情况下,左右平移 B 板,改变它在 两极板间的位置,使 B 板的电量向电源 E 回输,直到电源 E 原来输送给 B 板的电量全部送 回电源 E 时,固定 B 板的位置,然后切断所有电源,并将 B 板从电容器中抽出,求这时电 容器两极板 A1、A2 之间的电压.

电路
1. 如图 1 所示,边长为 9 l、厚薄均匀的薄电阻合金正方形板的两边嵌有导电性能良好 的金属丝,此时 A、B 间的电阻为 R. 现在该板上均匀对称地打穿 9 个边长为 l 的正方形孔, 如图 2 所示,求此时 A、B 间的电阻. 2. 图 3 所示的是一个正六面体框架,每边的电阻都是 R,试求 A、C 两顶点之间的电阻. 3. 图 4 所示的是由电阻丝连成的无限电阻网络,已知每根电阻丝的电阻都是 r,试求 A、
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B 两点间的电阻. l l 2l A B A l 2l l l 图1 B A A C 图3 4. 由 7 个阻值都是 r 的电阻组成的网络元如图 5 所示, 由这种网络元彼此连接形成的单向无限网络如图 6 所示, 试求图 8 中 P、Q 两点间的等效电阻 RPQ. P 图5 Q a a 5. 用同种均匀金属丝连接成的无限内接等边三 ∶ ? 角形电阻网络如图 7 所示,每个外三角形的中点 为内接三角形的三个顶点,设最外面的等边三角 A B a 形边长为 a,金属丝单位长度的电阻为 r,试求 A、 图7 B 之间的等效电阻. ab 6. 图 8 是一个“田”字形电阻丝网络,网络 c 中每小段电阻丝的电阻都是 R,试求网络中 A、 B B 两点间的等效电阻. 7. 图 9 电路是 一个无限的平面电阻网络, A 图9 图8 它由大小相同的正六边形网眼组成,所有六边 形每边的电阻都是 r,试求图中 a、c 两点之间 1.0? 1.0? 1.0? 1.0? 10? B 的等效电阻. ? 20 ? F 20V 8. 如图 10 所示的电路中,各电源的内阻均为 D 2.0? 2.0? 2.0? 零,其中 B、C 两点与其右方由 1.0Ω 的电阻和 A 20?F 10?F 2.0Ω 的电阻构成的无穷组合电路相接.求图中 30? E C ? 10μ F 的电容器与 E 点相接的极板上的电荷量. 10V 18? 24V 9. 图 11 所示电路中,E 为内阻可忽略的电 图 10
13

B

图2

图4 r r r r r r r

图6

R 源电动势,R 为电阻的阻值,S 为开关,A、B 右边 是由如图 11 所示的 8 个完全相同、电容为 C 的理想 电容器组成的电,问从合上开关 S 到各电容器充电完 毕,电阻 R 上发热消耗的能量是多少?(解题时,要求 在图中标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负) E S

B 2 A 1 3 4 图 11 5 6 8 7




M B

N 1. 如图 1 所示,在水平桌面上放有两根互相平行。相距为 0.2m 的 h 4 C L 金属导轨 PQ 和 MN,电容器的电容为 C=1×10 μ F,且已充电完毕, L 是质量为 m=0.1kg 的铝棒,它与轨道的摩擦可忽略不计,竖直向上 S P Q 的磁场的磁感应强度 B=2T,导轨离地面的高度为 h=0.8m,当开关 S 图1 闭合后,铝棒被推出,落地点的水平位移为 0.4m,求电容器放电时通 u2 过铝棒的电量和电容器两极板间电压的改变量.(取 g=10m/s2) 45? × × × 2. 如图 2 所示,磁感应强度大小为 B 的磁场垂直光滑水平桌面,桌 p2 N u 面上有一长为 h 的绝缘空心光滑细管 MN,管内 M 端有一带正电的小 1 2h × h × × 球 p1,在桌面上 N 的正右方 2h 处有一不带电的小球 p2. 开始时 p1 相对 p1 M B 管静止,管带着 p1 以垂直管长度方向的速度 u1 朝正右方运动;与此同 × × × 时,小球 p2 在桌面上以与 MN 方向成 45?角的速度 u2 运动,设管的质 y 图2 量远远大于 p1 的质量,且 p1 在管内的运动对管的运动的影响可忽略. 已知 p1 离开管的 N 端时相对桌面的速度大小恰为 2 u1,且在离开管 的 N 端后最终能与 P2 相碰,试求 p1 的荷质比以及 u1 与 u2 的比值. D 3. 如图 3 所示,在 xy 坐标面(光滑水平面)的原点 O 处有一带 v m 电粒子源,发射出相同的粒子,粒子的质量为 m,电量为 q>0,粒 θ qO 子出射速率都是 v,出射方向与 x 轴的夹角θ 在 0~π 范围内,略去 图3 粒子之间的相互作用,试设计一个磁场,使得这些粒子通过磁场力 的作用能形成宽度为 D 且沿 x 轴方向行进的平行粒子束. 4. 质量为 m、带电量为 q>0 的小球,在离地面高度为 h 处从静止开始自由下落,为了使 小球始终不会和地面相碰, 可设想在它开始下落时就加上一个足够强的水平均匀磁场, 试求 这磁场的磁感应强度的最小可能值 B0. 5. 图 4 中 S 为离子源,它能向各个方向均匀地发射质量为 m、电 B 量为 q、速率为 v 的离子,S 的右侧有一半径为 R 的圆屏,S 与圆屏 O 中心 O 的连线垂直于圆屏.设周围空间有均匀磁场,其磁感应强度大 S R 小为 B,方向与 S 到 O 是方向相同,S 发射的离子中,有些离子不管 图4 S、O 之间的距离如何变化,总能打到屏面上,试求这些离子的数目占 总发射离子数的百分比.(不考虑离子间的相互作用) 6. 有一足够大的相互垂直的匀强电场和匀强磁场,已知电场强度 大小为 E,方向竖直向下,磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向内, 一带电量大小为 q 的液滴在竖直于磁场的纸平面内做半径为 R 的匀速 B R 圆周运动,如图 5 所示,忽略空气浮力与阻力,(1)试求液滴速度大小 A 和液滴运动方向;(2)在轨道最低点 A 时,如果液滴分裂成两个大小相 同的液滴,分裂后其中一个液滴仍在原平面做半径为 R1=3R 的绕行方 E 图5
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x

向不变的圆周运动,且此大圆的最低点也是 A,那么另一液滴如何运动?(3)假若过 A 点的水 平面以下的磁感应强度大小调为 B′,方向不变,要使两液滴再次 相碰,B′和 B 之间应满足什么条件? v0 7. 如 6 图所示,当一质量为 m、带电量为 q>0 的质点入射到一 B 磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中,其初速度大小为 v0,设这质点 m q 在媒质中所受的阻力为 f ? ?kv ,试求当这质点速度为零时所经历 的位移.忽略重力的影响. 8. 空间有半径为 R、长为 L 很短的圆柱形磁场区域,圆柱的轴 线为 z 轴,磁场中任一点的磁感应强度的方向沿以 z 轴为对称轴的 圆的切线,大小与该点到 z 轴的距离 r 成正比,B=kr,k 为常数,如 图 7 所示,电量为 q >0,质量为 m 的一束带电粒子如图中一簇平 行箭头所示,以很高速度 v 沿圆柱轴方向,穿过磁场空间,磁场区 域外的空间磁场大小可视为零,试讨论这束带电粒子流穿过磁场区 域后的运动情况. 9. 如图 8 所示,在半径为 a 的圆柱形空间中(图中圆为其横截面) 充满磁感应强度大小为 B 的均匀磁场,其方向平行于圆柱轴线远离读者, 在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为 L=1.6a 的刚性等边三角形框架Δ DEF,其中心 O 位于圆柱的轴线上,DE 边上 S 点( DS ?

?

?

图6

v

L · · ·
× × ×

R z

图7 F

a
D S

O

B

1 L )处有一发射带电粒子的源,发射粒子的方向皆在图中截 4

E

面内,且垂直于 DS 边向下,发射粒子的电量皆为 q>0,质量皆为 m,但 速度 v 有各种不同的值,若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰 图8 撞,并要求每一次碰撞时速度方向垂直被碰撞的边,试问:(1)带电粒子速 度 v 的大小取哪些数值时可使 S 点发出的粒子最终又回到 S 点?(2)这些粒子中,回到 S 点 所用的最短时间是多少?

电磁感应
c a 1. 如图 1 所示,在磁感应强度为 B 的匀强磁场中与磁场方向垂 直的平面中有两根足够长的固定光滑金属平行导轨,导轨间的距离 v0 为 l,图示平面为水平面,在导轨上面平行放置两根导体棒 ab 和 cd ,构成一个矩形导体回路,每根导体棒的质量都是 m,电阻都 d b 是 R,导轨的电阻可忽略不计,导体棒可在导轨上无摩擦滑行,开 图1 始时 ab 棒静止,cd 棒具有水平向右的初速度 v0,试求两根导体棒 之间距离增量的上限. B 2. 如图 2 所示,质量为 m 的导体杆可以无摩擦地沿水平的平行 R v0 导轨滑行,两导轨的间距为 l,导轨与阻值为 R 的电阻相接,空间 有竖直向上的磁场,磁感应强度大小为 B,导体杆的初速度为 v0, 试求杆到停下来所滑行的距离. 图2 1 2 l2 l1 3. 如图 3 所示,电源电动势为ε ,电容器的电容为 C,S 是 N 单刀双掷开关,MN、PQ 是位于同一光滑水平面内的平行光滑 ε SM B C P 导轨,它们的电阻可忽略不计,两导轨间距为 L,导轨处于磁 Q
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L

图3

感应强度大小为 B 的匀强磁场中, 磁场方向如图所示, l1 和 l2 是两根横放在导轨上的导体小 棒,它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好,不计摩擦,两小导体棒的电阻相同, 质量分别是 m1 和 m2,且有 m1< m2,开始时两根小棒均静止在导轨上,现将开关 S 先合上 1,后合向 2,求(1)两根小棒最终速度的大小;(2)在整个过程中损耗的焦耳热.(当回路中有电 流时,该电流所产生的磁场可忽略不计) 4. 如图 4 所示,PQQnPn 是由若干个正方形方格 PQQ1P1,P1Q1Q2P2,P2Q2Q3P3 ,?, Pn-1Qn-1QnPn 构成的网络,方格每边长度为 l=10.0cm,边 QQ1,Q1Q2,Q2Q3,?,与边 PP1, P1P2,P2P3,?的电阻都是 r,边 PQ,P1Q1,P2Q2,?的电阻都是 2r,已知 P、Q 两 点间的总电阻是 Cr,C 是一个已知的常数, y Q 在 x>0 的半空间分布有随时间 t 均匀增加的 Qn Q2 Q1 n-1 Q3 B Q r 匀强磁场,磁场方向垂直于 oxy 平面并指向 v 2r 2r 纸面,今令导线网络 PQQnPn 以恒定的速度 r P v=5.0cm/s 沿 x 正方向运动并进入磁场区域, Pn Pn-1 P3 P2 P1 x 在运动过程中方格的边 PQ 始终与 y 轴平行, O 图4 若取 PQ 与 y 轴重合的时刻为 t=0,在以后 的任一时刻 t 磁场的磁感应强度为 B=B0+bt,式中 t 的单位为 s,B0 为已知恒量,b=0.10B0, 试求 t=2.5s 时刻,通过导线 PQ 的电流.(忽略导线网络的自感) 5. 如图 5 所示, 在正方形导线回路所围的区域 A1A2A3A4 内分布有垂直于回路平面的匀强 磁场, 磁感应强度 B 随时间以恒定的变化率增大, 回路中的感应电流为 I=1.0mA, 已知 A1A2、 A2 R2 A3 图5 A1 A2 A1
A4

A2 + V 2 R2 - A3 图7

A1 R1 A4

A2 R2 A3 + V3 -

A1 R1 A4

R 1 R2 A4 A3 图6

- R1 V 1 +

A4

图8 A3A4 两边的电阻都是零,A4A1 边的电阻 R1=3.0kΩ,A2A3 边的电阻为 R2=7.0kΩ,(1)试求 A1、A2 两点间的电压 U12,A2、A3 两点间的电压 U23,A3、A4 两点间的电压 U34,A4、A1 两点间的电压 U41;(2)若一内阻可视为无限大的电压表 V 位于正方形导线回路所在的平面 内,其正负端与连线位置分别如图 6、图 7、图 8 所示,试求这三种情况下电压表的读数 V1、 V2、V3. 6. 如图 9 所示,两条平行的长直金属细导轨 KL、PQ 固定于同一水平面内,它们之间的 距离为 l,电阻可忽略不计; K B c a B L ab 和 cd 是两根质量皆为 m 的金属细杆,杆与导轨垂直, 且与导轨良好接触,并可沿 d b P Q 导轨无摩擦地滑动.两杆的 电阻皆为 R.杆 cd 的中点系 图9 一轻绳,绳的另一端绕过轻的 定滑轮悬挂一质量为 M 的物体,滑轮与转轴之间的摩擦不计,滑轮与杆 cd 之间的轻绳处于 M 水平伸直状态并与导轨平行. 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中, 磁场方向垂直于导轨所在 平面向上,磁感应强度的大小为 B.现两杆及悬物都从静止开始运动,当 ab 杆及 cd 杆的速 度分别达到 v1 和 v2 时,两杆加速度的大小各为多少? 7. 如图 10 所示,一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环,其内、外半径分别为 a1、a2,厚度
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可以忽略.两个表面都带有电荷,电荷面密度 ? 随离开环心 距离 r 变化的规律均为 ? ( r ) ? , ? 0 为已知常量.薄圆环绕 r2 通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 ? 减速转动, t = 0 时刻的角速度为 ? 0 .将一半径为 a0 (a0<<a1)、电阻为 R 并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置.试求在薄圆环 减速运动过程中导线圆环中的张力 F 与时间 t 的关系. 提示:半径为 r、通有电流 I 的圆线圈(环形电流) ,在圆心处 产生的磁感应强度为 B ? k

?0

a2 a0 a1

I (k 为已知常量) r

图 10

四、光学部分
n2 O 1. 如图 1 所示 ,界面两边透明媒质的折射率分别为 n1、n2,在媒质 1 n1 h 中有一小物体 A,它到界面的距离为 h,现从媒质 2 垂直(小角度)观 A 看物体 A,那么视深是多少? 图1 2. 如图 2 所示,一个盛有折射率为 n 的液体的槽的中部扣着一 D 个对称屋脊形的薄壁透明罩 ADB,顶角为 2φ,罩内为空气,整个 n n 罩浸在液体中,槽底 AB 的中点 C 处有一亮点,试求出:位于液 n′ 面上方图示平面内的眼睛从侧面观测可看到亮点的条件.(液槽有 足够的宽度,罩壁积薄,可不计它对光线产生折射的影响) A C B 3. 如图 3 所示,在折射率为 n 的介质 A 中有一个半径为 R 的球 图2 形气泡,气体的折射率为 n0,现在气泡中再放一个与气泡同心的 n0 由透明介质 B 构成的球,并令一均匀平行光束射向气泡,(1)如果 任意一条在介质 A 中射向气泡表面的入射光线在通过各介质面时 n′ n O R′ 的入射角和折射角都满足 sinθ ≈θ 的条件,且该光线再进入介质 R B A 时能沿原入射光线方向行进,如图 5 所示,试求介质 B 的折射率 A n′和 B 球的半径 R′必须满足的关系式;(2)如果两球之间的介质 图3 不是气体而是一种透明液体(其折射率仍用 n0 表示) ,并要求任何 入射角和折射角都不大于 0.1 弧度,则符合此条件的入射光束占射至外球面上的光束的百分 比是多少? n n0=1 4. 如图 4 所示,一半径为 R、折射率为 n 的玻璃半球放在空气 h0 x O 中,平表面中央半径为 h0 的区域被涂黑,一平行光束垂直入射到 h0 此平面上,正好覆盖整个表面,ox 为以球心 O 为原点、与平面垂 直的坐标轴,通过计算,求出坐标轴 ox 上玻璃半球右边有光线通 过的各点(有光线段)和无光线通过的各点(无光线段)的分界面的坐标. 图4 5. 有一放在空气中的玻璃棒,折射率 n=1.5,中心轴线长为 L=45cm,一端是半径为 R1 =10cm 的凸球面,(1)要使玻璃棒的作用相当于一架天文望远镜(使主光轴上无限远处的物 成像在主光轴上无限远处的望远系统),取中心轴线为主光轴,玻璃棒另一端应磨成什么样 的球面?(2)对于这个玻璃棒,由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角 度 φ1 时,从棒另一端射出的平行光束与主光轴成小角度 φ2,求 φ2 与 φ1 的比值.
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6. 有一种高脚酒杯,如图 5 所示.杯内底面为一凸起的球面,球 心在顶点 O 下方玻璃中的 C 点,球面的半径 R = 1.50cm,O 到杯口 平面的距离为 8.0cm.在杯脚底中心处 P 点紧贴一张画片,P 点距 O 点 6.3cm.这种酒杯未斟酒时,若在杯口处向杯底方向观看,看不出 画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方向观看,将看到 画片上的景物.已知玻璃的折射率 n1 ? 1.56 ,酒的折射率 n2 ? 1.34 .

O C
P

试通过分析计算与论证解释这一现象. 图5 7. 把焦距分别是 f1 和 f2 的两个薄透镜共轴地靠在一起,组成一个仍 可看作是薄透镜的光学元件,那么这个组合透镜的焦距是多少? 8. 长度为 4mm 的物体 AB 由图 6 所示的光学系统成像,该光学系统由一个直角棱镜、一 个薄会聚透镜和一个薄发散透镜组成, 有关参数和尺寸均已标在图上, 试求(1)像的位置; (2) 像的大小并作图说明是实像还是虚像,是正立还是倒立. B A L2 L1 L 6cm 45? n=1.5 6cm H 2cm S 图7 10cm 5cm f2=10cm 3cm

f1=20cm

图6 9. 有一水平放置的平行平面玻璃板 H,厚 3cm,折射率为 n=1.5,在其下表面下 2cm 处 有一小物体 S,在玻璃板上方有一薄凸透镜,其焦距 f=30cm,透镜主光轴与玻璃板面垂直, S 位于透镜的主光轴上,如图 7 所示,若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到 S 的像就在 S 所在处,试求凸透镜与玻璃板上表面的距离. 10. 一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折射后,会聚于透镜后 f=48cm 处, 透镜的折射率为 n=1.5,若将此透镜的凸面镀银,小物体置于透镜平面前 12cm 处,求最后 所成像的位置.

五、近代物理部分
1. 一个由日本和印度物理学家组成的工作小组做了如下实验:把 6×104kg 的铁放在很深 的矿井中,以完全隔断宇宙射线的影响,在铁旁有很多探测仪,只要铁核中有核子(质子和 中子)发生衰变,这个事件总能被记录下来. 实验从 1980 年冬开始到 1982 年夏结束, 历时 1.5 年, 一共记录了 3 个核子衰变的事例. 已知 N0 个平均寿命为τ 的粒子经过 t 时间后的数目为 N ? N 0 e


?

t

?

个,根据以上事实,试估


算出核子的平均寿命.(已知核子质量 m=1.67×10 27kg,当 0 <x <<1 时,e x≈1-x) 2. 1995 年,美国费米国家实验室 CDF 实验组在质子反质子对撞机 TEVATRON 的实验中
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观测到了顶夸克,测得它的静质量为 mt=1.75×10 11eV/c2=3.1×10 - ×10 24s,这是近 20 年来粒子物理研究最重要的实验进展之一.


- 25

kg,寿命为τ =0.4

(1)正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为 V (r ) ? ?k

4a s ,式中 r 是)正反顶夸克之间 3r

的距离, as =0.12 是强相互作用耦合系数,k 是与单位制有关的常量,在国际单位制中 k= 0.319×10 25J· m ,为估算正反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统,可把束缚状态设 想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们的连线中点做匀速圆周运动, 如能构成束缚 态,试用玻尔理论确定系统处于基态中正反顶夸克之间的距离 r0,已知处于束缚态的正反顶


夸克粒子满足量子化条件: 2m v(

r0 r h )?n , n ? 1, 2, 3 ? ,式中 m v( 0 ) 为一个粒子动 2 2? 2

量 mv 与其轨道半径

r0 - 的乘积哦,n 为量子数,h=6.63×10 34J· s 为普朗克常数.(2)试求正 2

反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期 T, 你认为正反顶夸克的这个束缚态能 存在吗? 3. (1)质量不为零的ω 介子静止时衰变为三个质量相同的π 介子, 即ω →3π , 试讨论每次 衰变产生的三个π 介子的动能 T1、T2、T3 可能取的全部值.通常表示每一组动能值 (T1,T2, T3 )的方法如下:作一个等边三角形 A1A2A3,取其高 Q 为三个π 介子的动能之和,Q=T1 +T2+T3 ,在三角形内取一点 P,令 P 点到顶点 Ai 的对边的距离为 Ti(i=1,2,3)则每一点对 应一组动能值(T1,T2,T3 ) ,衰变时可以实现全部(T1,T2,T3 )的可能取值,可以用 P 点的可能存在区域来表示,这个区域称为运动学允许区,试在△A1A2A3 中找出 ω →3π 的 运动学允许区(设衰变后π 介子的速度比光速小得多). (2)正电子偶素是由一个电子与一个正电子组成的束缚态粒子,记为 PS,它在静止时可以 衰变为三个γ 光子,即 PS→3γ ,试在△A1A2A3 中找出三个γ 光子的运动学允许区. 4. 有两个处于基态的氢原子 A、B,A 静止,B 以速度 v0 与之发生碰撞,已知:碰撞后二 者的速度 vA 和 vB 在一条直线上,碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收,从而该原 子由基态跃迁到激发态,然后,此原子向低能态跃迁,并发出光子. 如欲碰撞后发出一个光 - 子,试论证:速度 v0 需要多大(以 m/s 作单位)?电子电量为 e=1.602×10 19C,电子质量为 - - me=9.1×10 31kg,质子质量为 mp=1.673×10 27kg,氢原子的基态能量为 E1=-13.58eV. 5. 如图 1 所示,在真空中有一个折射率为 n (n > n0 ,n0 为真空的折射率)、半径为 r 的匀 质小球,频率为 ν 的细激光束在真空中沿直线 BC 传播,直线 C D BC 与小球球心 O 的距离为 l(l < r),光束于小球表面的 C 点经 O E 折射进入小球(小球成为光传播的媒质) ,并于小球表面 D 点 B 又经折射进入真空,设激光束的频率在上述两次折射后保持不 变,试求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小. 图 1 6. 在相对实验室静止的平面直角坐标系 S 中,有一个光子沿 x 轴正方向射向一个静止于 坐标原点 O 的电子,在 y 轴正方向探测到一个散射光子,已知电子的静止质量为 m0,光速 为 c ,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的十分之一. (1)试求电子运动速度的大小 v,电子运动方向与 x 轴的夹角θ ,电子运动到离原点距离为 L0(作为已知量)的 A 点所经历 的时间Δ t; (2)在电子以(1)中的速度 v 开始运动时,一观测者 S′相对于坐标系 S 也以速度 v 沿 S 系
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中电子运动的方向运动, (即 S′相对于电子静止) ,试求 S′测出的 OA 的长度. 7. 设地球是一个半径为 6370km 的球体, 在赤道上空离地面 1 千多公里处和赤道共面的圆 - 与赤道形成的环形区域内,地磁场可看作是均匀的,其磁感应强度为 B=3.20×10 6T,某 - - 种带电宇宙射线粒子,其静质量为 m0=6.68×10 27kg ,其电荷量为 q=3.20×10 19C,在 地球赤道上空的均匀地磁场中围绕地心做半径为 R=7370km 的圆周运动. 已知在相对论中 只要作用于粒子的力 F 的方向始终与粒子运动的速度 v 的方向垂直,则运动粒子的质量 m 和加速度 a 与力 F 的关系仍为 F=ma,但式中的质量 m 为粒子的相对论质量,问:(1)该粒 子的动能为多大?(2)该粒子在圆形轨道上运动时与一个不带电的静质量为 m2=4 m0 的静止 粒子发生碰撞,并被其吸收形成一个复合粒子,试求复合粒子的静质量 m1. 8. 试从相对论能量和动量的角度分析论证 (1)一个光子与真空中处于静止状态的自由电 子碰撞时,光子的能量不可能完全被电子吸收;(2)光子射到减速表面时,其能量有可能完 全被吸收并使电子逸出金属表面,产生光电效应. 9. 封闭的车厢中有一点 光源 S,在距光源 l 处有一半 径为 r 的圆孔,其圆心为 O1, 光源一直在发光,并通过圆孔 O S l v r O1 图2 xA R O2

射出.车厢以高速 v 沿固定在水平地面上的 x 轴正方向匀速运动,如图 2 所示.某一时刻, 点光源 S 恰位于 x 轴的原点 O 的正上方,取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零 点.在地面参考系中坐标为 xA 处放一半径为 R(R >r)的不透光的圆形挡板,板面与圆孔所 在的平面都与 x 轴垂直.板的圆心 O2 、S、 、O1 都等高,起始时刻经圆孔射出的光束会有部 分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕(图中未画出)上.由于车厢在运动,将会出现挡板将 光束完全遮住,即没有光射到屏上的情况.不考虑光的衍射.试求: (1)车厢参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻. (2)地面参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻.

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