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直线与平面垂直的判定公开课课件


2.3.1直线与平面垂直的判定
教学内容:
一、理解直线与平面垂直的定义; 二、探究、归纳直线与平面垂直的判定 定理及应用。

知识探究(一):直线与平面垂直的概念
回顾知识:

空间中一条直线与平面有哪几种位置关系?
(1)直线在平面内,

(2)直线与平面平行,

3)直线与平面相交 (垂直)

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

α 内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A

α 内过点B的直线⊥ AB所在直线

B

α

B1 C1

C

一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平 面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直 线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线, 平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.

平面的垂线 A
直线的垂面

?

垂足

l ? ? ? l ? m, 任意 m ? ? .

直线和平面垂直的画法:
L

P

?

通常把直线画成和表示平面的平 行四边形的一边垂直。

思考: 如果一条直线垂直于一个平面内的 无数条直线,那么这条直线是否与这个 平面垂直? b (否)
a
α

上述问题中“无数条直线”改为“所有直线”呢?
(是)
15

探索新知: 利用定义,我们得到了判定线面垂直的最基 本方法,同时也得到了线面垂直的最基本的性质.

l ? ? ? l ? m, 任意 m ? ? .
但是,直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的,这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!

探索新知:

顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上( BD、DC与桌面接触) 1.折痕AD与桌面垂直吗? 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
A
C

做一 请同学们拿出一块三角形纸片, 做 想一 我们一起做一个试验:过三角形的 想

A
D

B

D

C

?

B

探索新知: 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
A
C

A
D

B

D

C

?

B

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面 ?垂直.

探索新知: 由刚才分析可以知道,直线与平面垂直的 判定需要哪几个条件?

(1) 平面有两条直线 (2) 这两条直线要相交 (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直 你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂 直判定定理吗

二、 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直

m ?? n ?? m n? l?m l?n

? ? ? ? p? ? l ? ? ? ? ? ?

l

?

m

P

n

线线垂直

?线面垂直

随堂练习
如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?
A? D? B?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

C?

A

D
B
C

1.直线与平面垂直的定义,垂线、垂面、垂足的概念。

2.直线与平面垂直的判定:(三种方法)
(1)用定义:如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直,
就说直线 l 与平面α互相垂直。

(2)用直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直,则该 直线与此平面垂直。

(3)利用例5的结论:

两条互相平行的直线,如果有一条与一个平面垂直, 则另一条也与这个平面垂直。
22


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