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二次根式勾股定理培优检测


二次根式勾股定理培优检测
一.选择题(共 7 小题) 1. (2016?重庆模拟)如果 是二次根式,那么 x,y 应满足的条件是( ≥0 D.x≥1,y>0 的最小值为 ( ) )

A.x≥1,y≥0 B. (x﹣1)?y≥0 C.

2. (2012?桃源县校级自主招生) 已知 a 为实数, 则代数式 A.0 B.3 C. D

.9 =m+1 且 m< D.﹣1

3. (2012?厦门模拟) 若整数 m 满足条件 A.0 或 1 B.﹣1、0 或 1 C.0 或﹣1

, 则 m 的值是 (



4. (2015?黑龙江) △ ABC 中, AB=AC=5, BC=8, 点 P 是 BC 边上的动点, 过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,PE⊥AC 于点 E,则 PD+PE 的长是( ) A.4.8 B.4.8 或 3.8 C.3.8 D.5 5. (2008?绍兴校级模拟)编织一个底面周长为 a、高为 b 的圆柱形花架,需用沿圆柱表面 绕织一周的竹条若干根,如图中的 A1C1B1,A2C2B2,…,则每一根这样的竹条的长度最少 是( )

A.

B.

C.

D.a+b ,

6. (2012?余姚市校级自主招生) 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= BC= A. B. ,CD= C. ,则 AD 边的长为( D. )

7. (2015 秋?福鼎市校级期中) 如图所示为一种“羊头”形图案, 其作法是: 从正方形①开始, 以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形 ②和②,…,依此类推,若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积为( ) A.2 B.4 C.8 D.16

二.填空题(共 5 小题)
第 1 页(共 17 页)

8. (2013?六盘水)无论 x 取任何实数,代数式 为 .

都有意义,则 m 的取值范围

9. (2015 春?东台市月考)三角形的三边长分别为 3、m、5,化简 = .



10. (2013?雅安)在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣ ,0) ,B( ,0) ,点 C 在坐标 轴上,且 AC+BC=6,写出满足条件的所有点 C 的坐标 . 11. (2011?潍坊)已知长方形 ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线 BD 的中点 O 做 BD 垂直平分线 EF,分别交 AD、BC 于点 E、F,则 AE 的长为 .

12. (2009?宜宾)已知:如图,以 Rt△ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若 斜边 AB=3,则图中阴影部分的面积为 . 三.解答题(共 6 小题) 13. (2015 春?阳东县期中)阅读下列材料: = = = = + = = = = ﹣ 根据上面的解题方法化简: ① . ②

14. (2004?龙岩)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
第 2 页(共 17 页)

… n2 3 4 5 2 2 2 2 a 2 ﹣13 ﹣14 ﹣15 ﹣1… b4 6 8 10 … 2 2 2 c 2 +1 3 +1 4 +1 52+1 … (1)请你分别观察 a,b,c 与 n 之间的关系,并用含自然数 n(n>1)的代数式表示: a= ,b= ,c= ; (2)猜想:以 a,b,c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.

15. (2013 春?双流县期中)已知关于 x,y 的方程组 (1)求 m 的范围. (2)化简:

的解都不大于 1.



16. (2015 秋?河源校级月考)细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题. OA2 =(
2 2 2

) +1=2 ) =3 ) =4
2 2

2

S1= S2= S3=

; ;

OA3 =1 +( OA4 =1 +( …
2 2

(1) (直接写出答案)OA10= . (2)请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律. (3)求出 S +S +S +…+S 的值.

17. (2015 秋?贵阳校级期中)观察、思考与验证
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(1)如图 1 是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式 ; (2)如图 2 所示,∠B=∠D=90°,且 B,C,D 在同一直线上.试说明:∠ACE=90°; (3)伽菲尔德 (1881 年任美国第 20 届总统)利用 (1)中的公式和图 2 证明了勾股定理 (发 表在 1876 年 4 月 1 日的《新英格兰教育日志》上) ,请你写出验证过程.

18. (2015 秋?南通校级期中)如图,已知△ ABC 中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、 Q 是△ ABC 边上的两个动点,其中点 P 从点 A 开始沿 A→B 方向运动,且速度为每秒 1cm, 点 Q 从点 B 开始沿 B→C→A 方向运动,且速度为每秒 2cm,它们同时出发,设出发的时间 为 t 秒.

(1)出发 2 秒后,求 PQ 的长; (2)当点 Q 在边 BC 上运动时,出发几秒钟后,△ PQB 能形成等腰三角形? (3)当点 Q 在边 CA 上运动时,求能使△ BCQ 成为等腰三角形的运动时间.

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二次根式勾股定理培优检测
参考答案与试题解析

一.选择题(共 7 小题) 1. (2016?重庆模拟)如果 是二次根式,那么 x,y 应满足的条件是( ≥0 D.x≥1,y>0 )

A.x≥1,y≥0 B. (x﹣1)?y≥0 C.
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【考点】二次根式有意义的条件. 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可. 【解答】解:根据二次根式有意义的条件可知, x,y 满足 ≥0 时, 是二次根式.

故选:C. 【点评】 本题考查的是二次根式有意义的条件, 掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题 的关键. 2. (2012?桃源县校级自主招生) 已知 a 为实数, 则代数式 的最小值为 ( )

A.0 B.3 C. D.9 【考点】二次根式的性质与化简. 【专题】压轴题. 【分析】把被开方数用配方法整理,根据非负数的意义求二次根式的最小值.
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【解答】解:∵原式= = = ∴当(a﹣3) =0,即 a=3 时 代数式 的值最小,为 即3
2

故选 B. 【点评】用配方法对多项式变形,根据非负数的意义解题,是常用的方法,需要灵活掌握. 3. (2012?厦门模拟) 若整数 m 满足条件 =m+1 且 m< , 则 m 的值是 ( )

A.0 或 1 B.﹣1、0 或 1 C.0 或﹣1 D.﹣1 【考点】二次根式的性质与化简;估算无理数的大小. 【专题】计算题;压轴题.

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【分析】根据

=|a|由 ,对

=m+1 得到 m+1≥0,解得 m≥﹣1,而 m<

,即 m<

,得到﹣1≤m< ﹣1、0. 【解答】解:∵ ∴m+1≥0,解得 m≥﹣1, 又∵m< ∴﹣1≤m< ,即 m< ,

进行估算得到它小于 1,由此得到满足条件的整数 m 为

=m+1,



∴整数 m 为﹣1、0. 故选 C. 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简: =|a|.也考查了无理数的估算.

4. (2015?黑龙江) △ ABC 中, AB=AC=5, BC=8, 点 P 是 BC 边上的动点, 过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,PE⊥AC 于点 E,则 PD+PE 的长是( ) A.4.8 B.4.8 或 3.8 C.3.8 D.5 【考点】勾股定理;等腰三角形的性质. 【专题】动点型. 【分析】过 A 点作 AF⊥BC 于 F,连结 AP,根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可 得 AF 的长,由图形得 SABC=SABP+SACP,代入数值,解答出即可. 【解答】解:过 A 点作 AF⊥BC 于 F,连结 AP, ∵△ABC 中,AB=AC=5,BC=8, ∴BF=4,
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∴△ABF 中,AF= ∴ ×8×3= ×5×PD+ ×5×PE, 12= ×5×(PD+PE) PD+PE=4.8. 故选:A.

=3,

【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质,解答时注意,将一个三角形的面积 转化成两个三角形的面积和;体现了转化思想.

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5. (2008?绍兴校级模拟)编织一个底面周长为 a、高为 b 的圆柱形花架,需用沿圆柱表面 绕织一周的竹条若干根,如图中的 A1C1B1,A2C2B2,…,则每一根这样的竹条的长度最少 是( )

A.

B.

C.

D.a+b

【考点】勾股定理的应用;几何体的展开图. 【专题】压轴题. 【分析】 根据题意, 得每一根这样的竹条的长度最少即为圆柱的侧面展开图的矩形的对角线 的长,根据勾股定理即可求解. 【解答】解:根据题意,得 圆柱的侧面展开图,矩形的长是 a,宽是 b.
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根据勾股定理,得每一根这样的竹条的长度最少是



故选 A. 【点评】此题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理的简单计算. 6. (2012?余姚市校级自主招生) 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= BC= ,CD= ,则 AD 边的长为( ) ,

A. B. C. D. 【考点】勾股定理. 【专题】计算题. 【分析】作 AE⊥BC,DF⊥BC,构建直角△ AEB 和直角△ DFC,根据勾股定理计算 BE, CF,DF,计算 EF 的值,并根据 EF 求 AD. 【解答】解:如图,过点 A,D 分别作 AE,DF 垂直于直线 BC,垂足分别为 E,F. 由已知可得 BE=AE= ,CF= ,DF=2 , 于是 EF=4+ . 过点 A 作 AG⊥DF,垂足为 G.在 Rt△ ADG 中,根据勾股定理得
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AD= . 故选 D.

=

=

=

=

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【点评】本题考查了勾股定理的正确运用,本题中构建直角△ ABE 和直角△ CDF 是解题的 关键. 7. (2015 秋?福鼎市校级期中) 如图所示为一种“羊头”形图案, 其作法是: 从正方形①开始, 以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形 ②和②,…,依此类推,若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积为( )

A.2 B.4 C.8 D.16 【考点】勾股定理. 【专题】规律型. 【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是 64,则第二个正方形的面积是 32,…,进而 可找出规律得出第 n 个正方形的面积,即可得出结果. 【解答】解:第一个正方形的面积是 64; 第二个正方形的面积是 32; 第三个正方形的面积是 16; …
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第 n 个正方形的面积是



∴正方形⑤的面积是 4. 故选:B. 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理.解题的关键是找出 第 n 个正方形的面积. 二.填空题(共 5 小题) (主观题不能在线作答,请下载完成) 8. (2013?六盘水)无论 x 取任何实数,代数式 都有意义,则 m 的取值范围为

m≥9 . 【考点】二次根式有意义的条件;非负数的性质:偶次方;配方法的应用. 【专题】压轴题. 2 2 2 【分析】二次根式的被开方数是非负数,即 x ﹣6x+m=(x﹣3) ﹣9+m≥0,所以(x﹣3) ≥9 2 ﹣m.通过偶次方(x﹣3) 是非负数可求得 9﹣m≤0,则易求 m 的取值范围. 【解答】解:由题意,得 2 2 x ﹣6x+m≥0,即(x﹣3) ﹣9+m≥0,
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∵(x﹣3) ≥0,要使得(x﹣3) ﹣9+m 恒大于等于 0, ∴m﹣9≥0, ∴m≥9, 故答案为:m≥9. 【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性质:二次根 式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.

2

2

9. (2015 春?东台市月考)三角形的三边长分别为 3、m、5,化简 = 2m﹣10 .
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【考点】二次根式的性质与化简;三角形三边关系. 【分析】先利用三角形的三边关系求出 m 的取值范围,再化简求解即可. 【解答】解:∵三角形的三边长分别为 3、m、5, ∴2<m<8, ∴ ﹣ =m﹣2﹣(8﹣m)=2m﹣10.

故答案为:2m﹣10. 【点评】 本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系, 解题的关键是熟记三角 形的三边关系. 10. (2013?雅安)在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣ ,0) ,B( ,0) ,点 C 在坐标 轴上,且 AC+BC=6,写出满足条件的所有点 C 的坐标 (0,2) , (0,﹣2) , (﹣3,0) , (3, 0) . 【考点】勾股定理;坐标与图形性质. 【专题】压轴题;分类讨论. 【分析】需要分类讨论:①当点 C 位于 x 轴上时,根据线段间的和差关系即可求得点 C 的 坐标;②当点 C 位于 y 轴上时,根据勾股定理求点 C 的坐标. 【解答】解:如图,①当点 C 位于 y 轴上时,设 C(0,b) .
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+

=6,解得,b=2 或 b=﹣2,

此时 C(0,2) ,或 C(0,﹣2) . 如图,②当点 C 位于 x 轴上时,设 C(a,0) . 则|﹣ ﹣a|+|a﹣ |=6,即 2a=6 或﹣2a=6, 解得 a=3 或 a=﹣3, 此时 C(﹣3,0) ,或 C(3,0) . 综上所述,点 C 的坐标是: (0,2) , (0,﹣2) , (﹣3,0) , (3,0) . 故答案是: (0,2) , (0,﹣2) , (﹣3,0) , (3,0) .

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【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质.解题时,要分类讨论,以防漏解.另外, 当点 C 在 y 轴上时,也可以根据两点间的距离公式来求点 C 的坐标. 11. (2011?潍坊)已知长方形 ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线 BD 的中点 O 做 BD 垂直平分线 EF,分别交 AD、BC 于点 E、F,则 AE 的长为 cm .

【考点】勾股定理;线段垂直平分线的性质;矩形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】连接 EB,构造直角三角形,设 AE 为 x,则 DE=BE=4﹣x,利用勾股定理得到有 关 x 的一元一次方程,求得即可. 【解答】解:连接 EB, ∵EF 垂直平分 BD, ∴ED=EB, 设 AE=xcm,则 DE=EB=(4﹣x)cm, 在 Rt△ AEB 中, 2 2 2 AE +AB =BE , 2 2 2 即:x +3 =(4﹣x) ,
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解得:x= 故答案为: cm.

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【点评】本题考查了勾股定理的内容,利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长,而且 能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程. 12. (2009?宜宾)已知:如图,以 Rt△ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若 斜边 AB=3,则图中阴影部分的面积为 .

【考点】勾股定理. 【专题】压轴题. 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积,再根据勾股定理可得:
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AB =AC +BC ,进而可将阴影部分的面积求出. 2 2 2 【解答】解:在 Rt△ ABC 中,AB =AC +BC ,AB=3, S 阴影=S△ AHC+S△ BFC+S△ AEB= × = (AC +BC +AB ) = AB , = ×3 = . 故图中阴影部分的面积为 . 【点评】本题主要是考查勾股定理的应用,比较简单. 注意: 以直角三角形的两条直角边为斜边的两个等腰直角三角形的面积的和等于以斜边为斜 边的等腰直角三角形的面积;等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍. 三.解答题(共 6 小题) (主观题不能在线作答,请下载完成) 13. (2015 春?阳东县期中)阅读下列材料: = = = = + =
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2 2 2 2 2

2

2

2

+ ×

+ ×

= = = ﹣ 根据上面的解题方法化简: ① ② .
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【考点】二次根式的性质与化简. 【分析】根据材料将被开方数变形为两个数的和的平方的形式然后开方即可. 【解答】解: ① = = ② = ; = = = = =

. 【点评】本题主要考查的是二次根式的化简、完全平方公式的应用,将被开方数变形为完全 平方的形式是解题的关键.

14. (2013 春?双流县期中)已知关于 x,y 的方程组 (1)求 m 的范围. (2)化简:

的解都不大于 1.


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【考点】二次根式的性质与化简;解二元一次方程组;解一元一次不等式组. 【专题】计算题. 【分析】 (1)利用“加减消元法”求得原方程组的解,然后根据题意,列出关于 m 的不等式 组,解关于 m 的不等式组即可; (2)利用(1)中的 x、y 的取值范围和完全平方差公式化简二次根式,根据 m 的取值范围 来去绝对值. 【解答】解: (1)由①+②,得 6x=m+1,即 x= 由①﹣②,得 ;

4y=1﹣m,解得,y=



∵关于 x,y 的方程组

的解都不大于 1.
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解③,得 m≤5, 解③,得 m≥﹣3; ∴m 的范围是﹣3≤m≤5; (2)∵x≤1,y≤1,﹣3≤m≤5, ∴x﹣1≤0,y﹣1≤0,6<m+3<8,﹣2≤m﹣5≤0,x+y﹣2<0, ∴原式=|x﹣1|+|y﹣1|+|m+3|+|m﹣5|﹣|x+y﹣2| =1﹣x+1﹣y+m+3﹣m+5+x+y﹣2 =8. 【点评】 本题综合考查了二次根式的性质与化简、 二元一次方程组的解法及一元一次不等式 组的解法. 解答 (2) 的难点是利用二次根式的性质化简二次根式: =|a|= .

15. (2004?龙岩)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表: … n2 3 4 5 2 2 2 2 a 2 ﹣13 ﹣14 ﹣15 ﹣1… b4 6 8 10 … 2 2 2 c 2 +1 3 +1 4 +1 52+1 … (1)请你分别观察 a,b,c 与 n 之间的关系,并用含自然数 n(n>1)的代数式表示: a= n ﹣1 ,b= 2n ,c= n +1 ; (2)猜想:以 a,b,c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想. 【考点】勾股定理的逆定理;列代数式. 【专题】应用题;压轴题. 【分析】 (1)结合表中的数据,观察 a,b,c 与 n 之间的关系,可直接写出答案; 2 2 2 (2)分别求出 a +b ,c ,比较即可. 2 2 【解答】解: (1)由题意有:n ﹣1,2n,n +1; (2)猜想为:以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形. 2 2 证明:∵a=n ﹣1,b=2n;c=n +1 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 ∴a +b =(n ﹣1) +(2n) =n ﹣2n +1+4n =n +2n +1=(n +1) 2 2 2 而 c =(n +1) ∴根据勾股定理的逆定理可知以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形. 【点评】本题需仔细观察表中的数据,找出规律,利用勾股定理的逆定理即可解决问题.
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2

2

16. (2015 秋?河源校级月考)细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题. OA2 =(
2 2 2

) +1=2 ) =3
2

2

S1= S2=

; ;

OA3 =1 +(

第 13 页(共 17 页)

OA4 =1 +( …

2

2

) =4

2

S3=

(1) (直接写出答案)OA10= . (2)请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律. (3)求出 S +S +S +…+S 的值.

【考点】勾股定理. 【专题】规律型. 2 【分析】 (1)由给出的数据写出 OA10 的长,即可得出 S10 的值; 2 2 3 (2)由(1)OA1 ,OA2 ,OA3 …和 S1、S2、S3…Sn,找出规律即可得出结果; 2 2 2 2 (3)首先求出 S1 +S2 +S3 +…+Sn 的公式,然后把 n=10 代入即可. 2 2 2 【解答】解: (1)∵OA1 =1,OA2 =2,OA3 =3,…, 2 ∴OA10 =10, ∴OA10= ; 故答案为: ;
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(2)由(1)得:OAn =1 +(
2 2 2

2

2

) =n,Sn=
2

2



(3)∵S1 = ,S2 = ,S3 = ,…,S10 = ∴S1 +S2 +S3 +…+Sn =
2 2 2 2

, .

=

【点评】本题主要考查勾股定理的知识点,解答本题的关键是熟练运用勾股定理,此题难度 不大. 17. (2015 秋?贵阳校级期中)观察、思考与验证 2 2 2 (1)如图 1 是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式 (a+b) =a +2ab+b ; (2)如图 2 所示,∠B=∠D=90°,且 B,C,D 在同一直线上.试说明:∠ACE=90°; (3)伽菲尔德 (1881 年任美国第 20 届总统)利用 (1)中的公式和图 2 证明了勾股定理 (发 表在 1876 年 4 月 1 日的《新英格兰教育日志》上) ,请你写出验证过程.

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【考点】勾股定理的证明. 【分析】 (1)由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果; (2) 由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DCE, 再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE=90°, 即可得出结论; (3)先证明四边形 ABDE 是梯形,由四边形 ABDE 的面积的两种计算方法即可得出结论. 2 2 2 【解答】 (1)解:这个公式是完全平方公式: (a+b) =a +2ab+b ;理由如下: ∵大正方形的边长为 a+b,
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∴大正方形的面积=(a+b) , 2 2 2 2 又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a +b +ab+ab=a +2ab+b , 2 2 2 ∴(a+b) =a +2ab+b ; 2 2 2 故答案为: (a+b) =a +2ab+b ; (2)证明:∵△ABC≌△CDE, ∴∠BAC=∠DCE, ∵∠ACB+∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠DCE=90°, ∴∠ACE=90°; (3)证明:∵∠B=∠D=90°, ∴∠B+∠D=180°, ∴AB∥DE,即四边形 ABDE 是梯形, ∴四边形 ABDE 的面积= (a+b) (a+b)= ab+ c + ab, 整理得:a +b =c . 【点评】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计 算方法;熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键. 18. (2015 秋?南通校级期中)如图,已知△ ABC 中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、 Q 是△ ABC 边上的两个动点,其中点 P 从点 A 开始沿 A→B 方向运动,且速度为每秒 1cm, 点 Q 从点 B 开始沿 B→C→A 方向运动,且速度为每秒 2cm,它们同时出发,设出发的时间 为 t 秒.
2 2 2 2

2

(1)出发 2 秒后,求 PQ 的长; (2)当点 Q 在边 BC 上运动时,出发几秒钟后,△ PQB 能形成等腰三角形? (3)当点 Q 在边 CA 上运动时,求能使△ BCQ 成为等腰三角形的运动时间. 【考点】勾股定理;等腰三角形的判定. 【专题】动点型. 【分析】 (1)根据点 P、Q 的运动速度求出 AP,再求出 BP 和 BQ,用勾股定理求得 PQ 即 可; (2)设出发 t 秒钟后,△ PQB 能形成等腰三角形,则 BP=BQ,由 BQ=2t,BP=8﹣t,列式 求得 t 即可;
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(3)当点 Q 在边 CA 上运动时,能使△ BCQ 成为等腰三角形的运动时间有三种情况: ①当 CQ=BQ 时,则∠C=∠CBQ,可证明∠A=∠ABQ,则 BQ=AQ,则 CQ=AQ,从而求 得 t; ②当 CQ=BC 时,则 BC+CQ=12,易求得 t; ③当 BC=BQ 时,过 B 点作 BE⊥AC 于点 E,则求出 BE,CE,即可得出 t. 【解答】解: (1)∵BQ=2×2=4(cm) ,BP=AB﹣AP=16﹣2×1=14(cm ) ,∠B=90°, ∴PQ= = = (cm) ;

(2)BQ=2t,BP=16﹣t, 根据题意得:2t=16﹣t, 解得:t= 即出发 , 秒钟后,△ PQB 能形成等腰三角形;

(3)①当 CQ=BQ 时,如图 1 所示, 则∠C=∠CBQ, ∵∠ABC=90°, ∴∠CBQ+∠ABQ=90°. ∠A+∠C=90°, ∴∠A=∠ABQ, ∴BQ=AQ, ∴CQ=AQ=10, ∴BC+CQ=22, ∴t=22÷2=11 秒. ②当 CQ=BC 时,如图 2 所示, 则 BC+CQ=24, ∴t=24÷2=12 秒. ③当 BC=BQ 时,如图 3 所示, 过 B 点作 BE⊥AC 于点 E, 则 BE= = ,

∴CE=



∴CQ=2CE=14.4, ∴BC+CQ=26.4, ∴t=26.4÷2=13.2 秒. 综上所述:当 t 为 11 秒或 12 秒或 13.2 秒时,△ BCQ 为等腰三角形.

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【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质,注意分类讨论 思想的应用.

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