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2013年高考数学第一轮复习单元第14讲 数列概念及等差数列


2013 年高考数学第一轮复习单元
第 14 讲
一. 【课标要求】 1.数列的概念和简单表示法;通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方 法(列表、图像、通项公式) ,了解数列是一种特殊函数; 2.通过实例,理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式; 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相

应的问题。体会等 差数列与一次函数的关系 二. 【命题走向】 数列在历年高考都占有很重要的地位,一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。 对于本将来讲,客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式等 基本知识和基本性质的灵活应用,对基本的计算技能要求比较高 预测 2013 年高考: 1.题型既有灵活考察基础知识的选择、填空,又有关于数列推导能力或解决生产、生活中 的实际问题的解答题; 2.知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题,还可 能涉及部分考察证明的推理题 三. 【要点精讲】 1.数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项) , 在第二个位置的叫第 2 项,??,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,??, an ,??,简记作 数列概念及等差数列

? an ? 。

(2)通项公式的定义:如果数列 {a n } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么 这个公式就叫这个数列的通项公式 例如, 数列①的通项公式是 an = n( n ? 7,n ? N? ) 数列②的通项公式是 an = ,
1 ( n ? N? ) 。 n

说明:① ?an ? 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f ? n ? 表示数列的通项公式;
??1, n ? 2k ? 1 (k ? Z ) ; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如, an = (?1) n = ? ??1, n ? 2k

③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,?? (3)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项 之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列 (4) 递推公式定义: 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项 (或前几项) 且任一项 an 与它的前一项 an?1 , (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式

1

2.等差数列 (1)等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同 一个常数, 那么这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字母 d 表示。 用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 (2)等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ; 说明: 等差数列 (通常可称为 A P 数列) 的单调性:d ? 0 为递增数列,d ? 0 为常数列,d ? 0 为递减数列。
a?b 。 2 n(a1 ? an ) n(n ? 1) (4)等差数列的前 n 和的求和公式: Sn ? ? na1 ? d。 2 2

(3)等差中项的概念: a , A , b 成等差数列 ? A ?

四. 【典例解析】 题型 1:数列概念
例 1(1)、已知 A. -1 B. 1 为等差数列, C. 3 D.7 选 B。 ,则 等于

解:∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .

(2) 、根据数列前 4 项,写出它的通项公式: 1)1,3,5,7……;2)
22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 1 1 1 1 , , , ;3) ? , ,? , 。 2 3 4 5 3*4 1* 2 2 *3 4 *5
(n ? 1) 2 ? 1 ; n ?1

解: (1) an =2 n ? 1;

(2) an =

(3) an =

( ?1) n 。 n( n ? 1)

例 2.数列 ?an ? 中,已知 an ? (1)写出 a10 , an?1 , an2 ; 解: (1)∵ an ?
2

n2 ? n ? 1 (n ? N ? ) , 3

2 (2) 79 是否是数列中的项?若是,是第几项? 3

n2 ? n ? 1 102 ? 10 ? 1 109 (n ? N ? ) ,∴ a10 ? , ? 3 3 3

an ?1

? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ? n2 ? 3n ? 1 ?
3 3

, an 2

?n ? ?

2 2

? n2 ? 1 3

?

n4 ? n2 ? 1 ; 3

2)令 79

2 n2 ? n ? 1 2 ? ,解得 n ? 15, 或n ? ?16 ,∵ n ? N ? ,∴ n ? 15 , 即 79 为该数列的第 15 项。 3 3 3

题型 2:数列的递推公式
例 3. (1)已知数列 ? an ? 适合: a1 ? 1 , an ?1 ?

2 an ,写出前五项并写出其通项公式; an ? 2

2

2)用上面的数列 ?an ? ,通过等式 bn ? an ? an?1 构造新数列 ?bn ? ,写出 bn ,并写出 ?bn ? 的前 5 项 解: (1) a1 ? 1 , a2 ?
(2) bn ?

2 2 2 2 2 , a3 ? , a4 ? , a5 ? ,……, an ? ; 3 4 5 6 n ?1

2 2 2 1 1 1 1 1 , b1 ? , b2 ? , b3 ? , b4 ? , b5 ? . ? ? n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2) 3 6 10 15 21

点评: 会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式, 了解递推公式是给出数列的又一种重 要方法,能根据递推公式写出数列的前几项。 题型 3:数列的应用 例 5、如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常 数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差. (1)设数列 {an} 是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an?1 (n ? 2, ? N ) 的关系式; n (2)若数列 {an} 既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列;
? (3) 设数列 {an} 是首项为 2 ,公方差为 2 的等方差数列,若将 a1,a2,a3, ,a10 这种顺

序的排列作为某种密码,求这种密码的个数.
2 2 (1)解:由等方差数列的定义可知: an ? an?1 ? p (n ? 2, ? N ) n

(2)证法一:∵ {an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? an?1 ? an ? d
2 2 2 2 又 {an} 是等方差数列,∴ an ? an?1 ? an?1 ? an ∴ (an ? an?1)(an ? an?1) ? (an?1 ? an )(an?1 ? an )

即 d (an ? an?1 ? an?1 ? an ) ? ?2d 2 ? 0 ,

∴ d ? 0 ,即 {an} 是常数列.

证法二:∵ {an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? d ??○ 1
2 2 又 {an} 是等方差数列,设公方差为 p ,则 an ? an?1 ? p ??○ 2 2 1 2 3 ○代入○得, d ? 2dan ? p ? 0 ??○

同理有, d 2 ? 2dan?1 ? p ? 0 ??○ 4

两式相减得:即 2d (an ? an?1) ? 2d 2 ? 0 , ∴ d ? 0 ,即 {an} 是常数列.
2 2 2 (3)依题意, an ? an?1 ? 2 (n ? 2, ? N ) , a12 ? 4 , an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 n

∴ an ? 2n ? 2 ,或 an ? ? 2n ? 2 , 即该密码的第一个数确定的方法数是 1,其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法,当每个数确定下来时,密码就确定了,即确定密码的方法数是 29 ? 512 种, 故,这种密码共 512 种. 。
3

例 6.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察 表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内

答案:140

85

解析:从题目所给数据规律可以看到:收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律: 随着年龄的变化,舒张压分别增加了 3 毫米、2 毫米,?照此规律,60 岁时的收缩压和舒张压分 别为 140;85. 点评:本题以实际问题为背景,考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需 要技能、技巧及繁杂的计算,需要有一定的数学意识,有效地把数学过程实施为数学思维活动。 题型 4:等差数列的概念 例 7.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( A.等比数列,但不是等差数列 C.等差数列,而且也是等比数列 解:an= ? )

B.等差数列,但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 ∴an=2n-1(n∈N) 答案:B;

( n ? 1) ( n ? 1) ?S1 ?1 ? an ? ? ? 2 n ? 1 ( n ? 2) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

又 an+1-an=2 为常数,

a n ?1 2 n ? 1 ? ≠常数 ∴{an}是等差数列,但不是等比数列. an 2n ? 1

点评:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用递推式 an=Sn-Sn-
1 的推理能力.但不要忽略

a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵活

例 8.设数列 {a n } 、 {bn } 、 {cn } 满足: bn ? a n ? a n?2 , cn ? a n ? 2a n?1 ? 3a n?2 (n=1,2,3,…) , 证明: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {cn } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…) 证明: 1? 必要性:设数列 {a n } 是公差为 d 1 的等差数列,则:
bn?1 ? bn ? (an?1 ? an?3 ) ? (a n ? a n ? 2 ) = (a n?1 ? a n ) ? (a n?3 ? a n? 2 ) = d 1 - d 1 =0,

∴ bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…)成立; 又 cn?1 ? cn ? (an?1 ? an ) ? 2 (a n? 2 ? a n?1 ) ? 3(a n?3 ? a n? 2 ) =6 d 1 (常数) (n=1,2,3,…) ∴数列 {cn } 为等差数列。

4

, 2 ? 充分性:设数列 {c n } 是公差为 d 2 的等差数列,且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…) ∵ cn ? a n ? 2a n?1 ? 3a n?2 ……① ∴ cn ? 2 ? a n ? 2 ? 2a n?3 ? 3a n? 4 ……②

①-②得: cn ? cn? 2 ? (an ? an? 2 ) ? 2(a n?1 ? a n?3 ) ? 3(a n? 2 ? an? 4 ) = bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2 ∵ cn ? cn? 2 ? (cn ? cn ?1 ) ? (cn?1 ? cn? 2 ) ? ?2d 2 ∴ bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2 ? ?2d 2 ……③ 从而有 bn?1 ? 2bn? 2 ? 3bn?3 ? ?2d 2 ……④

④-③得: (bn?1 ? bn ) ? 2(bn? 2 ? bn?1 ) ? 3(bn?3 ? bn? 2 ) ? 0 ……⑤ ∵ (bn ?1 ? bn ) ? 0 , bn ? 2 ? bn ?1 ? 0 , bn ?3 ? bn ? 2 ? 0 ,∴由⑤得: bn ?1 ? bn ? 0 (n=1,2,3,…) , 由此,不妨设 bn ? d 3 (n=1,2,3,…) ,则 a n ? a n ? 2 ? d 3 (常数) 故 cn ? an ? 2an?1 ? 3a n? 2 ? 4a n ? 2a n?1 ? 3d 3 ……⑥ 从而 cn?1 ? 4an?1 ? 2an? 2 ? 3d 3 ? 4an?1 ? 2an ? 5d 3 ……⑦ ⑦-⑥得: cn?1 ? cn ? 2(an?1 ? an ) ? 2d 3 , 故 an?1 ? a n ?
1 1 (n=1,2,3,…) ,∴数列 {a n } 为等差数列。 (cn?1 ? cn ) ? d 3 ? d 2 ? d 3 (常数) 2 2

综上所述: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {cn } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…) 。 点评:该题考察判断等差数列的方法,我们要讲平时积累的方法巧妙应用,有些结论可以起 到事半功倍的效果 题型 5:等差数列通项公式 例 9.已知等差数列 {a n } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a 2 q ? ? ? a n q n ?1
Tn ? a1 ? a 2 q ? ? ? (?1) n?1 a n q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S 3 成等比数列,求 q 的值。 (1)解:由题设, S 3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q , 将q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15
2

代入解得 d ? 4 ,所以 a n ? 4n ? 3 n ? N *
2 (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S 3 ? d ? 2dq ? 3dq ,? S1 , S 2 , S 3 成等比数列,所以 S 2 ? S1 S 3 ,

2

( 即 d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2
2 2

点评:本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和等基本知识,考查运算能力和推 理论证能力和综合分析解决问题的能力

5

例 10.已知等比数列 { x n } 的各项为不等于 1 的正数,数列 { y n } 满足 y n lo gxn a ? 2(a ? 0, a ? 1) ,设

y3 ? 18, y 6 ? 12 。
(1)求数列 { y n } 的前多少项和最大,最大值为多少? (2)令 a n ? log xn x n ?1 (n ? 13, n ? N ) ,试判断数列 {a n } 的增减性?

解: (1)由已知得: y n ? 2 log a x n 设等比数列{xn}的公比为 q(q≠1) 由 y n ?1 ? y n ? 2(log a x n ?1 ? log a x n ) ? 2 log a ∵ y3 ? 18, y 6 ? 12 ,∴d=-2;
x n ?1 ? 2 log a q 得 { y n } 为等差数列,设公差为 d xn

∴ y n ? y3 ? (n ? 3)d ? 24 ? 2n 其和为 132 y12 ? 0 ∴前 11 项和前 12 项和为最大,

? y k ?1 ? 0 ? 11 ? k ? 12 设前 k 项为最大, ? 则 ? yk ? 0

(2) an= log xn xn?1 ? log12?n a12?( n ?1) ? a ∵ a n ?1 ? a n ?

n ? 11 n ? 12

n ? 10 n ? 11 ?1 ? ? ?0 n ? 11 n ? 12 (n ? 11)( n ? 12)

∴ a n ?1 ? a n ∴ n ? 13 时数列{an}为递减数列 点评:该题通过求通项公式,最终通过通项公式解释复杂的不等问题,属于综合性的题目,解题 过程中注意观察规律 题型 6:等差数列的前 n 项和公式 例 11. (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则 这个数列有( A.13 项 ) B.12 项 C.11 项 D.10 项 )

(2)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( A.1 解: (1)答案:A 设这个数列有 n 项
3? 2 ? ?S 3 ? 3a1 ? 2 d ? ∵ ?S ? ? S ? S ? 3a ? 3nd ? 6d ? 3 n n ?3 1 ? n( n ? 1) ?S n ? a1 n ? d 2 ? ?
? ?3( a1 ? d ) ? 34 ∴ ?3a ? 3d ( n ? 2) ? 146 ? 1 ? n( n ? 1) d ?a1 n ? ? 390 ? 2

B.2

C.4

D.6

∴n=13

6

(2)答案:B 前三项和为 12,∴a1+a2+a3=12,∴a2=

S3 =4 3

a1·a2·a3=48,∵a2=4,∴a1·a3=12,a1+a3=8, 把 a1,a3 作为方程的两根且 a1<a3,∴x2-8x+12=0,x1=6,x2=2,∴a1=2,a3=6,∴选 B. 点评:本题考查了数列等差数列的前 n 项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力 例 12. (1)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 {

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n

(2)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=100,求数列{bn}的通项 bn; 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

1 n(n-1)d.∴S7=7,S15=75, 2

∴?

?7 a1 ? 21d ? 7, ?a1 ? 3d ? 1, S 1 1 即? 解得 a1=-2, d=1. ∴ n =a1+ (n-1) d=-2+ (n-1) 。 2 2 n ?15a1 ? 105d ? 75, ?a1 ? 7 d ? 5,



S S n ?1 S n 1 1 9 1 ? ? ,∴数列{ n }是等差数列,其首项为-2,公差为 ,∴Tn= n2- n. n ?1 n 2 2 n 4 4
∴bn=2n-1.

?b1 ? 1, ?b1 ? 1, ? 2)设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? 解得 ? 10(10 ? 1) d ? 100. ? d ? 2. ?10b1 ? ? 2

点评:本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用,对一些综合性的问题要先理清思路再 行求解 题型 7:等差数列的性质及变形公式 例 13. (1)设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下 列结论错误的是( .. A.d<0 B.a7=0 ) C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 )

(2)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260

解: (1)答案:C; 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2+?+a5+a6,∴a6>0, 又 S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0, 由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0, 由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的。

7

(2)答案:C

m(m ? 1) ? d ? 30 ?ma1 ? ? 2 解法一:由题意得方程组 ? , ?2ma ? 2m( 2m ? 1) d ? 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d ?

40 10(m ? 2) , , a1 ? 2 m m2

∴ S 3m ? 3ma1 ?

3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 d ? 3m ? ? 210 。 2 m2 2 m2

解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之和为 b3,则 b1, b2,b3 也成等差数列。 于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70-30=40。 ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210.

解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 点评:本题考查等差数列的基本知识,及灵活运用等差数列解决问题的能力,解法二中是利用 构造新数列研究问题,等比数列也有类似性质.解法三中,从题给选择支获得的信息可知,对任 意变化的自然数 m,题给数列前 3m 项的和是与 m 无关的不变量,在含有某种变化过程的数学 问题,利用不变量的思想求解,立竿见影。 五. 【思维总结】 1.数列的知识要点: (1)数列是特殊的函数,数列是定义在自然数集 N(或它的有限子集{1,2,3,?,n,?} ) 上的函数 f(n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值:f(1) f(2) f(3) , , ,?,

f(n) ,?。数列的图象是由一群孤立的点构成的。
(2)对于数列的通项公式要掌握:①已知数列的通项公式,就可以求出数列的各项;②根据 数列的前几项,写出数列的一个通项公式,这是一个难点,在学习中要注意观察数列中各项与其 序号的变化情况,分解所给数列的前几项,看看这几项的分解中.哪些部分是变化的,哪些是不 变的,再探索各项中变化部分与序号的联系,从而归纳出构成数列的规律,写出通项公式;③一 个数列还可以用递推公式来表示;④在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本
? S1 讲内容一个重点,要认真掌握之。即 an= ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 1) ( n ? 2)

。特别要注意的是,若 a1 适合由

an=Sn-Sn-1(n≥2)可得到的表达式,则 an 不必表达成分段形式,可化统一为一个式子

8

2.等差数列的知识要点: (1)等差数列定义 an+1-an=d(常数) n ? N) ( ,这是证明一个数列是等差数列的依据,要防 止仅由前若干项,如 a3-a2=a2-a1=d(常数)就说{an}是等差数列这样的错误,判断一个数 列是否是等差数列。还可由 an+an+2=2 an+1 即 an+2-an+1=an+1-an 来判断。 (2)等差数列的通项为 an=a1+(n-1)d.可整理成 an=an+(a1-d) ,当 d≠0 时,an 是关 于 n 的一次式,它的图象是一条直线上,那么 n 为自然数的点的集合 (3)对于 A 是 a、b 的等差中项,可以表示成 2 A=a+b。 (4)等差数列的前 n 项和公式 Sn =
a1 ? an n(n ? 1) d · n - na1 + d ,可以整理成 Sn = n2 + 2 2 2

d (a1 ? ) n 。当 d≠0 时是 n 的一个常数项为 0 的二次式。 2 (5)等差数列的判定方法:

①定义法:对于数列 ?a n ?,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?a n ?是等差数列; ②等差中项:对于数列 ?a n ?,若 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,则数列 ?a n ?是等差数列。 3.等差数列的性质: (1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是 AP , 如: a1 , a3 , a5 , a7 ,??;
a3 , a8 , a13 , a18 ,??;

(3)在等差数列 ?an ? 中,对任意 m , n ? N? , an ? am ? (n ? m)d , d ?

an ? am ( m ? n) ; n?m

(4)在等差数列 ?an ? 中,若 m , n , p , q ? N? 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; 5.说明:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项,则① S 奇
? S 偶 ? nd ; ②

S奇 a ? n ; (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1项,则① S 偶 ? S 奇 ? an ? a中 ; S偶 an ?1



S奇 n ? 。 S偶 n ? 1

6. (1) a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最小值; (2) S n 最值的求法: ①若已知 S n ,可用二次函数最值的求法( n ? N? ) ;②若已知 an ,则 S n 最值时 n 的值( n ? N? )
? an ? 0 ? an ? 0 可如下确定 ? 或? 。 ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0

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