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第三章 直线与方程阶段复习课 课件(人教A版必修2)


阶段复习课
第三章直线与方程

请你根据下面的体系图快速回顾本章内容,把各序号代 表的含义填到对应的横线上,并构建出清晰的知识网络.

A1A2+B1B2=0 ③y=kx+b; A1B2-A2B1≠0 ②___________; 【答案速填】①___________;
y ? y1 y 2 ? y1 x 2 ? x1

⑤________; a b ④_____________; ⑥Ax+By+C=0(A,B不同时为0); ? x ? x1
x ? y ?1

| Ax 0 ? By0 ? C |

| C1 ? C2 |

A 2 ? B2 A 2 ? B2 ⑦_____________; ⑧_________.

题型 一

直线的倾斜角与斜率

【典例1】(2013·晋江高一检测)过点A(2,b)和点B(3,-2) 的直线的倾斜角为 3? ,则b的值是(
4

) D.5
4

A.-1

B.1
3? 2

C.-5

【解析】选A.因为 k ? ?2 ? b ? ?2 ? b, 且 k ? tan 3? ? ?1, 所以-2-b=-1,所以b=-1.

【典例2】若直线l:y=kx- 3 与直线2x+3y-6=0的交点位于第

一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是(
? ? A. [ , ) 6 3 ? ? C.( , ) 3 2 ? ? B.( , ) 6 2 ? ? D. [ , ] 6 2

)

【解析】选B.直线l:y=kx- 3 恒过定点C(0,- 3 ).直线

2x+3y-6=0与x轴和y轴的交点设为A,B,如图所示,

则A,B两点的坐标分别为(3,0),(0,2).直线CA的斜率为
0 ? (? 3) 3 对应的倾斜角为 ? ,直线CB与x轴垂直, k CA ? ? , 6 3?0 3 ? ? 对应的倾斜角为 ? ,故直线l的倾斜角的取值范围是 ( , ). 6 2 2

【技法点拨】1.倾斜角与斜率的联系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率,直线的倾斜角α 的范围是0°≤α<180°. (2)当α=90°时,直线l垂直于x轴,它的斜率k不存在. 2.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:
k? y2 ? y1 . x 2 ? x1

题型 二

求直线的方程

【典例3】求与直线3x+4y+1=0平行,且在两坐标轴上截距之 和为 7 的直线l的方程.
3

【解析】方法一:设直线l的方程为3x+4y+m=0,
令x=0得y轴上的截距 b ? ? m ,
4 令y=0得x轴上的截距 a ? ? m , 3 所以 ? m ? (? m ) ? 7 , 解得m=-4, 3 4 3

所以所求直线l的方程为3x+4y-4=0.

方法二:易知直线l在两坐标轴上的截距不为0,设直线l的方
程为 x ? y ? 1,
a b

7 ? a ? b ? , ? 3 解得 所以 ? ? ?? b ? ? 3 , ? 4 ? a

4 ? ?a ? , 3 ? ? ? b ? 1.
4 3 1

所以所求直线的方程为 x ? y ? 1, 即3x+4y-4=0.

【技法点拨】1.直线方程的几种形式及确定 (1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的 限制条件,不能表示所有的直线,直线方程的一般式则可以

表示所有直线.
(2)在解题的时候,如果没有特别说明,最后的结果都要化成

一般式.

2.确定直线方程的两种方法

(1)待定系数法,在设直线方程的时候,要注意对斜率不存在
的直线讨论.

(2)从直线的几何性质出发,建立方程.

题型 三

平行与垂直的性质及判定

【典例4】已知直线l1:mx+8y+n=0,l2:2x+my-1=0,分别满足 下列情况: (1)两直线平行.(2)两直线垂直,且l1在y轴上的截距为-1.试分 别确定m,n的值.

【解析】(1)①当m=0时,显然l1不平行于l2.②当m≠0时,l1,l2斜
率都存在,因为l1∥l2,故 m ? 8 所以m=〒4.
2 m

又当m=4,n=-2时,两直线重合,当m=-4,n=2时,两直线重合,
所以当m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,两直线平行.

(2)当2〓m+m〓8=0时,两直线垂直,
即m=0,又- n =-1,所以n=8.
8

【技法点拨】 1.两直线平行 (1)斜率存在且不重合的两条直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2?k1=k2,b1≠b2. (2)两条不重合直线l1,l2的倾斜角为α1,α2, 则l1∥l2?α1=α2. (3)两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1,C1不同时为0), l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2不同时为0),则l1∥l2?A1B2-A2B1=0

且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).

2.两直线垂直
(1)斜率存在的两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,

则l1⊥l2?k1·k2=-1.
(2)两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1,C1不同时为0),

l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2不同时为0),则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

题型 四

距离问题

【典例5】已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.

【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为

2x+y-5+λ(x-2y)=0,
即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,

所以

|10 ? 5? ? 5 | (2 ? ?) ? (1 ? 2?)
2 2

=3,

即2λ2-5λ+2=0,所以λ= 1 或λ=2.
2

所以l方程为x=2或4x-3y-5=0.

(2)由 ? ?

2x ? y ? 5 ? 0,

? x ? 2y ? 0,

解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线

l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
所以d max=| PA | = (5 ? 2)2 ? (0 ? 1)2 ? 10.

【技法点拨】 1.点到直线的距离公式 已知一点P(x0,y0)及一条直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的 距离 d ? | Ax 0 ? By0 ? C | .
A 2 ? B2

2.两平行直线之间的距离 已知两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间 的距离 d ? | C1 ? C2 | .
A 2 ? B2

提醒:在应用此公式时,应将两条直线方程中x,y的系数化成 对应相同的形式.

方法 一

分类讨论思想的应用

【典例1】过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直

线,使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,求这两条直线
的方程.

【解析】(1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分

别为x=-1,x=0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1,符合题意.
(2)当两条直线的斜率存在时,设其斜率为 k.因为k=0时,不

符合题意,所以k≠0,则设两条直线的方程分别为y=k(x+1),
y-2=kx.令y=0,得x=-1,x= ? 2 .由题意,得|-1+ 2 |=1,即k=1.
k k

所以所求直线的方程为y=x+1,y=x+2,即x-y+1=0,x-y+2=0.
综上可知,所求的直线方程为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.

【技法点拨】 1.分类讨论思想的划分标准 分类讨论思想是根据研究对象本质属性的异同,确定划分标

准,进行分类,然后对每一类分别进行求解,并综合得出答
案的一种数学思想.在划分中要求始终使用同一个标准,这个

标准应该是科学的、合理的,它要满足互斥、无漏、最简的
原则.

2.分类讨论的一般步骤
分类讨论的一般步骤是:①确定分类标准;②恰当分类; ③逐类讨论;④归纳结论. 3.求直线方程中的分类讨论 直线方程的几种形式都有一定的限制条件,因此在涉及求直 线方程时要考虑斜率存在不存在,截距为零不为零等情况 . 提醒:分类时要注意分类标准的确定及分类的准确性 .

方法 二

转化思想与数形结合思想

【典例2】(1)已知直线5x-12y-60=0,求x2+y2的最小值. (2)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),求 y ? 3 的最大值
x?2

与最小值.

【解析】(1)因为 x 2 ? y2 ? (x ? 0)2 ? (y ? 0) 2, 所以x2+y2可以看 成是直线上的动点到原点的距离的平方. 当且仅当动点与原点的连线垂直于直线时, x 2 ? y 2 取最小 值,原点到直线的距离 d ? | 5 ? 0 ? 12 ? 0 ? 60 | ? 60 , 所以x2+y2
52 ? 122 13

的最小值为 3 600 .
169

(2)由 y ? 3 的几何意义可知,它表
x?2

示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB 上任一点(x,y)的直线的斜率k,如 图,则kPA≤k≤kPB,由已知,得 A(1,1),B(-1,5),所以k PA ? ?3 ? 1 ? 4 ,
k PB ? ?3 ? 5 4 ? 8, 所以 ≤k≤8, ?2 ? (?1) 3
x?2 ?2 ? 1 3

所以 y ? 3 的最大值是8,最小值是 4 .
3

【技法点拨】 1.利用转化思想与数形结合思想可解决的问题

(1)已知点P(x,y)在直线Ax+By+C=0(A,B,C不同时为0)上,
求形如(x-a)2+(y-b)2的最小值.

(2)求形如 y ? b 的最大值与最小值问题.
x?a

2.利用数形结合思想处理最值问题的策略

(1)转化:把所求解的问题转化为点到直线的最短距离问题或
直线的斜率的最大值与最小值问题. (2)作图:在定义域内依据函数的性质,作出涉及函数的图象 . (3)识图:观察作出的图象,分析所作的图象的特点及图象间 的关系,把图象的问题转化为所求解的问题. 提醒:利用数形结合解决问题时要注意图形的准确性 .

1.(2013·合肥高一检测)直线x=1的倾斜角和斜率分别是(
A.45°,1 B.135 °,-1

)

C.90°,不存在

D.180°,不存在

【解析】选C.直线x=1垂直于x轴,因此倾斜角为90°,斜率不存 在.

2.已知A(1,2),B(-1,4),C(5,2),则△ABC的边AB上的中 线所在的直线方程为( A.x+5y-15=0 C.x-y+1=0 ) B.x=3 D.y-3=0

【解析】选A.设AB的中点为D,则点D的坐标为(0,3),CD的方 程为 y ? 2 ? x ? 5 ,即x+5y-15=0.
3? 2 0?5

3.若两条直线3ax-y-2=0和(2b-1)x+5by-1=0分别过定点A,

B,则|AB|等于(
A. 89 5 B.

)
17 5 C. 13 5 D. 11 5

【解析】选C.因为直线3ax-y-2=0可化为y=3ax-2,过定点
A(0,-2).直线(2b-1)x+5by-1=0可化为(2x+5y)b-(x+1)=0过

定点B(-1, 2 ),所以 | AB |? (0 ? 1) 2 ? (?2 ? 2 ) 2 ? 13 .
5

5

5

4.已知直线l1:(m+1)x+y=2-m和l2:4x+2my=-16,若l1∥l2,则m

的值为

.

【解析】当m=0时,l1:x+y=2,l2:x=-4,两直线不平行. 当m≠0时,由 m ? 1 ? 1 ? 2 ? m ,
4 2 ? m 得 ? ? m ? 2 ? 0, ?m ? ?2, 2m ?16

解得m=1. 答案:1

5.已知直线方程l1:2x+3y-5=0与l2:3x+2y-5=0, (1)求两直线的交点.(2)求经过交点,且与直线x+4y+3=0平行 的直线方程.

【解析】(1)由 ?

?2x ? 3y ? 5 ? 0, ? x ? 1, 得? ?3x ? 2y ? 5 ? 0 ? y ? 1.

故两直线交点为(1,1). (2)因为所求直线与直线x+4y+3=0平行, 所以可设所求直线方程为x+4y+c=0, 由题意知点(1,1)在直线x+4y+c=0上. 所以1+4+c=0,所以c=-5, 所以所求直线方程为x+4y-5=0.


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