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高中学业水平测试数学复习学案 第2课时 函数概念及表示


学业水平测试数学复习学案 第 2 课时 函数概念及表示
一.知识梳理 1.函数的概念: 设 A、 B 是_____________,如果按某个确定的对应关系 f ,使集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有_____________的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y ? f ( x), x

? A .其中, x 叫做自变量,集合 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 C ? { f ( x) | x ? A} 叫做函数的值域,且 C _______ B . 2.函数的三要素:____________、____________、_____________. 3.映射的概念. (1)设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 元素,在集合 B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 . (2)象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做 象, 叫做原象。 4.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3) f ( x ) 满足某个等式,此等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; 5.常见的三种题型确定定义域[注意函数定义域的书写形式必须是集合或区间形式]: ① 已知解析式,如:① y ? f ( x) ,则 ; ② y ? 2n f ( x) (n ? N * ) ,则 ; g ( x) ③ y ? log f ( x ) g ( x) ,则 ;④ y ? [ f ( x)] ,则
0



② 复合函数 f [g(x)]的定义域, 就要保证内函数 g(x)的 域是外函数 f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得自变量有意义的取值集合 6.求函数的值域方法 ① 配方法(将函数转化为二次函数);② 判别式法(将函数转化为二次方程);③ 不等式法(运 用不等式的各种性质);④ 函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) 二.课前检测 1、从集合 A ? ?0,1 到集合 B ? ?a, b, c? 的映射个数共有 ? 2.函数 个

f ( x) ? x ? x ? 1? ? x
2

的定义域是____________. )

3. 函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 , x ? [0,2] 的值域是( A. [2,4] B. [ ?

1 ,?? ) 12

C. [?

1 , 2] 12

D. [?

1 , 4] 12

4. 若 f (x) 是一次函数, f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 且,则 f (x) = _________________。 5.函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是
2

三.典例解析 【例 1】试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

2n (3)(x) 2n?1 x 2n?1 , (x) ( 2 n ?1 x ) 1 f = g = (n∈ *) N ; (4) (x) x f =


g = x ? 1 , (x) x 2 ? x ;

【例 2】(1)设函数 f ( x) ? ?

( x ? 100) ?x ? 3 , 求f (89). ? f [ f ( x ? 5)] ( x ? 100)


?2 ? x , x ? (??,1] 1 (2)设函数 f(x)= ? ,则满足 f(x)= 的 x 值为 4 ?log 81 , x ? (1,?? )

?2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 【变式训练】设 f ( x) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?

2

【例 3】求下述函数的定义域:

2x ? x 2 (1) f ( x) ? ? (3 ? 2 x) 0 ;(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x 2 ? a 2 ). lg(2 x ? 1)

【变式训练】1.已知函数 f(x)=

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是 ax ? ax ? 3
3 2

2.若 f (x) 的定义域为[-1,1],求函数 f ( x ? 1) 的定义域 3.若 f ( x ? 1) 的定义域是[-1,1],求函数 f (x) 的定义域

【例 4】.求下列函数的值域: (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ;(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;(3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ;(5) y ? x ? 1 ? x 2 ;(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 (x ? ) ; (7) y ? 2 ; (8) y ? 2x ?1 2 x ? x ?1

【变式训练】1.函数 y ? x 2 ? 2 x 的定义域为 {0,1, 2,3} ,则其值域为___________.

2. 求函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域.
2

3.求函数 y=

x2 ?1 的值域. x2 ?1

【例 5】(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ;

2 x

(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;

(4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 。

1 x

【变式训练】1.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m 等于________

1 2

2.若函数 f (x) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f (x) 的表达式为__________

1 x


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