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二面角教师版


二面角教师版
一、 基本观点 (一).求二面角的主要方法: (1) 定义法:①找(作)二面角的平面角; 【先证】 ②解三角形求出角。 【后算】 (2) 公式法:设二面角的度数为θ ,则 cos ? ?
S 射影三角形 S 侧面三角形

多用于求无棱二面角。 (二) 求作二面角的平面角 求作二面的平面角是解决二面角问题的关键,也是难点,通过前

面教学及习题涉及到 的作法有下面三种: 1.定义法:利用二面角的平面角定义,在二面角棱上取一点,过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角. 2.三垂线法:利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直,找到二面角的平面角,关键 在找面的垂线. 3.垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与二面角两半平面相交,得到交线,交线所成 的角为二面角的平面角. 二.求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角 (大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角. 例题解析 1: 设 P 是二面角 α-l-β 内一点, 到面 α、 的距离 PA、 分别为 8 和 5, AB=7, P β PB 且 求这个二面角的大小。 解:作 AC⊥l 于 c,连结 BC ∵PA⊥α,l ? α ∴PA⊥l 又 AC⊥l,AC∩PA=A ∴l⊥平面 PAC ∴l⊥PC ∵PB⊥β,l ? β ∴PB⊥l 又 PB∩PC=P ∴l⊥平面 PBC ∴平面 PAC 与平面 PBC 重合,且 l⊥BC ∴∠ACB 就是所求的二面角 △ PAB 中,PA=8,PB=5,AB=7 ∴∠P=600 ∴∠ACB=1200 2. 在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC= ∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5 5 .(如图 9—21) (Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC. 又 AB∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC. 由于∠ACB=90°,即 BC⊥AC, 由三垂线定理,得 SC⊥BC.
1

(Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC ∴∠SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角. 在 Rt△SCB 中,BC=5,SB=5 5 . 得 SC=
SB
2

? BC

2

=10
AC SC ? 5 10 ? 1 2

在 Rt△SAC 中 AC=5,SC=10,cosSCA=

∴∠SCA=60°,即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60°. 3.如图, 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点。 (1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小; @(3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成的角是 60?。
D E

M F C B

A

解: (Ⅰ)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形, ∴AM∥OE。 ∵ OE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE。 (Ⅱ)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S,连结 BS, ∵AB⊥AF, AB⊥AD, AD ? AF ? A , ∴AB⊥平面 ADF,

∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF。 ∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角。 在 RtΔASB 中, AS ?
6 3 , AB ? 2,

∴ tan ? ASB ?

3 , ? ASB ? 60 ? ,

∴二面角 A—DF—B 的大小为 60? 。

2

(Ⅲ)设 CP=t(0≤t≤2),作 PQ⊥AB 于 Q,则 PQ∥AD, ∵PQ⊥AB,PQ⊥AF, AB ? AF ? A , ∴PQ⊥平面 ABF, QE ? 平面 ABF, ∴PQ⊥QF。 在 RtΔPQF 中,∠FPQ=60? , PF=2PQ。 ∵Δ PAQ 为等腰直角三角形, ∴ PQ ?
2 2 ( 2 ? t ).

又∵Δ PAF 为直角三角形, ∴ PF ?
(2 ? t ) ? 1 ,
2

∴ (2 ? t) ? 1 ? 2 ?
2

2 2

( 2 ? t ).

所以 t=1 或 t=3(舍去) 即点 P 是 AC 的中点。 4.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=2,AA1= 2 2 ,M 为棱 A1A 上的点, 若 A1C⊥平面 MB1D1。 (Ⅰ)确定点 M 的位置; (Ⅱ)求二面角 D1-MB1-B 的大小。

解: (Ⅰ)连结 A1D,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面 ADD1A1 为矩形, ∵A1C⊥平面 MB1D1, ∴A1C⊥D1M, 因此 A1C 在平面 AD1 上的射影 A1D⊥D1M, ∴△A1MD1∽△D1A1D, ∴A1M=
A1 D 1 DD 1
2

? 2

4 2

?

2 , 因此 M 是 A1A 的中点。

3

(Ⅱ)引 A1E⊥B1M 于 E,连结 D1E,则 A1E 是 D1E 在平面 BA1 上的射影,由三垂线定理 可知 D1E⊥B1M, ∴∠A1ED1 是二面角 D1-MB1-B 的平面角的补角, 由(Ⅰ)知,A1M= 2 ,则
tan A 1 ED ? A1 D 1 A1 E ? 2 2? 2
2

1

? 2 ? 2

3,

∴ ? A1 ED 1 ?

?
3

,
2? 3 .

∴二面角 D1-MB1-B 等于

5. 如图所示, ? D 和 ? B 都是等腰直角三角形,且它们所在的平面互相垂直, A B C D
?? B 9A a A ?? , D D C 0 ? B D?

(I)求异面直线 AD、BC 所成的角。 @(II)设 P 是线段 AB 上的动点,问 P、B 两点间的距离多少时, ? C 与 ? C 所 P D B D 在平面成 45? 的二面角?;
A

P

B D

C A

P

O B D F C E

解: (I)

? ?? AB A 9 D 0 B ? D D ?

DC ?B D ? A面 ? ? ? ? ? 面 面 面? B B A? B D C B D A 面? ? B 面 ,B C D DD C C ? B D ?
4

A ? C 异面直线 AD、BC 所成角为 90? 。 DB ?

4分

(II)过点 P 作 P ? D E,过点 E 作 E ? D F,连结 PF。 E B 于 FC 于
? PE?面CBD ? ? ? ?CD?EF ? 面ADB ? 面CBD ? BD ? ? ? EF是PF在 ? PE?BD ? 面CBD内射影 ? ? 面ADB?面CBD ? CD?PF ? ? ? ?PFE是二面角P ? CD ? B的平面角 EF?CD ?
? ? P F E ? 4 5? 。

设 P ?x,则在 R? E 中, PE ? BE ? t PB B

2 2

x,

? DE ? a ?

2 2

x

在 R? F 中, E ? F t DE

2 2

D ? E

2 1 a? x 2 2 1 2

在 R? E 中, E P ? a x F E ? , ? ? x ?(? ) ,? x 2 2 a t PF
2 2 2
?

2

6.四棱锥 A ? B C D E 中,底面 B C D E 为矩形,侧面 A B C
CD ? 2

底面 B C D E ,B C

? 2



, AB

? AC

. ;
? AD ? E

(Ⅰ)证明: A D

? CE

A

@@@@(Ⅱ)设 C E 与平面 A B E 所成的角为 4 5 ? ,求二面角 C 的大小的余弦值.

B C D

E

解: (1)取 B C 中点 F ,连接 D F 交 C E 于点 O , ? A B ? A C ,? A F ? B C , 又面 A B C ? 面 B C D E ,? A F ? 面 B C D E , ? AF ? CE .
ta n ? C E D ? ta n ? F D C ? 2 2
F
? ? O E D ? ? O D E ? 9 0 ,? ? D O E ? 9 0 ,即 C E ? D F ,
? ?

A


B
O

G

E

C

? C E ? 面 A D F ,? C E ? A D .

D

(2)在面 A C D 内过 C 点作 A D 的垂线,垂足为 G . ? C G ? A D , C E ? A D ,? A D ? 面 C E G ,? E G ? A D ,

18 题图

5

则 ? C G E 即为所求二面角的平面角.
CG ? A C ?C D AD ? 2 3 3
2

,DG ?

6 3

, EG ?

DE ? DG
2

2

?

30 3



CE ?

6 ,则 c o s ? C G E ?

CG ? GE ? CE
2

2

2 C G ?G E

? ?

10 10



7: 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° ,N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M. 线面角(Ⅰ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PB⊥平面 ADMN; 三垂线定理的应用(Ⅲ)求以 AD 为棱,PAD 与 ADMN 为面的二面角的大小.

解: (I)取 AD 中点 O,连结 PO,BO.△PAD 是正三角形, 所以 PO⊥AD, 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD, BO 为 PB 在平面 ABCD 上的射影, 所以∠PBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角 由已知△ABD 为等边三角形,所以 PO=BO= 3 , 所以 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45° . (Ⅱ)△ABD 是正三角形,所以 AD⊥BO,所以 AD⊥PB, 又,PA=AB=2,N 为 PB 中点,所以 AN⊥PB, 所以 PB⊥平面 ADMN. (Ⅲ)连结 ON,因为 PB⊥平面 ADMN,所以 ON 为 PO 在平面 ADMN 上的射影, 因为 AD⊥PO,所以 AD⊥NO,故∠PON 为所求二面角的平面角. 因为△POB 为等腰直角三角形,N 为斜边中点,所以∠PON=45° , 即所求二面角的大小为 45° 8.如图: 在二面角 ? ? l ? ? 中, B ? ? , D ? l , A、 C、 ABCD为矩形,p ? ? , PA ? ? , 且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点,求二面角 ? ? l ? ? 的大小.

6

解:连结 PD∵ABCD 为矩形∴AD⊥DC, 又 PA⊥ ? ,∴PD⊥ l ,



∴ ? PAD 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角,又∵PA⊥AD,PA=AD ∴ ? PAD 是等腰直角三角形,∴ ? PDA=45 ,即二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 45 。 9. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AD 上移 动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为
?
4
0 0

.

20.解法(一) (1)证明:∵AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E (2)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x
在 Rt ? D 1 DH 中 ,? ? DHD ? 在 Rt ? ADE 中 , DE ?
1

?

?
4
2

,? DH ? 1 .

1 ? x ,? 在 Rt ? DHE 中 , EH ? x ,

在 Rt ? DHC 中 CH ? ? x? 3 ? x
2

3 , 在 Rt ? CBE 中 CE ? 3.

x

2

? 4 x ? 5.

? 4x ? 5 ? x ? 2 ?

? AE ? 2 ?

3时 , 二面角 D 1 ? EC ? D 的大小为

?
4

.

@@DE=1 在三角形 DEC 中利用面积相等来表示

7

三垂线法:10.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长为 a,侧棱长为 且与 BC1 平行的平面交上底面于 DB1. (1)试确定点 D 的位置,并证明你的结论; (2)求二面角 A1-AB1-D 的大小.

2 a,若经过 AB1 2

解: (1)D 为 A1C1 的中点(D 也可以是△ A1B1C1 的边 A1C1 中线上任一点) . 连结 A1B 与 AB1 交于 E,则 E 为 A1B 的中点,DE 为平面 ABB1A1D 与平面 A1BC1 的交线, ∵BC1∥平面 AB1D,∴BC1∥DE, ∴D 为 A1C1 的中点. (2)过 D 作 DF⊥A1B1 于 F, 由正三棱柱的性质,AA1⊥DF,∴DF⊥平面 ABB1A1, 连结 EF,DE,在正三角形 A1B1C1 中, ∵D 是 A1C1 的中点,∴B1D= 又在直角三角形 AA1D 中, ∵AD= AA2+A1D2= 1 3 a,∴AD=B1D. 2 3 3 A B = a, 2 1 1 2

∴DE⊥AB1,∴可得 EF⊥AB1, 则∠DEF 为二面角 A1-AB1-D 的平面角. (10 分) 可求得 DF= 3 a, 4 3 a, 4

∵△B1FE∽△B1AA1,得 EF= π ∴∠DEF= ,即为所求. 4

@@11.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD 中, ∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD,

SA=AB=BC=1,AD=

1 2



求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. 解:延长 BA、CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角 的棱? 6 分? ∵AD∥BC,BC=2AD??
8

∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB?? ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影,? ∴CS⊥SE,? 所以∠BSC是所求二面角的平面角? ∵SB= SA
2

10 分?

? AB
BC SB

2

?

2 , BC ? 1, BC ? SB
2 2
2 2

∴tg∠BSC=

?























S

E
@12. 已知四棱锥 S--ABCD 的底面 ABCD 是正方形, ? 底 SA 面 ABCD,点 E 是 SC 上任意一点. (Ⅰ)求证:平面 EBD ? 平面 SAC; 点到平面的距离用等体积法 (Ⅱ)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; (Ⅲ) 当
SA AB

F A O B

M D C

的值为多少时, 二面角 B-SC-D 的大小为 120°。

(点到直线的距离,B 到 SC 的距离,在三角形 SBC 中利用面积等计算,再根据 BD 与 BM 的等量关系列等式) 解法一: 证明(Ⅰ) :∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC, ∵ SA ? 底面 ABCD,BD?面 ABCD,∴SA ? BD, ∵SA?AC=A,∴BD?面 SAC, 又∵BD?面 EBD,∴平面 EBD ? 平面 SAC…………4 分 解 (Ⅱ) 由 : (Ⅰ) BD?面 SAC, 知, 又∵BD?面 SBD, ∴平面 SBD ? 平面 SAC, AC ? BD=O, 设 则平面 SBD ? 平面 SAC=SO,过 A 作 AF?SO 交 SO 于点 F,则 AF?面 SBD,所以线段 AF 的 长就是点 A 到平面 SBD 的距离. ∵ABCD 是正方形,AB=2,∴AO= 2 , 又∵SA=4,△SAO 是 Rt△,∴SO= 3 2 , ∵SO?AF=SA?AO,∴AF=
4 3

,∴点 A 到平面 SBD 的距离为

4 3

13. 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,侧面 P A D ? 底面 ABCD,PA=PD=2,底面 ABCD 是 直角梯形,其中 B C / / A D , A B ? A D , A D ? 2 A B ? 2 B C ? 2 2 (Ⅰ)求直线 PC 与平面 PAD 所成的角;
9

@@(Ⅱ)求二面角 A-PB-C 的大小。
P

A

D

B

C

I)取 AD 中点 O,连结 OP、OC, 又 OC=AB= 2 , ∴∠CPO=45°,即直线 PC 与平面 PAD 所成的角为 45°。………………6 分

(II)由(I)知,OP⊥AD,则 OP⊥平面 ABCD, 又 BC⊥OC,AB⊥OA,∴BC⊥PC,AB⊥PA, ∵BC=AB,PB=PB,∴Rt△PCB≌△PAB。 作 CE⊥PB,垂足为 E,连结 AE,则 AE⊥PB, ∠AEC 为二面角 A—PB—C 的平面角。 在 Rt△PCB 中, BC ?
2 , PC ? 2 , PB ? 6 , 则 CE ?

………………9 分
BC ? PC PB ? 2 3 ,

连结 AC , 在 ? AEC 中 , AE ? CE ? AE
2

2 3

, AC ? 2 , 1 2

? cos ? AEC ?

? CE

2

? AC

2

2 AE ? CE

? ?

, ? AEC ? 120 .

?

故二面角 A—PB—C 的大小为 120°。

………………12 分

14. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ? DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD,且

?

10

PA=AD=DC=

1 2

AB=1,M 是 PB 的中点.

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦.(等体积法求点 B 到 ACM 的距离,利用解 三角形求出 B 到 CM 的距离) 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能 力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分 12 分. 方案一: (Ⅰ)证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD, ∴得:CD⊥PD. P 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PAD. M E 又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:过点 B 作 BE//CA,且 BE=CA, N A 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE= 2 ,又 AB=2, 所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90° 在 Rt△PEB 中 BE= 2 ,PB= 5 ,
? cos ? PBE ? BE PB 10 5 ? 10 5 .
D C

B

? AC 与 PB 所成角的余弦值是

(Ⅲ)解:作 AN⊥CM,垂足为 N,连结 BN. 在 Rt△PAB 中,AM=MB,又 AC=CB, ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM,故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC,得 CB⊥PC, 在 Rt△PCB 中,CM=MB,所以 CM=AM. 在等腰三角形 AMC 中,AN·MC= CM
2

?(

AC 2

) ? AC ,
2

3 ? AN ? 2

? 5 2

2 ?

6 5

.

∴AB=2,? cos ? ANB ?

AN

2

? BN

2

? AB

2

2 ? AN ? BN

? ?

2 3

故所求的二面角的余弦值为 ?

2 3

C1
15. 如图, 已知在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, 三个

B1

A1

11

C A D

B

侧棱都是矩形,点 D 为 A B 的中点

王新敞
奎屯

新疆

A C ? 3, B C ? 4, A B ? 5, A A1 ? 4 ,

(Ⅰ) 求证 A C ? B C 1 ; (Ⅱ) 求证 A C 1 ? 平 面 C D B1 ; (Ⅲ) 求异面直线 A C 1 与 B 1 C 所成角的余弦值 (图形的补全法)
王新敞
奎屯 新疆

16. 如图, 已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面成 60 的二面角, 求直线 BD 与平面 ABEF 所成角的正弦值。 C D B A 17.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)面 A1ABB1 与面 ABCD 所成角的大小; (2)二面角 C1—BD—C 的正切值 (3)二面角 B1 ? B C 1 ? D (射影法) D A B C F E

0

D1 A1

C1

B1

18 过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ? 平面 ABCD, 设 PA=AB=a,(1)求二面角 B - P C - D 的大小; (2)求二面角 C-PD-A 三垂线定理,点到平面的距离是关键

P

A D

B

C

P
19. 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的

12

D A B

E

c

菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3 .(1) 证明: BE⊥平面 PAB; (2) 求二面角 A-BE-P 的大小 (3)PB 与面 PAC 的角(等体积法求点到平面的距离)

20

如 图 , 在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥

P ? ABCD 中 , AD // BC , ? ABC ? 90 ? ,
PA ? 平面 ABCD

, PA ? 3 , AD ? 2 , AB ? 2 3 ,BC=6

(1) 求证: BD ? 平面 PAC ; (2) 求二面角 P ? BD ? A 的大小. (3)求二面角 B-PC-A 的大小

21.如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; C D (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (三垂线定理) (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离.(等体积法)

P

A E
E

F

B

A

D

C 22.如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是矩形.已知BA B ? 3 , A D ? 2 ,
13

P

P A ? 2 , P D ? 2 2 ,∠ P A B ? 6 0 .
(Ⅰ)证明 A D ? 平面 P A B ; (Ⅱ)求异面直线 P C 与 A D 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? B D ? A 的正切值.

?

简单 25 如图三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC = △ADC 是边长为 2 的正三角形,求二面角 P-AB-C 的大小。 解:由已知条件,D 是 BC 的中点 ∴ ∴ ∴ CD =BD =2 AD =CD =BD =2 D 是△ABC 之外心又在 BC 上 又△ADC 是正三角形

2 3

,D 是 BC 的中点,且

P

∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形, ∴ AB⊥AC, 又 PC⊥面 ABC

C D B

∴ PA⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角, 易求 ∠PAC =30° A

@@26.如图在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交
14

AC、SC 于 D、E,又 SA =AB,BS =BC, 求以 BD 为棱,BDE 与 BDC 为面的二面角的 度数。 (距离法球二面角) 解:∵ BS =BC,又 DE 垂直平分 SC S ∴ ∴ ∴ ∴ BE⊥SC,SC⊥面 BDE BD⊥SC,又 SA⊥面 ABC SA⊥BD,BD⊥面 SAC BD⊥DE,且 BD⊥DC A E D C

则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 则 易证 ∴ SA =AB =a, BC =SB = 2 a 且 AC =
3

B

△SAC∽△DEC ∠CDE =∠SAC =60°

27. 如图: ABCD 是矩形, =8, =4, AB BC AC 与 BD 相交于 O 点, 是平面 ABCD P 外一点,PO⊥面 ABCD,PO =4,M 是 PC 的中点,求二面角 M-BD-C 大小。 解:取 OC 之中点 N,则 MN∥PO ∵ ∴ PO⊥面 ABCD MN⊥面 ABCD 且 MN =PO/2 =2, M P

过 N 作 NR⊥BD 于 R,连 MR, 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE⊥BD 于 S ∴
CE ? CD ? BC BD 4 5 ? 8 5

D N O A R S B

C



RN ?

tan ? MRN ?

MN RN

?

5 2



?M R N ? ar ct an

5 2

28.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且 AB =BC =BD,∠ABC =∠DBC = 120 ,求 二面角 A-BD-C 的余弦值。
15

0

A

E

B

C

解:过 A 作 AE⊥CB 的延长线于 E, 连结 DE, ∵ ∴ ∴ ∴ 面 ABC⊥面 BCD AE⊥面 BCD E 点即为点 A 在面 BCD 内的射影 △EBD 为△ABD 在面 BCD 内的射影 则 AE =DE =ABsin60°=
3 2

设 AB =a

a



AD =

6 2

cos ? ABD ?

1 4





sin∠ABD =

15 4



S ?A B D ?

1 2 1 2

a ?
2

15 4

?

15 8

a

2



BE ?

1 2

a



S ?B D E ?

?

3 2

a?

1 2
5 5

a ?

3 8

a

2



c o s? ?

S ?B

D E D

?

S ?A B

考虑到我们求的是二面角 A-BD-E,而二面角 A-BD-C 与 A-BD-C 互补 ∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为 ?
5 5



29 已知正方体 AC',M、N 分别是 BB',DD'的中点,求截面 AMC'N 与面 ABCD, CC'D'D 所成的角。 由于 AMC'N 在面 ABCD 上的射影即 ∴
cos ? 1 ? a 6 2
6 3
2

D’ A’ N M D B B’

C’

? a
2

6 3



?1 ? a r c c o s

C

则平行四边形 DM'C'N 是四边形 AMC'N 在 CC'D'D 上的射影, A

16

1

a

2



c o s? 2 ?

2 6 2 a
2

?

6 6

∴ ? 2 ? arccos 30.如图

6 6

AC⊥面 BCD, BD⊥面 ACD, AC =CD =1, 若 ∠ABC =30°, 求二面角 C ? AB ? D

的大小。 (等体积法求点 D 到 ABC 的距离) 解:作 DF⊥AB 于 F,CE⊥AB 于 E, 在 Rt△ABC 中,
CE ? AC ? BC AB AD ? BD AB ? 1? 2 2? 2
? DF
1 2 ? 1 2
2
2

A

3

?

3 2

, C

E D

同理

DF ?

?

2

?1

F
AC
2

∴ ∴ ∴

BF ?

BD

2

?1

AE ?

? CE

2

?

1 2

B

EF ? 2 ? 1 ?
2

CD

? CE
3 3

2

? DF

? EF

2

? 2 EF ? DF c o s?



c o s? ?

即所求角的大小为 arccos

3 3



31 三棱锥 A-BCD 中,∠BAC =∠BCD =90°,∠DBC =30°,AB =AC = 6 ,AD =4,求二面角 A-BC-D 的度数。 解:由已知条件∠BAC =90°,AB =AC, 设 BC 的中点设为 O,则 OA =OC = 3 BC = 2 3 B
DC ? BC tan 30
0

A

O

C

? 2 3?

3 3

? 2

D

∴ AD

2

? AO

2

? OC

2

? CD

2

? 2 AO ? CD cos ?
17

解之得:
c o s? ? ? 1 2



? ? 150

?

32. 如图,四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱的长均是 2 ,求:二面角 A—BD—C、 A—BC—D、B—AC—D 的大小. 解析: (1)取 BD 的中点 O, AO、 连 OC.在Δ ABD 中, ∵AB=AD= 2 , BD=2, ∴Δ ABD 是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理 OC⊥BD. ∴∠AOC 是二面角 A—BD—C 的平面角 又 AO=OC=1,AC= 2 ,∴∠AOC=90°.即二面角 A—BD—C 为直二面角. (2)∵二面角 A—BD—C 是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面 BCD. ∴Δ ABC 在平面 BCD 内的射影是Δ BOC.
1

3

3

3

∵SΔ OCB= 2 ,SΔ ABC= 2 ,∴cosθ = 3 .即二面角 A—BC—D 的大小是 arccos 3 . (3)取 AC 的中点 E,连 BE、DE.∵AB=BC,AD=DC, ∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED 就是二面角的平面角.
6
1

在Δ BDE 中,BE=DE= 2 ,由余弦定理,得 cosα =- 3
1

∴二面角 B—AC—D 的大小是π -arccos 3 . 33. 如图所示, 四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形, ∠A=60°, PC⊥平面 ABCD, PC=a,E 是 PA 的中点. (1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面角 A—EB—D 的平 面角大小. 解析:(1)设 O 是 AC,BD 的交点,连结 EO. ∵ABCD 是菱形,∴O 是 AC、BD 的中点, ∵E 是 PA 的中点,∴EO∥PC,又 PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD,EO ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABCD. (2)EO∥PC,PC ? 平面 PBC, ∴EO∥平面 PBC,于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离. 作 OF⊥BC 于 F, ∵EO⊥平面 ABCD,EO∥PC,PC ? 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABCD,于是 OF⊥ 平面 PBC,OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离.

18

a

a

3

3

3

由条件可知,OB= 2 ,OF= 2 × 2 = 4 a,则点 E 到平面 PBC 的距离为 4 a. (3)过 O 作 OG⊥EB 于 G,连接 AG ∵OE⊥AC,BD⊥AC ∴AC⊥平面 BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角 A—EB—D 的平面角
1 1

3

OE ? OB

3

1

∵OE= 2 PC= 2 a,OB= 2 a
AO
2 3

∴EB=a.∴OG=
2 3

EB

= 4 a 又 AO= 2 a.

∴tan∠AGO= OG = 3

∴∠AGO=arctan 3

.

34. 如图,已知正方体 ABCD— A1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1,E、F 分别在棱 AB、BC 上,G 在对
1 1

角线 BD1 上,且 AE= 4 ,BF= 2 ,D1G∶GB=1∶2,求平面 EFG 与底面 ABCD 所成的 二面角的大小. 解析:设 G 在底面 ABCD 上的射影为 H,H∈BD,
GH GB
2



D1D


2

D1B

=3

∴GH= 3

作 HM⊥EF 于 M,连 GM,由三垂线定理知 GM⊥EF,则∠GMH=θ 就是平面 BFG 与
GH

底面 ABCD 所成的二面角的平面角,tanθ = HM . 下面求 HM 的值. 建立如图所示的直角坐标系,据题设可知.
1 2 1 1

H( 3 , 3 )、E( 4 ,0)、F(1, 2 )

19

∴直线 EF 的方程为
y?0 1 2 ?0

x? 1?

1 4 1 4 ,



即 4x-6y-1=0. 由点到直线的距离公式可得
4? 1 3 ? 6? 4 ?6
2

2 3
2

?1
11

|HM|=
2

= 6 13 ,
4 13

6 13

4 13

∴tgθ = 3 · 11

= 11

,θ =arctg 11

.

说明 运用解析法来求 HM 的值是本例的巧妙所在. 35. 如图,设 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,E、F 分别为 AB、A1B1 的中点,且 AB=2AA1 =2a,AC=BC= 3 a. (1)求证:AF⊥A1C (2)求二面角 C—AF—B 的大小

分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC=BC,E 为 AB 中点,∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1 为直棱柱,∴CE⊥面 AA1BB 连结 EF,由于 AB=2AA1 ∴AA1FE 为正方形 ∴AF⊥A1E,从而 AF⊥A1C (2)设 AF 与 A1E 交于 O,连结 CO,由于 AF⊥A1E,知 AF⊥面 CEA1 ∴∠COE 即为二面角 C—AF—B 的平面角

20

∵AB=2AA1=2a,AC=BC= 3 a
2a
2

2

∴CE= 2 a,OE= 2 a,∴tan∠COE= 2 ∴二面角 C—AF—B 的大小是 arctan2.

a

=2.

36. 如图 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 是长方体, AB=2,AA 1 ? AD ? 1 , 求二平面 AB 1 C 与 A 1 B 1 C 1 D 1 所成二面角的大小.

解析: 平面 ABCD∥平面 A1 B 1 C 1 D 1 , ∵ ∴

平面 AB 1 C 与平面 A1 B 1 C 1 D 1 的交线 l 为过点 B 1

且平行于 AC 的直线. 直线 l 就是二平面 AB 1 C 与 A1 B 1 C 1 D 1 所成二面角的棱. AA 1 ⊥平面 又
A1 B 1 C 1 D 1

,过 A1 作 AH⊥l 于 H,连结 AH.则 ? AHA 1 为二面角 A ? l ? A1 的平面角.可求
? 5 2 .因此所求角的大小为 5 2 或 π ? arctan 5 2

tan ? AHA



1

arctan

37. 在 正 方 体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 中 , K ? BB 1 , M ? CC 1 , 且
CM ? 3 4 CC 1

BK ?

1 4

BB 1



..求:平面 AKM 与 ABCD 所成角的大小.

解析:由于 BCMK 是梯形,则 MK 与 CB 相交于 E.A、E 确定的直线为 l,过 C 作 CF⊥ l 于 F,连结 MF,因为 MC⊥平面 ABCD,CF⊥l,故 MF⊥l.∠MFC 是二面角 M-l-C 的

21

CM ?

3 4

a

BK ?

1 4

a

平面角.设正方体棱长为 a,则
EB ? 1 2


5 4

.在△ECM 中,由 BK∥CM 可得
5 4

a

CF ?

3 5

a

tan ? MFC ?

arctan


5 4 .

,故

.因此所求角的大小为



π ? arctan

38. 如图,将边长为 a 的正三角形 ABC 按它的高 AD 为折痕折成一个二面角 C ? ? AD ? C . (1)若二面角 C ? ? AD ? C 是直二面角,求 C ?C 的长; (2)求 A C ? 与平面 C ?CD 所成的角; (3)若二面角 C ? ? AD ? C 的平面角为 120°,求二面角 A ? C ?C ? D 的平面角的正切 值.

解析:

(1) ? C ?DC ? 90 ? , 若 ∵ (2)∵

DC ? D C ? ?

1 2

a

CC ? ?

2 2

a

AC=a, ∴

, ∴



AD ? D C ? ,AD⊥DC,∴

AD⊥平面 D C ?C .∴
1 2

? A C ?D 为 A C ? 与

平面 D C ?C 所成的角,在 Rt△ AD C ? 中,
? A C ?D ? 60 ? .

D C ? ? DC ?

AC

,∴

? DA C ? ? 30 ? ,于是

(3) C C ? 的中点 E, 取 连结 AE、 DE, ∵
DE ? C ?C , ∴
1 2

D C ? ? DC ,A C ? ? AC , ∴

AE ? C ?C ,

∠ AED 为 二 面 角 A ? C ?C ? D 的 平 面 角 , ∵
DE ? 1 4

? C ?DC ? 120 ? ,
3 2

C ?D ? CD ?

a

a

AD ?

a

, ∴

, 在

Rt △ AED

中 ,

, ∴

22

3 tan ? AED ? AD DE ? 2 1 4

a ? 2 3. a

S 39 2009 全国卷Ⅰ理) ( 如图, 四棱锥 S ? A B C D 中, 底面 A B C D 为矩形, D ? 底面 A B C D ,

AD ?

2

D C ? S D ? 2 ,点 M 在侧棱 S C 上, ? A B M =60°

(I)证明:M 在侧棱 S C 的中点 (II)求二面角 S ? A M ? B 的大小。 证(I)略 解(II) :利用二面角的定义。在等边三角形 A B M 中过点 B 作 B F ? A M 交 A M 于点
F ,则点 F 为 AM 的中点,过 F 点在平面 ASM 内作 G F ? A M ,GF 交 AS 于 G,

连结 AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且 M 是 SC 的中点, ∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵ F 为 AM 的中点,

G F

∴GF 是△AMS 的中位线,点 G 是 AS 的中点。则 ? G F B 即为所求二面角. ∵ SM ?
2 ,则 GF ?
2 2

,又∵ SA ? AC ?

6 ,∴ AM ? 2

∵ AM ? AB ? 2 , ? ABM

? 60 ∴△ ABM 是等边三角形,∴ BF ?
0

3

在△ GAB 中, AG ?

6 2

0 , AB ? 2 , ? GAB ? 90 ,∴ BG ?

3 2

? 4 ?

11 2

1 cos ? BFG ? GF
2

? FB

2

? BG

2

?3? 2 2 ?

11 2 3 ? ? 2 6 ? ? 6 3

2 GF ? FB

?

2 2?

G F

23

∴二面角 S ? A M ? B 的大小为 arccos( ?

6 3

)

40(2008 山东)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ? A B C ? 6 0 ? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ) H 为 PD 上的动点, 与平面 PAD 所成最大角 若 EH 的正切值为
6 2

,求二面角 E—AF—C 的余弦值.

分析:第 1 题容易发现,可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平 面 APD,使命题获证,而第 2 题,则首先必须在找到最大 角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后, 考虑到运 用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S, 和两边 SE 与 SC, 进而计算二 面角的余弦值。 (答案:二面角的余弦值为
15 5



二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直.通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例 2)过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线, 得垂 足 O;再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线,得垂足 P,连结 起点与终点得斜线段 PB,便形成了三垂线定理的基本 构图(斜线 PB、垂线 BO、射影 OP) 。再解直角三角形 求二面角的度数。 41 . (2009 山 东 卷 理 ) 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 底 面 ABCD 为 等 腰 梯 形 , D1 A1 C1 B1

E1 E A

D F

C B

AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 证(1)略 解(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF, 又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD, 所以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内 作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C E1 E A
24

D1 A1 F1 P O F

C1 B1

D

C B

的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, O B ?
OP C C1 ? OF C1F

3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,∵

∴OP ?
2

1 2 ?2
2

?2 ?

2 2

,

2

在 Rt△OPF 中, B P ?

OP ? OB
2

2

?

1 2

?3 ?

14 2

, co s ? O P B ?

OP BP

?

2 14 2

?

7 7

,所以

二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 7

.

42(2008 天津)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3 , AD ? 2 , PA ? 2 , PD ? 2 2 , ? PAB ? 60 . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 分析:本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在 证明 AD⊥平面 PAB 后,容易发现平面 PAB⊥平面 ABCD,点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点,于是可过点 P 作棱 BD 的垂线,再作平面 ABCD 的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容,从 而可得本解法。 (答案:二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan 三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线 的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明 确的交线(称为补棱) ,然后借助前述的定义法与三垂线法解 题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 43(2008 湖南)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是 边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA ⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大 小. 分析:本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线,依本法 显然要补充完整(延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.) P 再在完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平 面角解之。 (Ⅰ)证略 解: (Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF. 过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE.
39 4
?



P

D

E C

A B

G

F
25

H A

D

E C

B

在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG. 则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得, PF⊥HG.所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角(锐角). 在等腰 Rt△PAF 中, A G ? 在 Rt△PAB 中,
AH ? A P ?A B PB ? A P ?A B AP ? AB
2 2

2 2

PA ?

2.

?

2 5

?

2 5 5

.

2 5

所以,在 Rt△AHG 中, s in ? A G H ?

AH AG

?

5 2

?

10 5

.

故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大 小是 a rc s in
10 5 .

A1 C1 B1

44 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a,侧 棱与底面成 600 的角,侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; (2) 求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角 (锐 角)的大小。 提示:本题需要补棱,可过 A 点作 CB 的平行线 L (答案:所成的二面角为 45O) 四、射影面积法( c o s q =

A L C B

s射 影 S



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积 的都可利用射影面积公式(cos ? ?
S射 S斜

)求出二面角的大小。 P

45 . 2008 北 京 理 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? A B C 中 , (
AC ? BC ? 2 , ? AC B ? 90 ,
?

AP ? BP ? AB , PC ? AC .

A

B

(Ⅰ)求证: P C ? A B ; C (Ⅱ)求二面角 B ? A P ? C 的大小; 分析: 本题要求二面角 B—AP—C 的大小, 如果利用射影面积法解题, 不难想到在平面 ABP 与平面 ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出 S 原与 S 射 于是得到下面解法。 解: (Ⅰ)证略

26

(Ⅱ)? A C ? B C , A P ? B P ,?△ A P C ≌ △ B P C . 又 P C ? A C ,? P C ? B C .
? 又 ? A C B ? 9 0 ,即 A C ? B C ,且 A C ? P C ? C ,

P E A C B

? B C ? 平面 P A C .

取 A P 中点 E .连结 B E , C E . ? A B ? B P ,? B E ? A P . ? E C 是 B E 在平面 P A C 内的射影, ? CE ? AP . ∴△ACE 是△ABE 在平面 ACP 内的射影, 于是可求得:
AE ? EC ?
S 原 ? S ? ABE ?

AB ? BP ? AP ?

AC

2

? CB

2

? 2 2 , BE ?
2 ? 2 ? 1,

AB

2

? AE

2

?

6 ,

2 则 S 射 ? S ? ACE ?
1 2 AE ? EB ? 1 2

1 2

AE ? CE ? 6 ? 3

1 2

2 ?

设 二 面 角 B ? AP ? C
cos ? ? S射 S原 ? 1 3 ? 3 3

的 大 小 为 ?

, 则

D
3 3

C B E

∴二面角 B ? A P ? C 的大小为 ? ? arccos

A D1 A1 图5

46: 如图 5,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的 余弦值. 分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的

C1 B1

棱没有给出,要找到二面角的平面角,则必须先作两个平面的交线,这给解题带来一定的 难度。考虑到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1 上的射影是三角形 A1B1C1,从而求得两个三角 形的面积即可求得二面角的大小。 (答案:所求二面角的余弦值为 cosθ =
2 3

).

五、向量法 47:2009 天津卷理) ( 如图, 在五面体 ABCDEF 中, ? 平面 ABCD, AD//BC//FE, ? AD, FA AB M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=
1 2

AD

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。 现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,

27

0 0 1, 以 点 A 为 坐 标 原 点 。 设 AB ? 1, 题 意 得 B ?1,, ?,C ?1, 0 ?, 依 F ? 0,,?, 01
1? ?1 M ? , ?. 1, 2? ?2

D ? 0,, ?, 2 0

E ? 0,1 ?, 1,

BF 01 ? 1 (I) 解: ? ? ? 1,,?, DE ? ? 0, 1,?,
? BF ? DE BF DE ? 0 ? 0 ?1 2 ? 2 ? 1 2
0

于是 cos BF , DE

.

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 .
1, 01 2 0 (II)证明:由 AM ? ? , ?, CE ? ? ? 1,,?, AD ? ? 0,, ?,可得 CE ? AM ? 0 , ?2 2? ?1 1?

CE ? AD ? 0 .因此, CE ? AM , CE ? AD .又 AM ? AD ? A ,故 CE ? 平面 AMD .
而 CE ? 平面 CDE ,所以平面 AMD ? 平面 CDE .

(III) 解:设平面

CDE 的法向量为

? u ? CE ? 0, ? u ? ( x , y , z ),则 ? ?u ? D E ? 0 . ?

? ? x ? z ? 0, 于是 ? 令 x ? 1,可得 u ? (1,1) 1, . ?? y ? z ? 0.
01 又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? ( 0,,).

48、 (2008 湖北)如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,平面 A B C ? 侧面 A1 A B B 1 . (Ⅰ)求证: A B ? B C ; (Ⅱ)若直线 A C 与平面 A1 B C 所成的角为 ? ,二面角
A1 ? B C ? A 的大小为 ? ,试判断 ? 与 ? 的大小关系,

并予以证明. 分析:由已知条件可知:平面 ABB1 A1⊥平面 BCC1 B1 ⊥平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建 立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示的向量,先求 出二面角的两个半平面的法向量,再利用两向量夹角公 式求解。

28

(答案: ? ? arcsin

a a ?c
2 2

,且
b

ac a ?c
2 2


2

a a ?c
2

,)

29


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