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成才之路·人教A版数学选修2-2 1.1.1


选修 2-2

第一章

1.1

1.1.1

一、选择题 f?x0+Δx?-f?x0? 1.(2013· 临沂高二检测)在表达式 中,Δx 的值不可能( Δx A.大于 0 C.等于 0 [答案] C [解析] Δx 可正,可负,但不为 0,故应选 C. 2.函数 y=f(x)当自变量 x 由 x

0 变化到 x0+Δx 时,函数的改变量 Δy 为( A.f(x0+Δx) C.f(x0)·Δx [答案] D [解析] 由定义,函数值的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选 D. 3.已知函数 f(x)=-x2+x,则 f(x)从-1 到-0.9 的平均变化率为( A.3 C.2.09 [答案] D [解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2. f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71. f?-0.9?-f?-1? -1.71-?-2? ∴平均变化率为 = =2.9,故应选 D. 0.1 -0.9-?-1? 4.已知函数 f(x)=x2+4 上两点 A、B,xA=1,xB=1.3,则直线 AB 的斜率为( A.2 C.2.09 [答案] B [解析] f(1)=5,f(1.3)=5.69. ∴kAB= f?1.3?-f?1? 5.69-5 = =2.3,故应选 B. 0.3 1.3-1 ) B.2.3 D.2.1 ) B.0.29 D.2.9 ) B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0) ) B.小于 0 D.大于 0 或小于 0 )

5.已知函数 f(x)=-x2+2x,函数 f(x)从 2 到 2+Δx 的平均变化率为( A.2-Δx C.2+Δx [答案] B [解析] ∵f(2)=-22+2×2=0, B.-2-Δx D.(Δx)2-2·Δx

∴f(2+Δx)=-(2+Δx)2+2(2+Δx) =-2Δx-(Δx)2, ∴ f?2+Δx?-f?2? =-2-Δx,故应选 B. 2+Δx-2 )

Δy 6. 已知函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx, f(1+Δx)), 则 =( Δx A.4 C.4+2(Δx)2 [答案] B Δy [解析] Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=2· (Δx)2+4·Δx,所以 =2Δx+4. Δx 二、填空题 Δy 7.已知函数 y=x3-2,当 x=2 时, =________. Δx [答案] (Δx)2+6Δx+12 [解析] =
3 3 Δy ?2+Δx? -2-?2 -2? = Δx Δx

B.4+2Δx D.4x

?Δx?3+6?Δx?2+12Δx Δx

=(Δx)2+6Δx+12. 1 1 8.在 x=2 附近,Δx= 时,函数 y= 的平均变化率为__________________. 4 x 2 [答案] - 9 1 1 - 2 Δy 2+Δx 1 2 [解析] = =- =- . Δx Δx 9 4+2Δx 9.已知曲线 y=x2-1 上两点 A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当 Δx=1 时,割线 AB 的斜率是 ________;当 Δx=0.1 时,割线 AB 的斜率是________. [答案] 5 4.1 [解析] 当 Δx=1 时,割线 AB 的斜率 k1=
2 2 2 2 Δy ?2+Δx? -1-2 +1 ?2+1? -2 = = =5. Δx Δx 1

当 Δx=0.1 时,割线 AB 的斜率 k2=
2 2 Δy ?2+0.1? -1-2 +1 = =4.1. Δx 0.1

三、解答题 10.已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1]、[0,5]上函数 f(x) 及 g(x)的平均变化率.

[解析] 函数 f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为 f?-1?-f?-3? [2×?-1?+1]-[2×?-3?+1] = =2. 2 -1-?-3? 函数 f(x)在[0,5]上的平均变化率为 f?5?-f?0? =2. 5-0 函数 g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为 g?-1?-g?-3? =-2. -1-?-3? 函数 g(x)在[0,5]上的平均变化率为 g?5?-g?0? =-2. 5-0

一、选择题 11.质点运动规律 S(t)=2t+3,则 t 从 3 到 3.3 内,质点运动的平均速度为( A.9 C.2 [答案] C [解析] S(3)=9,S(3.3)=9.6, S?3.3?-S?3? 0.6 ∴平均速度 v = = =2,故应选 C. 0.3 3.3-3 1 12.在 x=1 附近,取 Δx=0.3,在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y= 中,平 x 均变化率最大的是( A.④ C.② [答案] B [解析] Δx=0.3 时,①y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k1=1;②y=x2 在 x=1 附近的 平均变化率 k2=2+Δx=2.3;③y=x3 在 x=1 附近的平均变化率 k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99; 1 1 10 ④y= 在 x=1 附近的平均变化率 k4=- =- .∴k3>k2>k1>k4,故应选 B. x 13 1+Δx 13.物体做直线运动所经过的路程 s 可以表示为时间 t 的函数 s=s(t),则物体在时间间 隔[t0,t0+Δt]内的平均速度是( A.v0 ) B. Δt s?t0+Δt?-s?t0? ) B.③ D.① B.9.6 D.0.2 )

s?t0+Δt?-s?t0? C. Δt [答案] C

s?t? D. t

[解析] 由平均变化率的概念知 C 正确,故应选 C. 二、填空题 1 14.函数 y= x在 x=1 附近,当 Δx= 时的平均变化率为________. 2 [答案] [解析] 6-2 1+Δx- 1 Δy = = 6-2. Δx Δx

三、解答题 2 15.过曲线 f(x)= 2的图象上两点 A(1,2),B(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线 AB,求出当 Δx x 1 = 时割线的斜率. 4 ?2+Δy?-2 Δy [解析] 割线 AB 的斜率 k= = ?1+Δx?-1 Δx 2 -2 ?1+Δx?2 -2?Δx+2? 72 = = 2 =- . Δx 25 ?1+Δx? 16.(2013· 宜兴高二检测)比较 y=x3 与 y=x2 在 x=2 附近平均变化率的大小. ?2+Δx?3-23 [解析] 当自变量 x 从 x=2 变化到 x=2+Δx 时, y=x3 的平均变化率 k1= = Δx (Δx)2+6Δx+12, ?2+Δx?2-22 y=x2 的平均变化率 k2= =Δx+4, Δx 5 7 ∵k1-k2=(Δx)2+5Δx+8=(Δx+ )2+ >0, 2 4 ∴k1>k2. ∴在 x=2 附近 y=x3 的平均变化率较大. 17.路灯距地面 8m,一个身高为 1.6m 的人以 84m/min 的速度在地面上从路灯在地面 上的射影点 C 处沿直线匀速离开路灯. (1)求身影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式; (2)求人离开路灯 10s 内身影的平均变化率. [解析] (1)如图所示,设人从 C 点运动到 B 处的路程为 xm,AB 为身影长度,AB 的长 度为 ym,由于 CD∥BE,则 即 AB BE = , AC CD

y 1.6 1 = ,所以 y=f(x)= x. 4 y+x 8

(2)84m/min=1.4m/s,在[0,10]内自变量的增量为 x2-x1=1.4×10-1.4×0=14, 1 1 7 f(x2)-f(x1)= ×14- ×0= . 4 4 2 7 f?x2?-f?x1? 2 1 所以 = = . 14 4 x2-x1 1 即人离开路灯 10s 内身影的平均变化率为 . 4


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