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圆内接四边形的性质与判定定理&圆的切线的性质及判定定理


2.2 圆内接四边形的性质 与判定定理

思考: 任意三角形都有外接圆.那么任意正方形 有外接圆吗?为什么?任意矩形有外接圆吗?等 腰梯形呢? 一般地, 任意四边形都有外接圆吗? A O

D C
A

A

D

A

D

B



B D

C

B

C

B

C

思考:一个四边形内接于圆,那么它有何特征?
1 1 如图(1)连接OA,OC.则∠B= ? . ∠D= ? 2 2 0 ?? ? ? ? 360 C D 1 ? ?B ? ?D ? ? 360 0 ? 180 0 ? 2 0
同理可得 : ?A ? ?C ? 180

O

?

[性质定理1]圆内接四边形的对角互补. 将线段AB延长到点E,得到图(2)
由于?ABC ? ?EBC ? 180 .
0

A

B

D

C

而?ABC ? ?D ? 1800.

??EBC ? ?D.

A

B E

[性质定理2]圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

[性质定理1]圆内接四边形的对角互补. 思考:性质定理的逆命题成立吗?
假设:四边形ABCD中,∠B+∠D=180°

探究:A,B,C,D四点是否共圆? 分析:过任意三点ABC可以作一个⊙O,现在只要 证明点D也在⊙O上就可以了. (1)点D在圆外;(2)点D在圆上;(3)点D在圆内.
如何排除情况(1)、(3)? A A E D A D
O B C O

D E C

B

C

B

圆内接四边形判定定理
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边 形的四个顶点共圆.
当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情 形分别论证,最后获证结论的方法-------穷举法

推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角,那么它的四个顶点共圆. C D

A

B

E

[例1] 如图, O1与 ? O2 都经过A,B两点.经过点A的直 ? 线CD与 ? O1 交于点C,与 ? O2 交与点经过点B的直线 EF与 ? O1 交于点E,与 ? O2 交与点F. (课本P29 例1) D 求证:CE//DF. A
C

O1
E
B

O2
F

[例2]如图,CF是△ABC的AB边上的高, C FP⊥BC,FQ⊥AC 求证:A,B,P,Q四点共圆
Q
P

(课本P29 例2)
A F

B

练习:课本P30

题1、3、2

1.AD,BE是△ABC的两条高,求证:∠CED=∠ABC.
C E D A O B

2.求证:对角线互相垂直的四边形中,各边 中点在同一个圆周上.

3.如图,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和 DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于 F,G. 求证: ∠CFG=∠DGF.
A G F B E

D

C

圆与直线的位置关系:

相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点

切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
A M

反证法 假设不垂直, 作OM⊥l 故OA>OM, 因“垂线段最 短”, 即圆心到直线距离小于半径. 这与线圆相切矛盾.

l

O

推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

思考:切线的性质定理逆命题是否成立?

切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.
l
A B

在直线上任取异于A的点B.

连OB.
则在Rt△ABO中
O

OB>OA=r 故B在圆外 直线与圆只有一个公共点,是切线.

例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线. 证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90? ∴∠ODE=90?
E D C

B A O

又∵D在圆周上, ∴DE是⊙O是切线.

例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上点, AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,
D C

∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO.

A

O

B

故AC平分∠DAB.

练习:课本P32

题1、2、3

1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.求证:AC与⊙O相切.
A D E

B

O

C

作OE垂直AC于E

2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是 OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O 的切线交OA的延长线于R.求证:RP=RQ
B

P A O Q R

∠AQP=∠APQ

3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为 B,OC平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
C D A
3 1 42
O

B

△COD与△ COB全等


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