当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年高考数学第一轮复习单元第13讲 平面向量的数量积及应用ok


2013 年高考数学第一轮复习单元
第 13 讲
一. 【课标要求】
1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系; ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2

.向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,发展运算能力和解决 实际问题的能力。

平面向量的数量积及应用

二. 【命题走向】
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向 量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值 5~9 分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、 共线等问题,以解答题为主 预测 2013 年高考: (1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目 (2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质;

三. 【要点精讲】
1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a,作 OA = a , OB = b ,则∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角; 说明: (1)当 θ=0时, a 与 b 同向;2)当 θ=π 时, a 与 b 反向;3)当 θ= (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2

C (2)数量积的概念 规定 0 ? a ? 0 ; 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ︱ 。

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? a ?b 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影; |a| ? ? ? ? ? (3)数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
(4)向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系: a ? a ? a ?| a | 。
2

? ?

?2

?

②乘法公式成立 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ; a ? b ③平面向量数量积的运算律 交换律成立: a ? b ? b ? a ;

?? ? ?? ?
? ?
? ?

?

?

?2

?2

?2

?2

?? ?

?

2

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b ;

? ?

? ? ?? ? R ? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。
对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b

?? ?

?

?

?

1

? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b ④向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 。 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ? ? ? ? ? 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它任何非零
向量之间不谈夹角这一问题 (5)两个向量的数量积的坐标运算

? ? ? ? ? ? ? ? (6)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 ? ? ? ? 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,平面向量数量积的性质。
已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2 。

?

?

(7)平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y ) ,则 | a | ? x ? y 或 | a |?
2 2 2

x2 ? y2 。

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

四. 【典例解析】
题型 1:数量积的概念
例 1.判断下列各命题正确与否: (1) 0 ? a ? 0 ;

?

2) 0 ? a ? 0 ;

? ? ?

3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;

?

? ?

? ?

?

?

(4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立;5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a , b , c 向量都成立;
2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a 。

? ?

? ?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

?

?

?2

点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚 0 ? a 为零向量,而 0 ? a 为零 例 2. (1)、已知△ ABC 中,过重心 G 的直线交边 AB 于 P ,交边 AC 于 Q ,设△ APQ 的面积为 S1 ,△ ABC 的面积为 S 2 , AP ? pPB , AQ ? qQC ,则

??? ?

??? ?

????

????

pq ? p?q

(2)设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①( a · b ) c -( c · a ) b = 0 ②| a |-| b |<| a - b | ③( b · c ) a -( c · a ) b 不与 c 垂直 )

④(3 a +2 b ) a -2 b )=9| a |2-4| b |2 中,是真命题的有( (3

A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。

题型 2:向量的夹角
??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 1 例 3. (1)过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD ?xAB , AE ? y AC , xy ? 0 ,则 ? 的 x y
值为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 。

(2)已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),且 a ? ? b ,那么 a ? b 与 a ? b 的夹角的大小是
0 (3)已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角。

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

2

(4)| a |=1,| b |=2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150°





点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式 cos? ?
? ? ? ?

a ?b | a |?|b |

,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和

向量间的乘法计算可见一斑。对于 a . b ?| a || b | cos ? 这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行) 的充要条件必需掌握 例 4. (1)设平面向量 a1 、 a 2 、 a 3 的和 a 1 ? a 2 ? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足 | bi |? 2 | a i | , 且

a i 顺时针旋转 30o 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则(
B. b1 - b2 + b3 = 0 C. b1 + b2 - b3 = 0

) D. b1 + b2 + b3 = 0

A.- b1 + b2 + b3 = 0

(2)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos? 的值; 2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

练习 2、如图,已知△ABC 中,|AC|=1,∠ABC= (1) 求 f (? ) 关于 θ 的表达式; (2) 求 f (? ) 的值域。

??? ??? ? ? 2? ,∠BAC=θ,记 f (? ) ? AB?BC 。 3

3. 已知 | AC |? 5 , | AB |? 8 , AD ? 5 DB , CD ? AB ? 0 。
11

(1)求 | AB ? AC | ; (2)设∠BAC=θ ,且已知 cos(θ +x)=

? 4 , ?? ? x ? ? ,求 sinx 4 5

点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题

题型 3:向量的模
A.5

o 例 5. (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于(

?

?

?

?

?

?

) ( D.12 )

B.4

C.3
0

D.1

(2)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等于 A. 3 B.2 3 C.4

点评:掌握向量数量积的逆运算 | a |?

a ?b | b | cos Q

,以及 a ?| a | 。
2

2

3

例 6.已知 a =(3,4) b =(4,3) , ,求 x,y 的值使(x a +y b )⊥ a ,且|x a +y b |=1。 点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想。

?

?

?

?

?

?

?

题型 4:向量垂直、平行的判定
例 7.已知向量 a ? ( 2,3) , b ? (x,6) ,且 a // b ,则 x ? 。

例 8.已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值。 (1) m ? n ;

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

(2) m // n ;

?

?

? ? ( 3 )m ? n 。

点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算

题型 6:平面向量在几何图形中的应用
例 12.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角。 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 是⊙O 上任一点(不与 A、B 重合) ,求证:∠APB=90°。

12 题 点评:平面向量是一个解决数学问题的很好工具,它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支 和相关学科中有着广泛的应用。

针对练习
1、已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 ( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 ) D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向

??? ??? ? ? ??? ? 3、设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( ) ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0 ? A 4、 已知 O, P 在 ?ABC 所在平面内, OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , P P P? P ?P P N, 且 且A B B C C ?
则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 ( ) C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 . ( )

?



B.重心 外心 内心

5. 若向量 a= ? x, 2 x ? ,b= ? ?3 x, 2 ? ,且 a,b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 6.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , c ? (a ? b) ,则 c ? A. ( , )

7 7 9 3

B. (? , ? )

7 3

7 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. (? , ? )

7 9

7 3

7. 对于 n 个向量, a1 ,a2 ,? ,an , 若存在 n 个不全为零的实数 k1 , k2 ,? kn , 使得 k1a1 ? k2a2 ? ? ? kn an ? 0 成立, 则称向量 a1 ,a2 ,? ,an , 是线性相关的.按此规定,能使向量 a1 ? (1, 0), a2 ? (1, ?1), a3 ? (2, 2) 是线性相关的实数

k1 , k2 , k3 的值依次为

.(只需写出一组值即可)
4

9. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos? ?

?

?

?

?

?

. .

??? ? ???? 10. 已知向量 AB ? (4, 0), AC ? (2, 2), 则 AC与BC 的夹角的大小为 五. 【思维总结】
1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定; (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a ·b ;今后要学到两个向量的外积 a × b ,而 a ? b 是两个向量的数 量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a ?0,且 a ? b =0,不能推出 b = 0 。因为其 中 cos?有可能为 0; (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c。但是 a ? b = b ? c

a ? c;

如右图: a ? b = | a | b |cos? = | b ||OA|, b ?c = | b |c|cos? = | b ||OA|? a ? b = b ? c , 但a ?c ; (5)在实数中,有( a ? b ) c = a ( b ? c ),但是( a ? b ) c ? a ( b ? c ),显然,这是因为左端是与 c 共线的向量, 而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线。 2.平面向量数量积的运算律 特别注意:1)结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ; (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? ; (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 。 3.向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用, 而它具有代数形式和几何形式的“双 重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足 够的重视. 数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直; 4.注重数学思想方法的教学 ①.数形结合的思想方法。 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在向量知识的整个学习过程中,都体现了数形结合的 思想方法,在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识。 ②.化归转化的思想方法。 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题;三角形形状的判定可化 归为相应向量的数量积问题;向量的数量积公式 a ? a ,沟通了向量与实数间的转化关系;一些实际问题也可 以运用向量知识去解决。 ③.分类讨论的思想方法。

?

? ?

? ?

? ?

? ?? ? ? ?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

?2

?2

5


相关文章:
2013年高考数学第一轮复习单元第13讲 平面向量的数量积及应用ok
2013年高考数学第一轮复习单元第13讲 平面向量的数量积及应用ok 隐藏>> 2013 年高考数学第一轮复习单元第 13 讲一. 【课标要求】 1.平面向量的数量积 ①通过...
高考一轮复习平面向量的数量积及应用
高考一轮复习平面向量的数量积及应用_数学_高中教育_教育专区。年 级 高三 胡...3, a ? b ? 13, 则 b =___. *8. 已知非零向量 AB 与AC 满足: (...
高三一轮复习平面向量数量积和应用
2013届高三数学一轮复习讲... 19页 2财富值 2013...高考第一轮复习——平面向... 10页 5财富值 高三...高三一轮复习平面向量数量积和应用 平面向量的数量积...
2013届高考数学第一轮复习教案第26讲 平面向量的数量 积及应用
文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育) 2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第 26 讲 平面向量的数量积及应用一....
高三数学一轮复习 平面向量的数量积
高三数学一轮复习 平面向量的数量积 【复习指导】 本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的数 量积的有关运算,利用数量...
2014高考数学第一轮复习精品学案第26讲:平面向量的数量积及应用
普通高考数学一轮复习精品学案第 26 讲 平面向量的数量积及应用一.课标要求 1.平面向量的数量积 ① 通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意...
2014高考数学新编:第26讲 平面向量的数量积及应用
2014高考数学新编:第12讲... 2014高考数学新编:第13讲... 2014高考数学新编:...(人教版)第一轮复习单元讲座 第二十六讲 平面向量的数量积及应用 一.课标...
高考第一轮复习——平面向量的数量积及应用(文)
2013年高考数学第一轮复习... 5页 免费 高三一轮复习--28平面向量... 52页...高三第一轮复习:平面向量的数量积及应用(文) 【本讲教育信息 本讲教育信息】...
第26讲 平面向量的数量积及应用
13页 免费 第26讲 平面向量的数量积及... 暂无评价 2页 免费 2013年普通高考...高考数学一轮单元复习:第... 23页 免费 新课标高三数学第一轮复习... 10页...
更多相关标签: