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2.3.1离散型随机变量的均值


高二数学 选修2-3

2.3.1离散型随机变量 的均值

一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X

x1

x2

· xi · · · pi · ·

· · · · · ·

P

p1

p2

2、离散型随机变量分布列的性质:

(1) pi≥0,i=1,2,…; (2) p1+p2+…+pi+…=1.

复习引入
对于离散型随机变量,在实际问题 中,有时我们更感兴趣的是随机变量的 某些数字特征。例如,要了解某班同学 在一次数学测验中的总体水平,很重要 的是看平均分;要了解某班同学数学成 绩是否“两极分化”则需要考察这个班 数学成绩的方差。

问题:某人射击10次,所得环数分别是:1,1, 1,1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数 是多少?

1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? ?2 10
把环数看成随机变量的概率分布列:
X P 1
4 10

权数
加 权 平 均

2
3 10

3
2 10

4
1 10

4 3 2 1 X ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10

二、互动探索
2、某商场要将单价分别为18元/kg,24元 /kg,36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例 混合销售,如何对混合糖果定价才合理?
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列:

加 权 2 3 1 平 6 6 6 均 1 1 1 X ? 18? ? 24? ? 36? ? 23(元 / kg) 2 3 6
X P 18 24

权数 36

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
· xn · · · pn · ·

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X
P
则称

x1

x2

· xi · · · pi · ·

p1

p2

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn ? ? xi pi
n

思考:求随机

i ?1 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。

变量X的数学期 望的步骤?

归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤:
①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列,并检查分布列的正确与否。

③、求出均值(期望)。

X
P

x1

x2

· xi · · · pi · ·

· xn · · · pn · ·

p1

p2

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
思考:
设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是 随机变量. (1) Y的分布列是什么? (2) EY=?

X P

x1

p1

p2

x2

· xi · · · pi · · · xi · · · axi ? b · · · pi · ·

· xn · · · pn · · · xn · · · axn ? b · · · pn · ·

x2 x1 X Y ax1 ? b ax2 ? b p1 p2 P

EY ? E (aX ? b) ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ? ? (axn ? b) pn

? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ?? pn )

XE a ?

?b

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
· xn · · · pn · ·

X
P

x1

x2

· xi · · · pi · ·

p1

p2

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn

二、数学期望的性质

E (aX ? X)E a b ?

?b

三、基础训练 1、随机变量ξ的分布列是
ξ P 1 0.5 3 0.3 5 0.2

. 2.4 5.8 (2)若η=2ξ+1,则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是 ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 (1)则Eξ= Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .

.

四、例题讲解 例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中 的概率为0.7,则他罚球1次的得分 ?的均 值是多少? 解:因为 P(? ? 1) ? 0.7, P(? ? 0) ? 0.3

小结:所以 E? ? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7
P p 1-p

一般地,如果随机变量X服从两点分布, 1 0 ?


E? ? 1? p ? 0 ? (1 ? p) ? p

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中 得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚 球命中的概率为0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。
解:(1) X~B(3,0.7)
X P 0 1
3

2

3

0.3

1 2 C3 0.7 ? 0.32 C3 0.72 ? 0.3

0.7

3

1 2 (2) EX ? 0 ? 0.33 ? 1? C3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C3 0.72 ? 0.3 ? 3 ? 0.73

EX ? 2.1 ? 3? 0.7

一般地,如果随机变量X服从二项分布,

即X~B(n,p),则 EX

? np

基础训练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球 次数的数学期望是

3

.

小结:

离散型随机变量均值的性质

(1)线性性质

E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b

(2)两点分布的均值 若X~B(1,p), 则E(X)= p (3)二项分布的均值 若X~B(n,p), 则E(X)= np

高二数学 选修2-3

2.3.1离散型随机变量 的均值(2)

复习 离散型随机变量的均值(数学期望)
(1)均值(数学期望)公式

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
(2)线性性质

E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b

(3)两点分布的均值 若X~B(1,p), 则E(X)= p

(4)二项分布的均值 若X~B(n,p), 则E(X)= np

五、巩固应用
1.一次英语单元测验由20个选择题构成,每 个选择题有4个选项,其中有且只有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得5分, 不作出选择或选错不得分,满分100分,学 生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一 个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望。

解: 设学生甲和学生乙在这次英语测验中 选择了正确答案的选择题个数分别是 X和Y,则 X~B(20,0.9), Y~B(20,0.25), EX=20×0.9=18, EY=20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是5X和5Y。所以, 他们在测验中的成绩的期望分别是 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 E(5X)=5EX=5×18=90, 期望为90分的含义是什么? 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩 E(5Y)=5EY=5×5=25.
大约是90分

2. 决策问题:

根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设 备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损 失10000元。为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元。 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能 挡住小洪水。 方案3:不采取措施,希望不发生洪水。试比较哪一 种方案好。

练习 1、射手用手枪进行射击,他射中目标的 概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射中目 标次数的期望。

2、射手用手枪进行射击,击中目标就 停止,否则继续射击,他射中目标的 概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射中 目标次数的期望。(保留三个有效数字)
?

1 0.7

2

3

4

5 0.34

p

E? =1.43

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7

六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
· xn · · · pn · ·

X
P

x1

x2

· xi · · · pi · ·

p1

p2

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、数学期望的性质

E (aX ? X)E a b ?

?b

三、如果随机变量X服从两点分布,
X 1 0

P

p

1-p



EX ? p

四、如果随机变量X服从二项分布,即 X~B(n,p),则

EX ? np


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