当前位置:首页 >> 数学 >>

湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月考(三)考试数学(理)试题


本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页.时量 120 分钟.满分 150 分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 C. ?x ? R , x 2

? 2 x ? 4 ? 0 B. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 4 D. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0

2.雅礼中学教务处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体 1000 名学生中抽 50 名学生做学 习状况问卷调查.现将 1000 名学生从 1 到 1000 进行编号,求得间隔数 k=20,即分 50 组每组 20 人.在第一组中随机抽取一个号,如果抽到的是 17 号,则第 8 组中应取的号码是 A. 177 B.157 C.417 D.367

3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. y ? cos x B. y ? x2 ? 1 C. y ? sin x D. y ? ln x

4.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机 抽取一个数,则它小于 8 的概率是 A.

1 2

B.

3 5

C.

4 5

D.

7 10

5.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率 分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为

A. 6 万元

B.8 万元

C.10 万元

D.12 万元

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.

1 ?? 3

B.

2 ?? 3

C.

1 ? 2? 3

D.

2 ? 2? 3

7.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数共有 A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个

8.函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ??? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的部分图象如图所示,其中 A ,B 两点之间 的距离为 5,则 f ? x ? 的递增区间是 A.(k∈Z) C.(k∈Z) B.(k∈Z) D.(k∈Z)

9.已知是 ?an ? 等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等比数列,则 A. a1d ? 0, dS4 ? 0 C. a1d ? 0, dS4 ? 0 B. a1d ? 0, dS4 ? 0 D. a1d ? 0, dS4 ? 0

10 . 设 F1 , F2 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 两 个 焦 点 , P 在 双 曲 线 上 , 若 a 2 b2

???? ???? ? ???? ? ????? PF1 ? PF2 ? 0,| PF1 | ?| PF2 |? 2ac (c 为半焦距),则双曲线的离心率为
A.

3 ?1 2

B.

3 ?1 2

C.2

D.

5 ?1 2

11.一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2 ??? xn ? n ? N *? ,其中 xk ? k ? 1,2, ???, n ? 称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0)

? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0 ? 已知某种二元码 x1 x2 ??? x7 的码元满足如下校验方程组: ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0 ,其中运算⊕ ?x ? x ? x ? x ? 0 3 5 7 ? 1
定义为: 0 ? 0 ? 0,0 ?1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ?1 ? 0 .现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 A. 4 B.5 C.6 D.7

12.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1,其导函数 f ' ? x ? 满足 f ' ? x ? ? k ? 1 ,则下列 结论中一定错误的是 A. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

?1? 1 ? ? ?1 ?k? k k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 13. sin15? ? cos15? ?
10

.

1 ? ? 2 14.在 ?1 ? x ? 2015 ? 的展开式中, x 项的系数为 (结果用数值表示). x ? ? ???? ???? ???? ? ???? ? 15 .如图所示, | AB |? 2,| AC |? 1, ? BAC ? 120? , O 为△ ABC 的内心,则 AO ? AC 的值
为 .

16.如图所示,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标 签:原点处标数字 0,点(1,0)处标数字 1,点(1,-1)处标数字 2,点(0,-1)处标数字 3,点 (-1,-1)处标数字 4,点(-1,0)处标数字 5,点(-1,1)处标数字 6,点(0,1)处标数字 7,? 以此类推:记格点坐标为(m,n)的点(m,n 均为正整数)处所标的数字为 f(m,n),若 n >m, 则 f(m,n)= .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A ? (1) 求 tanC 的值; (2) 若 a ?

2 ,sin B ? 5 cos C . 3

2 ,求边 c 的长及△ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分) 某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研,考察试卷中某道填空题的得分情况.已知 该题有两空,第一空答对得 3 分,答错或不答得 0 分;第二空答对得 2 分,答错或不答得 0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从该校 1468 份试卷中随机抽取 1000 份 试卷,其中该题的得分组成容量为 1000 的样本,统计结果如下表:

(1) 求样本试卷中该题的平均分,并据此估计该校高三学生该题的平均分. (2) 该校的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得分情况的

频率 (精确到 0.1) 作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得分ζ 的分 布列及数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90? . (1) 求证:平面 PBC⊥平面 PAC; (2) 若 PA=1,AB=2,BC= 2 ,在直线 AC 上是否存在一点 D,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角 为 30°?若存在,求出 CD 的长;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 12 分)已知中心在原点 O, 焦点在 x 轴上, 离心率为 (1) 求椭圆的方程;

? 2? 3 的椭圆过点 ? 2, ?. ? 2 ? 2 ? ?

(2) 设不过原点 O 的直线 l 与椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比

数列,求△OPQ 面积的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? (1) 当 a=0 时,求函数的单调区间; (2) 当 0<a<1 时, 设函数 f ? x ? 的 3 个极值点为 x1 , x2 , x3 , 且 x1 ? x2 ? x3 .证明:x1 ? x3 ?

? x ? a? ?
ln x

2

(其中 a 为常数).

2 . e

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写 清题号. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是☉O 直径,AC 是☉O 切线,BC 交☉O 于点 E. (1)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是☉O 切线; (2)若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 A 的极 坐标为 ? 2,

? ?

??

?? ? ? ,直线的极坐标方程为 ? cos ? ? ? ? ? a ,且点 A 在直线上. 4? 4? ?

(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ,(α 为参数),试判断直线与圆的位置关系. y ? sin ? ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?| x ? a | ? | 2x ?1| (a∈R). (1)当 a=1 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (1)若 f ? x ? ? 2x 的解集包含 ? ,1? ,求 a 的取值范围.

?1 ? ?2 ?

炎德?英才大联考 雅礼中学 2016 届高三月考试卷(三) 数学(理科)参考答案 一、选择题 1. C 11.B 2. B 12.C 3. A 4. D 5. C 6. A 7. B 8. B 9. C 10. D

二、填空题 13.

6 2

14.45

15.

3? 7 2

16. ? 2n ? 1? ? m ? n ? 1
2

三、解答题 17. 【解析】(1) ∵ cos A ?

2 5 ? 0 ,∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? ,????????3 分 3 3

又 5 cos C ? sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? sin C cos A ? 整理得: tan C ? 5 .

5 2 cos C ? sin C . 3 3

????????????????????????6 分

(2) 由图辅助三角形知: sin C ? 又由正弦定理知:

5 . 6

a c ? ,故 c ? 3 . ① ????????????????8 分 sin A sinC

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . ② 对角 A 运用余弦定理: cos A ? 2bc 3
解①②得: b ? 3 或 b ?

3 (舍去). 3 5 . 2

??????????????????10 分

∴△ABC 的面积为: S ?

?????????????????????12 分

18. 【解析】(1) 设样本试卷中该题的平均分为 x ,则由表中数据可得:

x?

0 ?198 ? 3 ? 802 ? 0 ? 698 ? 2 ? 302 ? 3.01 ,????????????????4 分 1000

据此可估计该校高三学生该题的平均分为 3.01 分. ????????????????5 分

(2) 依题意,第一空答对的概率为 0.8,第二空答对的概率为 0.3,?????????6 分

P ?? ? 0? ? ?1 ? 0.8??1 ? 0.3? ? 0.14 P ?? ? 2? ? ?1 ? 0.8? 0.3 ? 0.06 P ?? ? 3? ? 0.8 ?1 ? 0.3? ? 0.56 P ?? ? 5? ? 0.8 ? 0.3 ? 0.24

???????????????????7 分 ????????????????????8 分 ????????????????????9 分 ???????????????????10 分

则该同学这道题得分ζ 的分布列如下: 所以 E? ? 0 ? 0.14 ? 2 ? 0.06 ? 3 ? 0.56 ? 5 ? 0.24 ? 3 . ?????????????12 分 19. 【解析】(1) ∵ ?PAB ? ?PAC ? 90 ,∴PA⊥AB,PA⊥AC. ∵AB∩AC=A,∴PA⊥平面 ABC. ????????????????????1 分 ∵BC ? 平面 ABC,∴BC⊥ PA.
? ?

????????????????????3 分

∵ ?ACB ? 90 ,∴BC⊥CA.∵PA∩CA=A,∴BC⊥平面 PAC. ????????5 分 ∵BC ? 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PAC. ?????????????????6 分 (2) 由已知及(1)所证可知,PA⊥平面 ABC,BC⊥CA,∵PA=1,AB=2,BC= 2 .以 C 为原点, 建立如图的空间直角坐标系 C-xyz,则 CB ? 0, 2,0 , CP ?

??? ?

?

?

??? ?

? 2,0,1 ? ,设 n ? ? x, y, z ? 是平 ? ? ? ?

??? ? ? ?CB ? n ? 0 ? ? 2?y ?0 ?? 面 PBC 的法向量, ? ??? ,则取 x=1,得 n ? 1,0, ? 2 ,?9 分 ? CP ? n ? 0 2 x ? z ? 0 ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 设 直 线 AC 上 的 点 D 满 足 CD ? ? CA , 则 CD ? 2? , 0, 0 , 则
??? ? ??? ? ??? ? BD ? BC ? CD ? 0, ? 2, 0 ?

?

? ?

2? , 0, 0 ?

? ?

2? , ? 2, 0 ,∵

?

???? ? | n ? BD | | 2? | 1 ????? ? ? sin 30 ? ? ,解得 ? ? ? 3 ,????????11 分 2 | n | ?| BD | | 3 ? 2? ? 2 2
?

∴在直线 AC 上存在点 CD ? 6 ,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30°. ???12 分

?c 3 ? ? y x ?a 2 20. 【解析】(1) 由题意可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,则 ? ,故 a b 2 1 ? ? ?1 ? ? a 2 2b 2
2 2

?a ? 2 x2 ? y 2 ? 1. ,所以,椭圆方程为 ? 4 b ? 1 ?
(2) 由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0.

????????5 分

故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ? m ? 0? ,P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 由?

? y ? kx ? m ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

,消去 y 得 1 ? 4k

?

2

?x

2

? 8kmx ? 4 ? m 2 ? 1? ? 0 ,则

? ? 64k 2 m 2 ? 16 ?1 ? 4k 2 ?? m 2 ? 1? ? 16 ? 4k 2 ? m 2 ? 1? ? 0 ,且

4 ? m2 ? 1? ?8km x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ,故 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 . ????????????7 分
因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,
2 2 y1 y2 k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ? ? ? k 2 ,即 x1 x2 x1 x2

km ?

?8km 1 1 ? m 2 ? 0 ,又 m ? 0 ,所以 k 2 ? ,即 k ? ? . ?????????8 分 2 1 ? 4k 4 2

2 2 由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 ,设 d 为 O 到直线 l 的距离,

d?

|m| 1? k
2

2

, | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |
2

? 1? k

64k 2 m2 ? 16 ? m2 ? 1??1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2

?

4 ?1 ? k 2 ?? 4k 2 ? m 2 ? 1? 1 ? 4k 2

.

则 S?OPQ ?

1 m2 ? 2 ? m2 d | PQ |? m2 ? 2 ? m2 ? ? ? 1 . 等 号成 立的 条件 为 m2 ? 1 , 因 为 2 2

m2 ? 1 ,所以△OPQ 面积的取值范围为(0,1). ????????????????12 分
21. 【解析】(1) f ' ? x ? ?

x ? 2 ln x ? 1? ,令 f ' ? x ? ? 0 ,可得 x ? e .列表如下: ln 2 x

单调减区间为 ? 0,1? , 1, e ;增区间为

?

?

?

e , ?? . ??????????????4 分

?

(2) 由 题 , f ' ? x ? ?

? x ? a?? ? 2 ln x ?
? ln x
2

a ? ? 1? x ?

, 对 于 函 数 h ? x ? ? 2 ln x ?

a ?1 , 有 x

h '? x? ?

2x ? a ? a? ?a ? ,∴函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , ?? ? 上单调递增,∵函数 f ? x ? 2 x ? 2? ?2 ?
2 a ?a? , 当0 ? a ?1 ? ? 2ln ? 1 ? 0 ,所以 a ? 2 e ?2?

有 3 个极值点 x1 ? x2 ? x3 , 从而 hmin ? x ? ? h ?

时,h ? a ? ? 2ln a ? 0, h ?1? ? a ?1 ? 0 ,∴函数 f ? x ? 的递增区间有 ? x1 , a ? 和 ? x3 , ??? ,递减 区间有 ? 0, x1 ? ,? a,1? , ?1, x3 ? ,此时,函数 f ? x ? 有 3 个极值点,且 x2 ? a ;∴当 0 ? a ? 1 时,

x1 , x3 是函数 h ? x ? ? 2 ln x ?

a ? 1 的两个零点, x

???????????7 分

a ? ?2 ln x1 ? x ? 1 ? 0 ? 1 即有 ? ,消去 a 有 2x1 ln x1 ? x1 ? 2x3 ln x3 ? x3 ,令 g ? x ? ? 2x ln x ? x 在 ?2 ln x ? a ? 1 ? 0 3 ? x3 ?
? 1 ? ? 1 ? , ?? ? 上递增,要证明 ? 0, ? 上递减,在 ? e? ? ? e ?

x1 ? x3 ?

2 2 ? 2 ? ? x3 ? ? x1 ? g ? x3 ? ? g ? ? x1 ? ,∴ g ? x1 ? ? g ? x3 ? , e e ? e ?

∴即证

? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? g ? x1 ? ? g ? ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? ? x1 ? ? 0 ,构造函数 F ? x ? ? g ? x ? ? g ? ? x?, ? e ? ? e ? ? e ?
∵F?

? 1 ? ? 1 ? ? ? 0 ,只需要证明 x ? ? 0, ? 单调递减即可.而 e? ? e? ?

? 2 ? 2? ? 2x ? ? 2 ? ? 1 ? ? e ? ?0 F ' ? x ? ? 2ln x ? 2ln ? ,∴ F ' ? x ? 在 ? 0, ? ? 2 , F '' ? x ? ? ? 2 ? 上单 ? e ? e?x? ? ? x? ? x? ? e ?
调递增,∴ F ' ? x ? ? F ' ?

2 ? 1 ? . ?????12 分 ? ? 0 ,∴当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x3 ? e ? e?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写 清题号. 22. 【解析】(1) 连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB,在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴ ∠ DEC= ∠ DCE. 连结 OE ,∠OBE=∠OEB,∵∠ ACB+ ∠ABC=90°,∴∠ DEC+ ∠OEB=90°,∴∠ OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线. ??????????????????5 分
2

2 (2) 设 CE=1, AE=x, 由已知得 AB= 2 3 ,BE ? 12 ? x , 由射影定理可得,AE ? CE ? BE , 2 2 ∴ x ? 12 ? x ,解得 x ? 3 ,∴∠ACB=60°. ??????????????10 分

23. 【解析】(1) 由点 A ? 2,

? ?

??

?? ? ? 在直线 ? cos ? ? ? ? ? a 上,可得 a ? 2 ,所以直线的方 4? 4? ?

程可化为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ,从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 .?????5 分 (2) 由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,所以圆心为(1,0),半径 r=1,因为圆
2 2

心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交. ???????????10 分 2


相关文章:
...中学2016届高三上学期月考(三)考试数学(文)试题
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月考(三)考试数学()试题_数学_高中教育_教育专区。本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页.时量 120 分钟....
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月考(二)数学(理...
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月考(二)数学(理)试题 扫描版含答案(数理化网)_数学_高中教育_教育专区。 +申请认证 文档贡献者 李晶 一级教师 963 638...
2016届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学(文...
2016届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学()试题 扫描版+解析版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 海边的沙地 贡献于2015-11-21 ...
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期第一次月考试题 ...
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期第一次月考试题 数学(理) Word版无答案_高中教育_教育专区。炎德 英才大联考雅礼中学 2016 届高三月考试卷(一) 数学 理科...
2016届湖南省长沙市雅礼中学高三月考试卷(四)数学(理)...
2016届湖南省长沙市雅礼中学高三月考试卷(四)数学(理)试题(扫描版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 海边的沙地 贡献于2016-01-25 相关文档推荐...
雅礼中学2016届高三上学期月考数学(理)试卷
雅礼中学2016届高三上学期月考数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 长沙马思特教育 贡献于2015-12-06 相关文档推荐 暂无相关推荐文档 ...
湖南省长沙市雅礼中学2017届高三上学期月考(三)数学理...
湖南省长沙市雅礼中学2017届高三上学期月考(三)数学理试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。湖南省长沙市雅礼中学2017届高三上学期月考(三)数学理试题 Word...
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月考(三)考试英...
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月考(三)考试英语试题_英语_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月...
2016届湖南省长沙市一中高三第三次月考数学(理)试题_(...
2016届湖南省长沙市一中高三第三次月考数学(理)试题_(扫描版+解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 海边的沙地 贡献于2015-11-11 相关文档...
长沙市雅礼中学2016届高三11月月考理科数学_图文
长沙市雅礼中学2016届高三11月月考理科数学_数学_高中教育_教育专区。雅礼中学2016届高三11月月考理科数学 1 2 3 4 5 6 文档贡献者 木头猪1007 贡献于2015-...
更多相关标签:
湖南省长沙市雅礼中学 | 长沙市雅礼中学 | 长沙市雅礼实验中学 | 长沙市雅礼雨花中学 | 长沙市雅礼天心中学 | 长沙市雅礼中学章程 | 湖南省雅礼中学 | 长沙市雅礼中学校花 |