当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标 准
第一试
一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分)
1. 已知数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ? 4 ? n ? N* ? ,则

a1 ? a3 ? a5 ?

? a21 ? 268 .

r />1 ( , ??) . 6

2. 若集合 A ?

?x

x ? 3 ? ax ? 1, x ? R

) ? 为空集,则实数 a 的取值范围是 (??, ? 1 3

3. 设 x 、

y 为实数, 2 x ? y ? 1 ,则二元函数 u ? x2 ? 4x ? y 2 ? 2 y 的最小值是 ?

9 . 5

4. 设 F 1 、 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A 、 B 两 a 2 b2
? 1 之间,则 k ? 2


点,且 ?AF 1 B ? 120? . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k

5. 已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积为 216 ,则四面体 AB 1CD 1 与四面体 的体积等于

A1BC1D 的重叠部分

36



6. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则 7. 设方程 x
2n?1

[log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ?

? [log3 258] ? 932



? a2n x2n ? a2n?1x2n?1 ?

? ?a1x ? a0 ? 0 的根都是正数,且 a1 ? ? ? 2n ?1? ,则

a0 的最大值是 1 .
8.

2009 ?1911 的方格棋盘的一条对角线穿过 3871

个棋盘格.

二、 解答题(本题满分 14 分)
求函数

f ? x ? ? sin4 x ? tan x ? cos4 x ? cot x 的值域.
sin x cos x sin 6 x ? cos6 x f ? x ? ? sin 4 x ? ? cos4 x ? ? ? cos x sin x sin x cos x 3 2 ? t2 2 ? 2 ? 3t. f ? x? ? t t 2
第 1 页 共 6 页



因为

3 2 ? sin 2 2 x 2 . sin 2 x
………………8 分

令t

? sin 2 x ,则 t ???1,0?

? 0,1? ,

易知函数 g

?t ? ?

2 3 ? t t 2

在区间

??1,0? 与 ? 0,1? 上都是减函数,所以 g ?t ? 的值域为 (??, ? 2 ]
1 1 ] [ , ??) . 2 2

1

1 [ , ??) ,故 f ? x ? 的值域 2
………………14 分

为 ( ??, ?

三、解答题(本题满分 15 分)
如图,抛物线

y 2 ? 2x 及点 P ?1,1? ,过点 P 的不重合的直线 l1 、 l2 与此抛物线分别交于点 A ,

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
解 设 l1 、 l2 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,由题设知 易知直线 l1 的参数方程为

y A O D B C P x

? 、 ? ? ? 0, ? ? .

? x ? 1 ? t cos ? , ? ? y ? 1 ? t sin ?
代入抛物线方程可化得

t 2 sin2 ? ? 2 ?sin ? ? cos? ? t ?1 ? 0 .
t1t2 ? ?1 . sin 2 ?
由参数 t 的几何意义,得 …………………5 分

设上述方程的两根为 t1 、 t 2 ,则

AP ? BP ?
同理

1 . sin 2 ?

CP ? DP ?

1 . sin 2 ?

…………………7 分

2 2 若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP ? CP ? DP ,即 sin ? ? sin ? .

因为 ? 、 ? ?

? 0, ? ? ,所以

sin ? ? sin ? .
所以 ?

又由 l1 、 l2 不重合,则 ? 反过来,若 ? 所以 故

??.

?? ?? .

…………………11 分

?? ??

,则因 ? 、 ? ?

? 0, ? ? ,故 sin ? ? sin ? ,且 ? ? 0 , ? ? 0 .

1 1 ? ,即 AP ? BP ? CP ? DP . sin 2 ? sin 2 ?
…………………15 分

A 、 B 、 C 、 D 四点共圆.

第 2 页 共 6 页

四、解答题(本题满分 15 分)
设 a , b 是正数,且 a

? 1 , b ? 1 ,求证:

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? ? a ? 1?? b ? 1? . a 4 ? 1 b 4 ? 1 64




因为

a5 ? 1 a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 ? , a4 ?1 a3 ? a 2 ? a ? 1

8 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? 5 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? a ? 1?

? 3a4 ? 2a3 ? 2a 2 ? 2a ? 3 ? ? a 4 ? 2a 2 ? 1? ? 2 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? 1?
? ? a 2 ? 1? ? 2 ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0
2 2

(a

? 1) ,

所以

a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 5 a5 ? 1 5 ? a ? 1 ? ? a ? 1? . ,即 ? ? a3 ? a 2 ? a ? 1 8 a4 ?1 8
同理可证

…………………10 分

b5 ? 1 5 ? (b ? 1) . b4 ? 1 8
…………………15 分

于是,

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? (a ? 1) ? b ? 1? . a4 ? 1 b4 ? 1 64

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标
第 3 页 共 6 页



一、 (本题满分 50 分)
如图,在△



ABC 中, DE ∥ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的 旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M 、 N 、 P 三点共线.
证 设 BE 与 MN 交于点 P ' . A

BP BC BP ' BN ? ? 因为 DE ∥ BC ,所以 , . PE DE P ' E EM
故只需证明 D M P N C

BC BN ? DE EM

BN EM ? ,或 . BC DE

E

………………10 分

B

如图, 设 O1 、 O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,

F

、 G 、 H 、 I 为切点,则

EM ?

1 ? AE ? DE ? AD ? , AH ? AB ? BH ? AB ? BN , 2 1 1 AH ? AI ? ? AB ? BC ? AC ? , BN ? AH ? AB ? ? AC ? BC ? AB ? . 2 2
………………30 分



?ADE ∽ ?ABC ,
故可设 A

AB BC AC ? ? ?k, AD DE AE


F O 1 M D B H O2 P N

G E C I

1 ( AC ? BC ? AB) BN 2 ? BC BC
(k ? AE ? k ? DE ? k ? AD ) 2k ? DE ( AE ? DE ? AD) EM ? ? 2 DE DE ?
故结论成立.

………………50 分

二、 (本题满分 50 分)
设 k , n 为给定的整数, n

? k ? 2.

对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的元素和,记

这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值. 解
k . CQ 的最大值为 Cn

…………………10 分

第 4 页 共 6 页

因 P 共有 Cn 个 k 元子集,故显然有 CQ 下面我们指出,对集合 P ? {2,

k

k . ? Cn

…………………20 分

22 ,

k ,即 P 的任意两个不同的 k , 2n },相应的 CQ 等于 Cn k

元子集的元素之和不相等. 从而 CQ 的最大值为 Cn . 事实上,若上述的集合 P 有两个不同的 k 元子集

A ? {2r1 , 2r2 ,
使得

, 2rk } ,

B ? {2s1 , 2s2 ,

, 2sk },

A 与 B 的元素之和相等,则

2r1 ? 2r2 ?

? 2rk ? 2s1 ? 2s2 ?

? 2sk ? M

(设).



因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 ri 互不相同, si 互不相同,故由正整数的二进制表示的唯 一性,我们由①推出,集合 {r 1 , r2 , 这就证明了我们的断言.

, rk } 必须与 {s1, s2 ,

, sk } 相同,从而子集 A ? B ,矛盾.
…………………50 分

三、 (本题满分 50 分)
设M

? 2n1 ? 2n2 ?

? 2ns , n1 , n2 ,
n1 2 n2 2

, ns 是互不相同的正整数,求证:
? 2 ? 1? 2
ns 2

M ?2 ?2 ?
证 对 s 归纳. (1) 当 s

?

?

M.
…………………10 分

? 1 时,结论显然成立. ? k 时结论成立,当 s ? k ? 1 时,不妨设 n1 ? n2 ?
n2

(2) 假设 s

? nk ? nk ?1 .

由归纳假设可知, 2 2 ?

?2
n1

nk ?1 2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ,则
n2

22 ? 22 ?
所以只要证明:

?22 ?2

nk

nk ?1 2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 .

n1

(1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 ? (1 ? 2) M ,
此即

n1

(1 ? 2)2 2

n1

M ? M ? 2n1
因为正整数 n1 ? n2 ?

? 1.

…………………30 分

? nk ? nk ?1 ,所以
2n1 ? 2n2 ?1 ? 2n2 ? 2n2 ?1 ? ?2 ?2 ?
n2 n3

? 2 ?1

?2 .
nk ?1

.



M ? 2n1 ? 2n2 ?

? 2nk ? 2nk ?1 ? 2 ? 2n1 ,

第 5 页 共 6 页

M ? 2n1 ? 2n2 ?
所以

? 2nk ?1 ? 2n1 .

(1 ? 2)2 2
即s

n1

M ? M ? 2n1

?

(1 ? 2)2 2

n1

2 ? 2n1 ? 2n1

?1,

? k ? 1 时,命题成立.
因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立. …………………50 分

四、 (本题满分 50 分)
求满足下列条件的所有正整数 x , 解 显然

y:

(1) x 与

y ? 1 互素;

(2 ) x

2

? x ? 1 ? y3 .

x ? 1 , y ? 1 满足要求.
方程可化为

…………………10 分

对于 x 显然 x

? 1 , y ? 1,
? y.
因为

? y ? 1? ? y 2 ? y ? 1? ? x ? x ? 1? .


? x, y ?1? ? 1,故 x 一定是 y2 ? y ?1 的一个因子. ? y ?1? .
由 x ? y 可知 k ? 2 .


y 2 ? y ? 1 ? kx

( k 为正整数) ,从而 x ?1 ? k 消去 x ,得 由此推得 若k

…………………20 分

y2 ? y ? 1 ? k 2 ? y ?1? ? k ,

?y

2

? 1? ? ? y ? 1? ? k 2 ? y ? 1? ? k ? 3 .
…………………40 分

y ?1 ? k ? 3? .
? 3 ,则 y ? 1 ? k ? 3 ,即 k ? y ? 2 ,从而

k 2 ? y ?1? ? k ? y2 ? y ?1 ? k 2 ? ? k ? 2? ?1 ,
故必有

y ? 1 ? 0 ,矛盾.
k ? 3 ,从而 k ? 2 , 3 .
验证知

所以

y ? 7 , x ? 19 .
…………………50 分

综上,

? x, y ? ? ?1,1? , ?19,7? .

第 6 页 共 6 页


相关文章:
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准_学科竞赛_高中教育_教育专区。2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标 准第一试一、填空题(本...
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准2009...
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 隐藏>> 2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题(本题满分 56 分,每小题...
2009年,全国高中数学联赛,江苏赛区复赛试题
15 分 2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加试 一、(本题满分 50 分) 证设 BE 与 MN 交于点 P ' . BP BC BP ' BN ? ? 因为 ...
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标...
欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》 zxsx127@163.com 2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题(本题满分 56 分,...
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准隐藏>> AB = tan β DB = 1 cos β AC = tan γ...
2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案及评分细则
2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案评分细则_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案评分细则 ...
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案及评分标准
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案评分标准_学科竞赛_高中教育_教育专区。江苏省 2008 数学竞赛复赛 冯惠愚 2008.09.06. 2008 年全国高中数学联赛江...
江苏省2009年高中数学联赛复赛题与答
江苏省2009年高中数学联赛复赛题与答_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。数学竞赛2009 年江苏省复赛试卷 冯惠愚 2009.08.24. 2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷 ...
2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则(一试)
2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则(一试)_学科竞赛_高中教育_教育专区。仅题目,没有连答案的。2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与...
更多相关标签:
noip山东赛区复赛通知 | 2016高中数学联赛复赛 | 全国高中数学联赛复赛 | 2015高中数学联赛复赛 | 高中数学联赛复赛试题 | 2016江苏数学联赛复赛 | 选秀复赛评分机制 | 创联赛海外赛区确认 |